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2018年6月28日 星期四

107學年基北區臺北市立麗山高級中學特招數學詳解

基北區臺北市立麗山高級中學
107 學年度高級中等學校特色招生考試
數學能力測驗詳解


解:

(n+n)21600n+n40n=34n+n=34+5.X=39.X40n=35n+n=35+5.X=40.X>40,故選\bbox[red,2pt]{(1)}



解:

正五邊形的每個內角均為(5-2)\times   180\div   5=108^\circ   \Rightarrow   \angle   A=108^\circ
\triangle   AFB\Rightarrow   \angle  AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow   \angle   GFA=108-56=52^\circ
\angle   BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow   \angle   EFP=\angle GFA=52^\circ
\triangle   EFP\Rightarrow   \angle   P=180-\angle   E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(3)}


解:
珍奶一杯40\times 0.8=32元、紅茶一杯30\times 0.8=24元;
珍奶4杯花費32\times 4=128元,並獲贈2杯綠茶;紅茶3杯花費24\times 3=72元。
目前已花費128+72=200元,並得到4+2+3=9杯飲料,剩下320-200=120元剛好買5杯紅茶。
總共買了9+5=14杯飲料,故選\bbox[red,2pt]{(3)}


解:
假設男社員只有2人: 男社長171公分及另1人169公分,則平均170公分;
假設女社員只有2人:女副社長158及另1人172公分,則平均165公分;
a=(169+158+172)\div 3=166.3, b=(171+169+172)\div 3=170.6, c=(169+172)\div 2=170.5
因此b>c>a故選\bbox[red,2pt]{(4)}


解:
假設L:  y=a,   M:   x=b\Rightarrow   B=(18,   2a-6),  C=(2b-18,6)\Rightarrow   \overline{BC}中點坐標(b,   a)=(-6,-1),因此a=-1,b=-6,   B=(18,-8),   C=(-30,  6)
\triangle   ABC周長=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=14+48+ \sqrt{48^2+14^2}= 62+50=112,故選\bbox[red,2pt]{(4)}


解:

正六邊形的每一內角為(6-2)\times   180\div   6=120^\circ,令其邊長為a,如上圖。
直角\triangle   CDI\Rightarrow h=\overline{DI}=\frac{\sqrt{3}a}{2},由\triangle   HEG面積可知:   8=\overline{GE}\times   h\div   2=\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2\Rightarrow  \sqrt{3}a^2=64
 梯形ABCF面積=(\overline{AB}+\overline{CF})\times   h\div   2=(a+(a/2+a+a/2))\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2   =\frac{3}{4}\times \sqrt{3}a^2=\frac{3}{4}\times   64=48
四邊形ABCH面積=梯形ABCF-\triangle  AHF面積=48-12=36,故選\bbox[red,2pt]{(3)}


解:

|x-1|=a代表x與1的距離為a;|x-y|=b代表x與y的距離為b;由於a>b,相關位置如上圖,不會出現y<1<x的情形,故選\bbox[red,2pt]{(1)}


解:
男員工a\Rightarrow女員工a-35\Rightarrow 戴眼鏡員工a+10
戴眼鏡男員工b\Rightarrow 未戴眼鏡男員工b-5\Rightarrow b+b-5=a\Rightarrow b=\frac{a+5}{2}\Rightarrow 未戴眼鏡男員工b-5=\frac{a+5}{2}-5=\frac{a-5}{2}
戴眼鏡女員工=戴眼鏡員工-戴眼鏡男員工-a+10-\frac{a+5}{2}=\frac{a+15}{2}\Rightarrow未戴眼鏡女員工=a+10-\frac{a+15}{2}=\frac{a-85}{2}
因此戴眼鏡男員工減未戴眼鏡女員工=\frac{a+5}{2}-\frac{a-85}{2}=\frac{90}{2}=45,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:
101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:
最小的正因數為1、最大的正因數就是自己。因此a_1=1,a_{27}就是該正整數,又 a_1\times a_{27}=a_2\times a_{26}=\cdots=a_{13}\times a_{15}=a_{14}^2
b_{10}有10個因數,且10=5\times 2\Rightarrow b_{10}=m^4\times n,其中m與n為質數。
b_4,b_7的公因數為4=2^2,且b_7=3b_4可知m=2,n=3,即b_{10}=2^4\times 3=48=a_{14}
因此a_{27}=a_{14}^2=48^2=2^8\times 3^2\Rightarrow a_{26}=2^7\times 3^2\Rightarrow a_{25}=2^8\times 3,故選\bbox[red,2pt]{(4)}


解:
原函式圖形如上圖左,向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置,原P點y坐標介於1與3之間,往下移動3單位後,P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-64\times 24 }{ 16 } =\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 9 }\times 3 }{ { 2 }^{ 4 } } ={ 2 }^{ 6 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 5 }\times 3=1632故選\bbox[red,2pt]{(3)}


