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2018年6月28日 星期四

107學年基北區臺北市立麗山高級中學特招數學詳解

基北區臺北市立麗山高級中學
107 學年度高級中等學校特色招生考試
數學能力測驗詳解


解:

$${ \left( n+\sqrt { n }  \right)  }^{ 2 }\le 1600\Rightarrow n+\sqrt { n } \le 40\\ n=34\Rightarrow n+\sqrt { n } =34+5.X=39.X\le 40\\ n=35\Rightarrow n+\sqrt { n } =35+5.X=40.X>40$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。



解:

正五邊形的每個內角均為\((5-2)\times   180\div   5=108^\circ   \Rightarrow   \angle   A=108^\circ\);
\(\triangle   AFB\Rightarrow   \angle  AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow   \angle   GFA=108-56=52^\circ\)
\(\angle   BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow   \angle   EFP=\angle GFA=52^\circ\)
\(\triangle   EFP\Rightarrow   \angle   P=180-\angle   E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ\),故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。


解:
珍奶一杯\(40\times 0.8=32\)元、紅茶一杯\(30\times 0.8=24\)元;
珍奶4杯花費\(32\times 4=128\)元,並獲贈2杯綠茶;紅茶3杯花費\(24\times 3=72\)元。
目前已花費128+72=200元,並得到4+2+3=9杯飲料,剩下320-200=120元剛好買5杯紅茶。
總共買了9+5=14杯飲料,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。


解:
假設男社員只有2人: 男社長171公分及另1人169公分,則平均170公分;
假設女社員只有2人:女副社長158及另1人172公分,則平均165公分;
\(a=(169+158+172)\div 3=166.3, b=(171+169+172)\div 3=170.6, c=(169+172)\div 2=170.5\)
因此\(b>c>a\),故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。


解:
假設\(L:  y=a,   M:   x=b\Rightarrow   B=(18,   2a-6),  C=(2b-18,6)\Rightarrow   \overline{BC}\)中點坐標\((b,   a)=(-6,-1)\),因此\(a=-1,b=-6,   B=(18,-8),   C=(-30,  6)\);
\(\triangle   ABC\)周長\(=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=14+48+ \sqrt{48^2+14^2}= 62+50=112\),故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。


解:

正六邊形的每一內角為\((6-2)\times   180\div   6=120^\circ\),令其邊長為\(a\),如上圖。
直角\(\triangle   CDI\Rightarrow h=\overline{DI}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\),由\(\triangle   HEG\)面積可知:   \(8=\overline{GE}\times   h\div   2=\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2\Rightarrow  \sqrt{3}a^2=64\)
 梯形\(ABCF\)面積\(=(\overline{AB}+\overline{CF})\times   h\div   2=(a+(a/2+a+a/2))\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2   =\frac{3}{4}\times \sqrt{3}a^2=\frac{3}{4}\times   64=48\)
四邊形\(ABCH\)面積=梯形\(ABCF-\triangle  AHF\)面積=48-12=36,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。


解:

\(|x-1|=a\)代表x與1的距離為a;\(|x-y|=b\)代表x與y的距離為b;由於a>b,相關位置如上圖,不會出現\(y<1<x\)的情形,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。


解:
男員工\(a\Rightarrow\)女員工\(a-35\Rightarrow 戴眼鏡員工a+10\);
戴眼鏡男員工\(b\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5\Rightarrow b+b-5=a\Rightarrow b=\frac{a+5}{2}\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5=\frac{a+5}{2}-5=\frac{a-5}{2}\);
戴眼鏡女員工=戴眼鏡員工-戴眼鏡男員工-\(a+10-\frac{a+5}{2}=\frac{a+15}{2}\Rightarrow\)未戴眼鏡女員工=\(a+10-\frac{a+15}{2}=\frac{a-85}{2}\);
因此戴眼鏡男員工減未戴眼鏡女員工=\(\frac{a+5}{2}-\frac{a-85}{2}=\frac{90}{2}=45\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
\(101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
最小的正因數為1、最大的正因數就是自己。因此\(a_1=1,a_{27}\)就是該正整數,又\( a_1\times a_{27}=a_2\times a_{26}=\cdots=a_{13}\times a_{15}=a_{14}^2\);
\(b_{10}\)有10個因數,且\(10=5\times 2\Rightarrow b_{10}=m^4\times n\),其中m與n為質數。
從\(b_4,b_7\)的公因數為\(4=2^2\),且\(b_7=3b_4\)可知\(m=2,n=3\),即\(b_{10}=2^4\times 3=48=a_{14}\);
因此\(a_{27}=a_{14}^2=48^2=2^8\times 3^2\Rightarrow a_{26}=2^7\times 3^2\Rightarrow a_{25}=2^8\times 3\),故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。


解:
原函式圖形如上圖左,向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置,原P點y坐標介於1與3之間,往下移動3單位後,P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:$$\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-64\times 24 }{ 16 } =\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 9 }\times 3 }{ { 2 }^{ 4 } } ={ 2 }^{ 6 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 5 }\times 3=1632$$故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。


