107學年度大園國際高級中等學校特色招生
數學科詳解
第一部分：選擇題
(A) -160 (B) -480 (C) 160 (D) 480
解：
$$\left[ (-10)^{ 5 }\div (-5)^{ 4 } \right] -\left[ 2^{ 5 }-3^{ 7 }\times (-\frac { 2 }{ 3 } )^{ 5 } \right] =\frac { { -2 }^{ 5 }\times { 5 }^{ 5 } }{ { 5 }^{ 4 } } -2^{ 5 }-\frac { 3^{ 7 }\times { 2 }^{ 5 } }{ 3^{ 5 } } ={ -2 }^{ 5 }\times 5-2^{ 5 }-3^{ 2 }\times { 2 }^{ 5 }\\ ={ 2 }^{ 5 }\left( -5-1-3^{ 2 } \right) ={ 2 }^{ 5 }\times \left( -15 \right) =32\times \left( -15 \right) =-480$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
(A) 1:2 (B) 1:4 (C) 1:8 (D) 1:16
解：
周長比=半徑比\(\Rightarrow \)面積比=半徑平方比=1:16，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
(A) -3 (B) -7 (C) -19 (D) -23
解：
\(x=1\Rightarrow (3+a)(b+3)=14+c\Rightarrow 2a+c+20=0\)
\(x=-1\Rightarrow (3-a)(b-3)=c-24\Rightarrow c=8a\)
由上二式可求得\(a=-2,c=-16\Rightarrow a+b+c=-2-5-16=-23\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
\((A)\frac{1}{3}\; (B)\frac{2}{3}\;(C)\frac{4}{9}\; (D)\frac{5}{9}\)
解：
取到正常的接頭機率為\(\frac{2}{3}\)，取到正常的充電線機率也是\(\frac{2}{3}\)，因此恰好可允電的機率為\(\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
(A) 19 (B) 22 (C) 28 (D) 41
解：
假設投進二分球\(a\)球、三分球\(b\)球，則$$\begin{cases} 3+2a+3b=65 \\ 3+a+b=31 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+3b=62 \\ a+b=28 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=22 \\ b=6 \end{cases}$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
(A)眾數 (B) 中位數 (C) 平均數 (D)四位距
解：
\((A)\overline{AB}<\overline{CD}<\overline{EF}\)
\((B)\overline{AB}=\overline{CD}<\overline{EF}\)
\((C)\overline{AB}<\overline{CD}=\overline{EF}\)
\((D)\overline{AB}=\overline{CD}=\overline{EF}\)
解：
\((A)a>b>c\;(B)a>c>b\;(C)c>a>b\;(D)c>b>a\)
解：
只有\(b<1\)，所以\(b\)最小；\(a\)與\(c\)的分子相同，且\(\sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow a>c\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
\((A)x991\;(B)x=993\;(C)x=997\;(D)x=1003\)
解：
\(999991=1003\times 997\Rightarrow x^{ 2 }+6x-999991=(x-997)(x+1003)\Rightarrow \)正根是997，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
令\(\overline{DC}=a,\overline{BC}=b\Rightarrow a^2+b^2=100\)。
大圓面積+小圓面積=\((\frac{b}{2})^2\pi+(\frac{a}{2})^2\pi=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\pi=\frac{1}{4}\times 100\pi=25\pi\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
解：
\(16n+17n=198\Rightarrow 33n=198\Rightarrow n=6\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
解：
\(\overline{AC}\)是\(\angle DCE\)的角平分線\(\Rightarrow \angle DCA=\angle ACE=\alpha\)；
\(\angle B= \widehat {AD}+ \widehat { DC }=\alpha+20\)
\(\angle D=\widehat {AB}+ \widehat { BC }=\alpha+\beta+\beta-20=\alpha+2\beta-20\)
\(\triangle ADC\Rightarrow 20+\alpha+(\alpha-2\beta-20)=180\Rightarrow \alpha+\beta=90\)
\(\triangle ABE\Rightarrow \angle AEB=180-\angle B-\angle BAE=180-(\alpha+20)-\beta=160-(\alpha+\beta) =160-90=70^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
\(\triangle AFB\Rightarrow \angle AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow \angle GFA=108-56=52^\circ\)
\(\angle BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow \angle EFP=\angle GFA=52^\circ\)
\(\triangle EFP\Rightarrow \angle P=180-\angle E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
作\(\overline{DH}//\overline{AB}\)，分別交\(\overline{EF}\)及\(\overline{BC}\)於P點及H點，如上圖。
\(\overline{DH}//\overline{AB}\Rightarrow \overline{EP}=\overline{AD}=30\)
\(\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{BH}=130-30=100\)
\(\overline{DF}:\overline{DC}=\overline{PF}:\overline{HC}\Rightarrow 3:5=\overline{PF}:100 \Rightarrow \overline{PF}=60\)
\(\overline{EF}=\overline{EP}+\overline{PF}=30+60=90\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
17.
