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2018年6月12日 星期二

103 年度高中學力鑑定考試數學科詳解


臺閩地區 103 年度自學進修
普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試
數學科詳解
一、選擇題:( 12 題,每題 5 分,共 60 分)


a1=8,r=12a10=a1×r9=8×(12)9=8512=164,故選\bbox[red,2pt]{(A)}





挑三個坐標值的平方和最大的,故選\bbox[red,2pt]{(A)}





至少出現1次正面的機率=1-出現5次反面的機率=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32},故選\bbox[red,2pt]{(A)}





y=-2x^2+4x+3=-2(x^2-2x+1)+3+2=-2(x-1)^2+5,因此x=1時有最大值5,故選\bbox[red,2pt]{(C)}




\log { \frac { 5 }{ 9 }  } -\log { \frac { 3 }{ 7 }  } +\log { \frac { 27 }{ 35 }  } =\log{5}-\log{9}-\log{3}+\log{7}+\log{27}-\log{35}\\=\log{5}-2\log{3}-\log{3}+\log{7}+3\log{3}-\log{5}-\log{7}=0
故選\bbox[red,2pt]{(D)}





挑選數字變動較大的,即不一致性較高,故選\bbox[red,2pt]{(B)}





\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{30^\circ}=\frac{1}{2},故選\bbox[red,2pt]{(B)}





\left|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}\right|=\left|(2,6)-(2,1)+(12,0)\right|=\left|(12,5)\right|=\sqrt{12^2+5^2}=13,故選\bbox[red,2pt]{(C)}





\vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow 2(2t-2)-3(t-4)=0 \Rightarrow t=-8,故選\bbox[red,2pt]{(C)}





由於-1\le \sin{\theta}\le 1,故選\bbox[red,2pt]{(D)}





2000\times 4^{ \frac { 5 }{ 2 }  }=2000\times 4^{ 2 }\times 4^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=2000\times 16\times 2=64000,故選\bbox[red,2pt]{(B)}





此題相當於求x+y+z=10的非負整數解有幾組?,即H^3_{10}=C^{12}_{10}=66,故選\bbox[red,2pt]{(D)}


二、填充題


圓心為(2,1),半徑為3之方程式為(x-2)^2+(y-1)^2=3^2\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y-4=0,因此d=-4,e=-2,f=-4\Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}



\begin{cases} x-y=2 \\ x+y=-1 \\ a+b=5 \\ 2a-b=1 \end{cases}\Rightarrow (x+y)+(a+b)=-1+5=\bbox[red,2pt]{4}




分母次數高於分子,因此極限值為\frac{0}{\infty}=\bbox[red,2pt]{0}





因為獨立,所以P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0.2\times 0.4=\bbox[red,2pt]{0.08}




先將甲乙綁在一起算一個人,則四個人排列有4!=24種排法;
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲,有2種綁法,因此總共有24\times 2=\bbox[red,2pt]{48} 種排法。



n=1\Rightarrow白色地磚數為3\times 3-1
n=2\Rightarrow白色地磚數為3\times 5-2
n=3\Rightarrow白色地磚數為3\times 7-3
n=k\Rightarrow白色地磚數為3\times (2k+1)-k
因此n=20\Rightarrow白色地磚數為3\times (2\times 20+1)-20=123-20=\bbox[red,2pt]{103}




(2,4)\to (2-3)^2=-(4-k)\Rightarrow 1=k-4\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{5}




將五頂點代入,最大值既為所求;以B或C點代入的值較大,
B\to 3x+4y=6+28=34; C\to 3x+4y=12+12=24,因此最大值為\bbox[red,2pt]{34}





若點數和為x,則
x=12\Rightarrow X={(6,6)}\Rightarrow P(X)=\frac{1}{36}
x=11\Rightarrow X={(5,6),(6,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{2}{36}
x=10\Rightarrow X={(4,6),(6,4),(5,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{3}{36}
因此點數和為二位數的機率為\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{1}{6};點數和為一位數的機率為1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
期望值=100\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}=\bbox[red,2pt]{-25}




令所求之餘式為ax+b,因此\begin{cases}f(-1)=6\\f(3)=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-a+b=6\\3a+b=-2\end{cases}\Rightarrow a=-2,b=4\Rightarrow 餘式為\bbox[red,2pt]{-2x+4}



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