解:

四邊形OABC面積=\(\triangle OAB+\triangle OBC = 8\times 6\div 2+8\times 9\div 2=24+36=60\)
線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\),令P至\(\overline{AB}\)的距離為h,則\(\triangle APB=\overline{AB}\times h\div 2=6\sqrt{5}\times h\div 2=60\div 2\Rightarrow h=\frac{60}{6\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。


解:

由於\(\overline{OB}\)為\(\angle COA\)的角平分線,因此我們可以在\(\overline{OA}\)上找到一點D,使得\(\triangle OBC\)與\(\triangle OBD\)全等,見上圖。
\(\overline{OC}=\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow D=(13,0)\Rightarrow \overline{DA}=16-13=3\)
由於\(\triangle OBC\)與\(\triangle ODB\)面積相等,所以\(\triangle DAB=12\Rightarrow 3n\div 2=12 \Rightarrow n=8\),故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。



解:

假設\(\overline{CH}=\overline{AG}=a\),在直角\(\triangle AGC\)中,\({\overline{AC}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{HC}}^2\Rightarrow 34^2=a^2+(14+a)^2\Rightarrow (a-16)(a+30)=0 \Rightarrow a=16\)
在直角\(\triangle ABG\)中,\({\overline{AB}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{BG}}^2 \Rightarrow 20^2=16^2+{\overline{BG}}^2\Rightarrow \overline{BG}=12 \)
因此\(\overline{BC}=12+14+16=42\Rightarrow \overline{EF}=(\overline{AD}+\overline{BC})\div 2 =(14+42)\div 2=28\Rightarrow\)梯形AEFD面積=\((\overline{AD}+ \overline{EF}) \times\frac{\overline{AG}}{2}\div 2 = (14+28)\times 8\div 2 =168\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
原號碼牌順序為等差數列\(<a_n>\)
小潔拿走5張牌的號碼總和為600,即\(a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120\);
阿芳抽取的牌為\(a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow\)第10張牌為\(a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596\)
由上二式可求得\(a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
假設長為\(a\)、寬為\(b\),則$$\begin{cases} \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } =2\sqrt { 5 }  \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=20 \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+2ab=20+2\times 6=32 \\ { \left( a-b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab=20-2\times 6=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=4\sqrt { 2 }  \\ a-b=2\sqrt { 2 }  \end{cases}\Rightarrow a^{ 2 }-b^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a-b \right) =4\sqrt { 2 } \times 2\sqrt { 2 } =16$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。


解:


令\(\angle DAO=a,\angle OAE=b,\angle EAB=c\),如上圖。
在等腰\(\triangle OAD\Rightarrow 2a+\angle AOD=180\Rightarrow 2a+50=180\Rightarrow a=65^\circ\)
\(\triangle DAF\Rightarrow a+b+82=180\Rightarrow 65+b=98\Rightarrow b=33^\circ\)
在等腰\(\triangle OAB\Rightarrow 2(b+c)+\angle AOB=180\Rightarrow 2(33+c)+46=180 \Rightarrow c=34^\circ\)
因此\(\angle DAF-\angle BAE=a-c=65-34=31^\circ\), 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。


解:

\(A=(-7,-2), B=(-3,6), D=(7,26)\),颱風眼走到D點後,C就進入暴風圈,見上圖。
\(\overline{AB}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow\)颱風每小時走了\(\sqrt{5}\);
\(\overline{AD}=\overline{AC}-\sqrt{5}=\sqrt{14^2+28^2}-\sqrt{5}=13\sqrt{5}\),需要走13小時。從下午6時(18:00)+13小時,即隔日的7時,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。



解:
由於O為兩三角形的外心,所以A、B、C、D共圓,且圓心為O,如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍,即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\);
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰,因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ,  \beta = 51-19=32^\circ\),\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
\(4=1\times 4=4\times 1=2\times 2\)有三種組合;\(15=1\times 15=15\times 1=3\times 5=5\times 3\)有種組合,因此可能的值有\(3\times 4=\bbox[red,2pt]{12}\)種。


解:
正六邊形的每一內角為\(120^\circ\Rightarrow \triangle DCG\)三內角為\(30^\circ-60^\circ-90^\circ\),見上圖。
因此\(\overline{DG}=\frac{a}{2},\overline{GC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow\)原長方形的長為\(\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}=2a\),寬為\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\times 2=\sqrt{3}a\),其面積為\(2a\times\sqrt{3}a=100\sqrt{3}\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{5\sqrt{2}}\)。


解:
\(2018=2\times 1009\),由於1009是質數,所以n至少是1009+2=\(\bbox[red,2pt]{1011}\)。
也就是把正整數分成1010類(1-1010中第1個符合條件的是1008+1010=2018),在連續1011個正整數中一定可以找到a和b,使得a+b是2018的倍數。