解:

四邊形OABC面積=\triangle OAB+\triangle OBC = 8\times 6\div 2+8\times 9\div 2=24+36=60
線段\overline{AB}的長度為\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5},令P至\overline{AB}的距離為h,則\triangle APB=\overline{AB}\times h\div 2=6\sqrt{5}\times h\div 2=60\div 2\Rightarrow h=\frac{60}{6\sqrt{5}}=2\sqrt{5},故選\bbox[red,2pt]{(3)}


解:

由於\overline{OB}\angle COA的角平分線,因此我們可以在\overline{OA}上找到一點D,使得\triangle OBC\triangle OBD全等,見上圖。
\overline{OC}=\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow D=(13,0)\Rightarrow \overline{DA}=16-13=3
由於\triangle OBC\triangle ODB面積相等,所以\triangle DAB=12\Rightarrow 3n\div 2=12 \Rightarrow n=8,故選\bbox[red,2pt]{(4)}



解:

假設\overline{CH}=\overline{AG}=a,在直角\triangle AGC中,{\overline{AC}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{HC}}^2\Rightarrow 34^2=a^2+(14+a)^2\Rightarrow (a-16)(a+30)=0 \Rightarrow a=16
在直角\triangle ABG中,{\overline{AB}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{BG}}^2 \Rightarrow 20^2=16^2+{\overline{BG}}^2\Rightarrow \overline{BG}=12
因此\overline{BC}=12+14+16=42\Rightarrow \overline{EF}=(\overline{AD}+\overline{BC})\div 2 =(14+42)\div 2=28\Rightarrow梯形AEFD面積=(\overline{AD}+ \overline{EF}) \times\frac{\overline{AG}}{2}\div 2 = (14+28)\times 8\div 2 =168,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:
原號碼牌順序為等差數列<a_n>
小潔拿走5張牌的號碼總和為600,即a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120
阿芳抽取的牌為a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow第10張牌為a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596
由上二式可求得a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:
假設長為a、寬為b,則\begin{cases} \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } =2\sqrt { 5 }  \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=20 \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+2ab=20+2\times 6=32 \\ { \left( a-b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab=20-2\times 6=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=4\sqrt { 2 }  \\ a-b=2\sqrt { 2 }  \end{cases}\Rightarrow a^{ 2 }-b^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a-b \right) =4\sqrt { 2 } \times 2\sqrt { 2 } =16,故選\bbox[red,2pt]{(4)}


解:


\angle DAO=a,\angle OAE=b,\angle EAB=c,如上圖。
在等腰\triangle OAD\Rightarrow 2a+\angle AOD=180\Rightarrow 2a+50=180\Rightarrow a=65^\circ
\triangle DAF\Rightarrow a+b+82=180\Rightarrow 65+b=98\Rightarrow b=33^\circ
在等腰\triangle OAB\Rightarrow 2(b+c)+\angle AOB=180\Rightarrow 2(33+c)+46=180 \Rightarrow c=34^\circ
因此\angle DAF-\angle BAE=a-c=65-34=31^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(1)}


解:

A=(-7,-2), B=(-3,6), D=(7,26),颱風眼走到D點後,C就進入暴風圈,見上圖。
\overline{AB}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow颱風每小時走了\sqrt{5}
\overline{AD}=\overline{AC}-\sqrt{5}=\sqrt{14^2+28^2}-\sqrt{5}=13\sqrt{5},需要走13小時。從下午6時(18:00)+13小時,即隔日的7時,故選\bbox[red,2pt]{(1)}



解:
由於O為兩三角形的外心,所以A、B、C、D共圓,且圓心為O,如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍,即\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ
\overline{OA}=\overline{OB}=半徑\Rightarrow \triangle OAB為等腰,因此\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ \alpha = 51-18=33^\circ,  \beta = 51-19=32^\circ\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(2)}


解:
4=1\times 4=4\times 1=2\times 2有三種組合;15=1\times 15=15\times 1=3\times 5=5\times 3有種組合,因此可能的值有3\times 4=\bbox[red,2pt]{12}種。


解:
正六邊形的每一內角為120^\circ\Rightarrow \triangle DCG三內角為30^\circ-60^\circ-90^\circ,見上圖。
因此\overline{DG}=\frac{a}{2},\overline{GC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow原長方形的長為\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}=2a,寬為\frac{\sqrt{3}a}{2}\times 2=\sqrt{3}a,其面積為2a\times\sqrt{3}a=100\sqrt{3}\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{5\sqrt{2}}


