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2018年6月13日 星期三

102年高中學力鑑定考試數學科詳解


臺閩地區 102 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試
數學科詳解
一、選擇題:( 12 題,每題 5 分,共 60 分)


百位數可為2,4,6,8,有四種選擇;十位數可為0-9,有10種選擇;個位數可為1,3,5,7,9,有五種選擇;因此這樣的三位數共有\(4\times   10\times  5= 200\)個,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)





點數和為9的情形:(3,6), (6,3),(4,5),(5,4),有4種;
點數和為10的情形:(4,6), (6,4),(5,5),有3種;
點數和為11的情形:(5,6), (6,5),有2種;
點數和為12的情形:(6,6),只有1種;
因此大於8的情況共有4+3+2+1=10種情形,每一種的機率都是\(\frac{1}{36}\),所以機率為\(\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)





若千位數固定為1,剩下3個數字排在百、十、個位,有\(3\times 2\times   1=6\)種情況。也就是千位數是1的四位數有6個;同理千位數是2的也有6個...。每個數字出現在千、百、十、個位都有6次,因此所有的四位數總和為\(1000\times 6\times (1+2+3+4)+100\times  6\times (1+2+3+4)+10\times  6\times  (1+2+3+4)\)
\(+   1\times 6\times (1+2+3+4) =  60000+6000+600+60  =  66660\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)





無論第1個骰子出現的點數為何,第二個骰子要出現與第一個骰子相同的機率為\(\frac{1}{6}\),不相同的機率為\(\frac{5}{6}\),因此期望值為\(220\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}  =-5\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)




:$$\log _{ 3 }{ 12 } =\log _{ 3 }{ 3 } +\log _{ 3 }{ 4 } =1+2\log _{ 3 }{ 2 } =a\\ \Rightarrow \log _{ 9 }{ 36 } =\frac { \log _{ 3 }{ 36 }  }{ \log _{ 3 }{ 9 }  } =\frac { \log _{ 3 }{ 9 } +\log _{ 3 }{ 4 }  }{ \log _{ 3 }{ 9 }  } =\frac { 2+2\log _{ 3 }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { 1+a }{ 2 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)




:$$det(A)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow (x+2)(x+1)=6\Rightarrow x^2+3x-4=0\Rightarrow (x+4)(x-1)=0\\\Rightarrow x=1(-4不合,\because x為正數)$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



直線L的方向向量為\(\vec{u}=(3,-1,2)\),需與平面的法向量垂直,即內積為0;
\((3,-1,2)\cdot (1,1,-1)=3-1-2=0\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)





由方程式可知橢圓的焦點坐標為(3,2)及(-3,-2),中心坐標為兩焦點的中心點,即(0,0),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)





假設此立方體邊長為1,且R為原點,則\(O=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}), C=(1,0,0)\),
\(B=(1,0,1), D=(1,1,0)\),由此可求得\(P=(1,0,\frac{1}{2}), Q=(1,\frac{1}{2},0)\)。因此$$\vec { OP } \cdot \vec { OQ } =|\vec { OP } ||\vec { OQ } |\cos { \angle POQ } \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 } ,-\frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } ,0,-\frac { 1 }{ 2 }  \right) =\sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \times \sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \times \cos { \angle POQ } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \times \cos { \angle POQ } \Rightarrow \cos { \angle POQ } =\frac { 1 }{ 2 } $$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



空間中的線段垂直平分線有無限多條,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)




直線上的點可表示成\((3t+1,2t+4,-t-2)\),當\(t=0\to (1,4,-2), t=-1\to (-2,2,-1), t=2\to (7,8,-4)\),只有(B)不在L上,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)





先將甲乙綁在一起算一個人,則四個人排列有4!=24種排法;
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲,有2種綁法,因此總共有\(2\times 24=48\)種排法,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


二、填充題


0男3女+1男2女+2男1女+3男 =\(C^4_3+C^6_1C^4_2+C^6_2C^4_1+C^6_3\) = \(4+36+60+20 = \bbox[red,2pt]{120}\)種選法。


:\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{25}}\)

:$$\sqrt [ 3 ]{ 81\sqrt [ 4 ]{ 729\div \sqrt [ 3 ]{ 81 }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3^{ 6 } }{ \sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 } }  }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3^{ 6 } }{ 3^{ \frac { 4 }{ 3 }  } }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ 3^{ \frac { 14 }{ 3 }  } }  } \\ =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times 3^{ \frac { 14 }{ 12 }  } } =\sqrt [ 3 ]{ 3^{ \frac { 62 }{ 12 }  } } =3^{ \frac { 62 }{ 36 }  }=3^{ \frac { 31 }{ 18 }  }=3^x\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{\frac{31}{18}}$$



令餘式為\(ax+b\),則$$\begin{cases} f\left( -1 \right) =6 \\ f\left( 3 \right) =-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -a+b=6 \\ 3a+b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b=4 \end{cases}$$因此餘式為\(\bbox[red,2pt]{-2x+4}\)




利用餘弦定理求解:$$\triangle ABC\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-{ \overline { AC }  }^{ 2 } }{ 2\times \overline { AB } \times \overline { BC }  } =\frac { 49+25-9 }{ 70 } =\frac { 13 }{ 14 } \\ \triangle ABD\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BD }  }^{ 2 }-{ \overline { AD }  }^{ 2 } }{ 2\times \overline { AB } \times \overline { BD }  } \Rightarrow \frac { 13 }{ 14 } =\frac { 98-{ \overline { AD }  }^{ 2 } }{ 98 } \\ \Rightarrow { \overline { AD }  }^{ 2 }=\frac { 98 }{ 14 } =7\Rightarrow \overline { AD } =\bbox[red,2pt]{\sqrt { 7 }} $$


:$$\tan { \theta  } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } ,\cos { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 2\sin { \theta  } -\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  } =\frac { \frac { 8 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 }  }{ \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 }  } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 5 }  } =\bbox[red,2pt]{5}$$



對稱軸垂直X軸表示該拋物線為上下形,其方程式可假設成\(y=ax^2+bx+c\)。過3點可表示成:$$\begin{cases} 3=c \\ 4=a-b+c \\ 6=a+b+c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=3 \\ b=1 \\ a=2 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=2x^2+x+3}$$




\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin{\angle A} = \frac{1}{2}\times 12\times 9\times \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{27}\)




公正骰子出現任何一點的機率皆為\(\frac{1}{6}\),因此期望值為\((10+10+10+20+20+50)\div 6=\bbox[red,2pt]{20}\)元。


:$$(x-2)^{ 2 }+(y-1)^{ 2 }=3^{ 2 }\Rightarrow x^{ 2 }-4x+4+y^{ 2 }-2y+1=9\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }-4x-2y-4=0\\ \Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}$$


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