解:
第23個圖形的外框每邊有23+5=28顆棋子,外框共有28+27+27+26=108顆棋子;
圖形中間的交叉共有26+26=52顆棋子,因此總共會需要108+52=\(\bbox[red,2pt]{160}\)顆棋子。


解:
黑塊是五邊形,12個黑塊有\(12\times 5=60\)個邊;
假設六邊形的白塊有\(n\)個,每一個白塊有三個邊與黑塊相鄰,即\((6-3)\times n=60 \Rightarrow n=20\),也就是白塊共有\(\bbox[red,2pt]{20}\)塊。


解:

\(\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle ABC=66^\circ\)
\(\angle ACB=66^\circ=\angle CAD\Rightarrow \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle ADB=\angle DBC=33^\circ\)
\(\angle ADB=33^\circ=\angle ABC\Rightarrow \triangle ABD\)為等腰 \(\Rightarrow \overline{AB} =\overline{AD}\)
\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\Rightarrow \triangle ACD\)為等腰\(\Rightarrow \angle ACD=(180-\angle DAC)\div 2=(180-66)\div 2=\bbox[red,2pt]{57^\circ}\)。


解:

假設\(\overline{DF}=a\Rightarrow \overline{GD}=a\Rightarrow \overline{AG}=2a\);
在直角\(\triangle GAD\)中,\({\overline{AD}}^2={\overline{GA}}^2+{\overline{GD}}^2 \Rightarrow 100=5a^2\Rightarrow a=2\sqrt{5}\)
\(\angle 2+\angle 3=90^\circ=\angle 3+\angle 4\Rightarrow \angle 2=\angle 4\Rightarrow \triangle PFD\sim\triangle DGQ\Rightarrow \frac{\overline{PF}}{\overline{FD}}=\frac{\overline{GD}}{\overline{GA}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{PF}=\frac{a}{2}\)
AFPD面積=正方形AEFG面積-\(\triangle PFD-\triangle DGA=4a^2-\frac{a^2}{4}-a^2= \frac{11a^2}{4} =\frac{11}{4}\times(2\sqrt{5})^2=\bbox[red,2pt]{55}\)



解:
甲走到X軸(一、四象限交接處): 走了100公尺,花了15秒,此時乙走了\(15\times \frac{100}{12}= 125\)公尺,已到了第三象限;
甲走到Y軸(一、二象限交接處): 走了200公尺,花了30秒,此時乙走了\(30\times \frac{100}{12}= 250\)公尺,已到了第四象限;
依此類推,甲走了一圈回到A點: 走了400公尺,此時乙走了500公尺,在X軸(二、四象限交接處);乙再走100公尺到了Y軸(三、四象交接處),此時甲還在第四象限(距A點\(12\times\frac{100}{15}=80\)公尺處)。只要再一秒鐘,甲、乙都在第四象限,因此兩人第一次位在同一象限是在第\(\bbox[red,2pt]{4}\)象限。



解:
直線\(\overline{AB}\)的斜率為\(-\frac{2}{3}\Rightarrow \overline{BP}\)的斜率為\(\frac{2}{3}\),因此\(\overline{BP}\)直線方程式為\(y=\frac{2}{3}-2\);
同理,直線\(\overline{CD}\)的斜率為\(-\frac{5}{6}\Rightarrow \overline{DP}\)的斜率為\(\frac{5}{6}\),因此\(\overline{DP}\)直線方程式為\(y=\frac{5}{6}-5\);
再求兩直線的交點,可得P坐標為\((\bbox[red,2pt]{18,10})\)。


解:


\(\overline{AD}=\overline{BC}\Rightarrow   \overline{EF}:\overline{HK}=\frac{1}{4}:\frac{3}{5}=   5:12\),因此假設\(\overline{EF}=5a,   \overline{HK}=12a\),並假設經過L的水平線與\(\overline{AD}\)的距離為\(h_1\)與\(\overline{BC}\)的距離是\(h_2\),見上圖。
\(\triangle   LEF\sim\triangle   LKH\Rightarrow   \triangle   LEF:\triangle   LKH={\overline{EF}}^2 :   {\overline{HK}}^2   =   25:144\Rightarrow   \triangle   LKH=144\);
同理可知\(h_1:h_2=\overline{EF}:\overline{HK}=5:12\);
\(\triangle   LEF   =\overline{5a}\times   h_1\div   2=25\Rightarrow   ah_1=10\Rightarrow  \)平行四邊形   AMND的面積=\(\overline{AD}\times   h_1=5a\times   4\times   h_1=20ah_1=200\);
同理\(\triangle   LKH   =\overline{12a}\times   h_2\div   2=144\Rightarrow   ah_2=24\Rightarrow  \)平行四邊形  MNCB的面積=\(\overline{BC}\times   h_2=12a\times  \frac{5}{3}\times   h_2=20ah_2=480\);
因此ABCD面積=\(200+480=\bbox[red,2pt]{680}\)。




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