解:
2018=2\times 1009,由於1009是質數,所以n至少是1009+2=\bbox[red,2pt]{1011}
也就是把正整數分成1010類(1-1010中第1個符合條件的是1008+1010=2018),在連續1011個正整數中一定可以找到a和b,使得a+b是2018的倍數。



解:
第23個圖形的外框每邊有23+5=28顆棋子,外框共有28+27+27+26=108顆棋子;
圖形中間的交叉共有26+26=52顆棋子,因此總共會需要108+52=\bbox[red,2pt]{160}顆棋子。


解:
黑塊是五邊形,12個黑塊有12\times 5=60個邊;
假設六邊形的白塊有n個,每一個白塊有三個邊與黑塊相鄰,即(6-3)\times n=60 \Rightarrow n=20,也就是白塊共有\bbox[red,2pt]{20}塊。


解:

\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle ABC=66^\circ
\angle ACB=66^\circ=\angle CAD\Rightarrow \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle ADB=\angle DBC=33^\circ
\angle ADB=33^\circ=\angle ABC\Rightarrow \triangle ABD為等腰 \Rightarrow \overline{AB} =\overline{AD}
\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\Rightarrow \triangle ACD為等腰\Rightarrow \angle ACD=(180-\angle DAC)\div 2=(180-66)\div 2=\bbox[red,2pt]{57^\circ}


解:

假設\overline{DF}=a\Rightarrow \overline{GD}=a\Rightarrow \overline{AG}=2a
在直角\triangle GAD中,{\overline{AD}}^2={\overline{GA}}^2+{\overline{GD}}^2 \Rightarrow 100=5a^2\Rightarrow a=2\sqrt{5}
\angle 2+\angle 3=90^\circ=\angle 3+\angle 4\Rightarrow \angle 2=\angle 4\Rightarrow \triangle PFD\sim\triangle DGQ\Rightarrow \frac{\overline{PF}}{\overline{FD}}=\frac{\overline{GD}}{\overline{GA}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{PF}=\frac{a}{2}
AFPD面積=正方形AEFG面積-\triangle PFD-\triangle DGA=4a^2-\frac{a^2}{4}-a^2= \frac{11a^2}{4} =\frac{11}{4}\times(2\sqrt{5})^2=\bbox[red,2pt]{55}



解:
甲走到X軸(一、四象限交接處): 走了100公尺,花了15秒,此時乙走了15\times \frac{100}{12}= 125公尺,已到了第三象限;
甲走到Y軸(一、二象限交接處): 走了200公尺,花了30秒,此時乙走了30\times \frac{100}{12}= 250公尺,已到了第四象限;
依此類推,甲走了一圈回到A點: 走了400公尺,此時乙走了500公尺,在X軸(二、四象限交接處);乙再走100公尺到了Y軸(三、四象交接處),此時甲還在第四象限(距A點12\times\frac{100}{15}=80公尺處)。只要再一秒鐘,甲、乙都在第四象限,因此兩人第一次位在同一象限是在第\bbox[red,2pt]{4}象限。



解:
直線\overline{AB}的斜率為-\frac{2}{3}\Rightarrow \overline{BP}的斜率為\frac{2}{3},因此\overline{BP}直線方程式為y=\frac{2}{3}-2
同理,直線\overline{CD}的斜率為-\frac{5}{6}\Rightarrow \overline{DP}的斜率為\frac{5}{6},因此\overline{DP}直線方程式為y=\frac{5}{6}-5
再求兩直線的交點,可得P坐標為(\bbox[red,2pt]{18,10})


解:


\overline{AD}=\overline{BC}\Rightarrow   \overline{EF}:\overline{HK}=\frac{1}{4}:\frac{3}{5}=   5:12,因此假設\overline{EF}=5a,   \overline{HK}=12a,並假設經過L的水平線與\overline{AD}的距離為h_1\overline{BC}的距離是h_2,見上圖。
\triangle   LEF\sim\triangle   LKH\Rightarrow   \triangle   LEF:\triangle   LKH={\overline{EF}}^2 :   {\overline{HK}}^2   =   25:144\Rightarrow   \triangle   LKH=144
同理可知h_1:h_2=\overline{EF}:\overline{HK}=5:12
\triangle   LEF   =\overline{5a}\times   h_1\div   2=25\Rightarrow   ah_1=10\Rightarrow  平行四邊形   AMND的面積=\overline{AD}\times   h_1=5a\times   4\times   h_1=20ah_1=200
同理\triangle   LKH   =\overline{12a}\times   h_2\div   2=144\Rightarrow   ah_2=24\Rightarrow  平行四邊形  MNCB的面積=\overline{BC}\times   h_2=12a\times  \frac{5}{3}\times   h_2=20ah_2=480
因此ABCD面積=200+480=\bbox[red,2pt]{680}




- END -

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