解：
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\)；
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰，因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ\)，\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
18. 如圖，矩形ABCD中，E為\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{CE}>\overline{BE}\)，且\(\angle AED=90^\circ\)。若\(\overline{AD}=25\)，\(\triangle AED\)面積為150，則\(\overline{AE}\)的長度為何？
(A) 12 (B) 15 (C) 16 (D) 20
解：
\(\triangle AED\)面積為150\(\Rightarrow 25h\div 2=150\Rightarrow h=12\)
\(a^2+b^2=25^2\Rightarrow (x^2+h^2)+(h^2+(25-x)^2)=25^2\Rightarrow 2\times 12^2+x^2+(25-x)^2 = 25^2\)
\(\Rightarrow x^2-25x+144=0\Rightarrow (x-16)(x-9)=0\Rightarrow x=9\Rightarrow a^2=h^2+x^2=12^2+9^2=225\Rightarrow a=15\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
全班有\(n\)人，平均\(a\)分，則\(\frac{5\times 12+na}{n}=a+3\Rightarrow \frac{60}{n}+a=a+3\Rightarrow n=20\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
顯然C為\(\overline{AB}\)的中點，坐標為\((-8\div 2,-10\div 2)=(-4,-5)\)，見上圖。
因此經過O、C的直線方程式為\(5x=4y\Rightarrow y=\frac{5}{4}x\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
21. 如圖，\(\triangle ABC\)中，D、E兩點分別在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AD}\)上，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\overline{CD}=\overline{CE}\)。若\(\angle ACE=35^\circ\)，\(\angle BAD=10^\circ\)，則\(\angle CAE\)的度數為何？
\((A)30^\circ\;(B)35^\circ\;(C)40^\circ\;(D)45^\circ\)
解：
\(\angle ECD=a\Rightarrow \angle ABC=\angle ACB=35+a\)
\(\angle ADC=b=\angle ABC+\angle BAD=35+a+10=45+a\)
\(\triangle CDE\Rightarrow b+b+a=180\Rightarrow 2(45+a)+a=180\Rightarrow a=30\)
\(\angle A+\angle B+\angle C=180\Rightarrow (10+\angle CAE)+2(a+35)=180\Rightarrow \angle CAE =40^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
直線\(\overline{BB'}\)與\(\overline{AA'}\)交於C點，因此C=(7,4)；
ABB'A'面積=\(\triangle ABC-\triangle B'CA' =\overline{BC}\times\overline{AC}\div 2-\overline{B'C}\times\overline{A'C}\div 2 \)
\(= 6\times 9\div 2-2\times 1\div 2= 27-1=26\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
三角形ACB為直角三角形，因此其外接圓圓心為斜邊的中點，即O點為圓心；令半徑長度為\(a\)，即\(\overline{OB}=\overline{OC}=a\)，因此\(h^2=a^2-7^2=30^2-(a-7)^2\Rightarrow a^2-7a-450=0\Rightarrow (a-25)(a+18)=0\Rightarrow 25\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
在直角三角形AGO中，\({\overline{AG}}^2={\overline{AO}}^2-{\overline{AG}}^2 =25^2-15^2 =400 \Rightarrow \overline{AG}=20\)；
同理，在直角三角形FOC中，\({\overline{FC}}^2={\overline{OC}}^2-{\overline{FO}}^2 =25^2-7^2 =576 \Rightarrow \overline{FC}=24\)；
\(\overline{AE}-\overline{CE}=(\overline{AG}-\overline{EG})-(\overline{FC}-\overline{FE}) =(20-7)-(24-15) =13-9=4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
令\(\angle C=a\Rightarrow \angle ADB=a+9\)，且\(\angle DBC=\angle BAE=b\)；
\(\angle AEB=\angle DCB=a\)、\(\angle DBE =\angle BAE=b\)且\(\overline{BE}=\overline{DC}\)，所以\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等；
\(\angle AFB=\angle FBE+\angle FEB=a+b=\angle FAD+\angle FDA=33+a+9\Rightarrow a+b= 42+a \Rightarrow b=42^\circ\)；
\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等\(\Rightarrow \overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow b+33=a+9\)
\(\Rightarrow 42+33=a+9\Rightarrow a=66\Rightarrow \angle ABE=180-a-b=180-66-42=72\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
\(\overline{EF}//\overline{CD}\Rightarrow \angle FGD=180-55=125^\circ\)
\(\overline{FG}//\overline{BC}\Rightarrow \angle C=\angle FGD=125^\circ\)
\(\angle A=360-56-56-125=123^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
27. 某班公車路線先後行經甲、乙兩站，已知有一輛該班路線的公車，在甲站停靠時，上、下車人數比為3:1，在乙站停靠時，上、下車人數比為4:7。若車上原有若干人，經過甲、乙兩站後，車上人數和原有人數相同，則甲、乙兩站上車的人數比為何？
(A) 1:2 (B) 3:11 (C) 9:8 (D) 33:16
解：
假設車上原有\(x\)人，甲站上、下車人數為\(3m,m\)，乙站上、下車人數為\(4n,7n\)；
經過甲站後，車上人數變為\(x+3m-m=x+2m\)，再經過乙站後，車上人數變為\(x+2m+4n-7n =x+2m-3n\)。由題意知:\(x+2m-3n=x\Rightarrow m=\frac{3}{2}m\)。
甲、乙兩站上車的人數比為\(3m:4n = 3\times\frac{3}{2}n:4n=9:8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
28. 若有一數列的第\(n\)項可用\((n+\sqrt{n})^2\)表示，則此數列有多少項會介於1~1600之間？
(A) 34 (B) 35 (C) 39 (D) 40
解：
\(a_n=(n+\sqrt{n})^2\Rightarrow 1\le (n+\sqrt{n})^2\le 1600\Rightarrow 1\le n+\sqrt{n}\le 40\)
\(n=34\Rightarrow n+\sqrt{n}=34+\sqrt{34}=34+5.X=39.X<40\)
\(n=35\Rightarrow n+\sqrt{n}=35+\sqrt{35}=35+5.X=40.X>40\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
在直角\(\triangle BFE\Rightarrow \overline{BF}^2=\overline{BE}^2+\overline{EF}^2\Rightarrow 100=a^2+b^2=36+b^2\Rightarrow b=8\)
在直角\(\triangle BEC\Rightarrow \overline{BC}^2=\overline{BE}^2+\overline{EC}^2 =64+225=289 \Rightarrow \overline{BC}=17\)
ABCD周長\(=10+10+17+17=54\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
30. 已知\(a\)、\(b\)為介於100與400之間的兩正整數，且\(a\)、\(b\)皆有奇數個正因數。若\(a\)、\(b\)的最大公因數為36，則\(a\)、\(b\)的最小公倍數為何？
\((A) 2^3\times 3^3\)
\((B) 2^3\times 3^4\)
\((C) 2^4\times 3^4\)
\((D) 2^6\times 3^4\)
解：
\(a\)、\(b\)皆有奇數個正因數代表\(a=m^2,b=n^2, m,n\)分別是\(a\)、\(b\)的因數；
假設\(a\)、\(b\)的最小公倍數為\(k\Rightarrow 36k=ab=m^2n^2\Rightarrow k=\left(\frac{mn}{6}\right)^2\)
由於\(k\)是某個數的平方，因此(A)及(B)不合；又\(a\)、\(b\)為介於100與400之間，因此\(m\)、\(n\)介於10與20之間，即\(100\le m\times n\le 400\Rightarrow 16\le \frac{mn}{6}\le 66 \Rightarrow 16^2\le k\le 66^2=4356<2^6\times 3^4=5184\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
\(\overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle DAC=\angle ACB=\angle 1\)；
\(\angle B+\angle 1=90^\circ=\angle ACD+\angle 1\Rightarrow \angle B=\angle ACD\)
(2) 由於\(\angle B=\angle ACD, \angle BAC=\angle D=90^\circ\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle DCA \) (AAA)，因此\(\overline{BC}:\overline{CA}=\overline{CA}:\overline{AD} \Rightarrow \overline{AC}^2=25\times 16\Rightarrow \overline{AC}=\bbox[red,2pt]{20}\)
2. 坐標平面上，二次函數\(y=(x-1)(5-x)\)的圖形頂點為A，且此函數圖形與一水平線相交於B、C兩點，\(\overline{BC}=2k\)。\(\triangle ABC\)面積為\(16k\)，則\(k\)值為何？請完整寫出解過程？
解：
\(y=(x-1)(5-x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\Rightarrow A=(3,2)\Rightarrow\)該函數與X軸交於P=(1,0)及Q=(5,0)，如上圖。
\(\triangle ABC\)面積\(=2k\times h\div 2=16k\Rightarrow h=16\Rightarrow B=(3-k,4-h)=(3-k,-12)\)代入函式可得\( -12=(2-k)(2+k)\Rightarrow k^2=16\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{4}\)
- END -
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