107年大學指考數學乙詳解

107學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 74 分 ）
一、單選題

解：

$f(x)=p(x)(x^2-14x+13)+ax+b=p(x)(x-13)(x-1)+ax+b\Rightarrow f(1)=a+b=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

A→B→A→C→D→E = 1+1+1+1+1=5，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$$a<b<{ 2 }^{ 10 }\Rightarrow \log { a } <\log { b } =3.0025<\log { { 2 }^{ 10 } } \Rightarrow 3<3.0025<10\log { 2 } =3.01\\ \Rightarrow 3<3.0025<\frac { 3+3.01 }{ 2 } =3.005\Rightarrow 3.0025=\frac { 3+\frac { 3+3.01 }{ 2 }  }{ 2 }$$ 由以上內插法過程可知 $$b=\frac { a+\frac { a+{ 2 }^{ 10 } }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } +\frac { a+{ 2 }^{ 10 } }{ 4 } =\frac { 3a }{ 4 } +\frac { { 2 }^{ 10 } }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 } \times { 10 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 8 }=750+256=1006$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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二、多選題

解： $$(1)\left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } } \right| =1\Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ a_{ n } } 不收斂\\ (2)b_{ n }=0\Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ b_{ n } } 收斂\\ (3)\left| \frac { c_{ n+1 } }{ c_{ n } } \right| =\left| \frac { -\sqrt { 10 } }{ 3 } \right| =\frac { \sqrt { 10 } }{ 3 } >1\Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ c_{ n } } 不收斂\\ (4)\left| \frac { d_{ n+1 } }{ d_{ n } } \right| =\left| \frac { c_{ n+1 } }{ c_{ n } } \right| >1\Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ d_{ n } } 不收斂\\ (5)\left| \frac { e_{ n+1 } }{ e_{ n } } \right| =\frac { 3 }{ \sqrt { 10 } } <1\Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ e_{ n } } 收斂$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$

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解： $$(1)2^{ x }=3\Rightarrow x\log { 2 } =\log { 3 } \Rightarrow x=\frac { \log { 3 } }{ \log { 2 } } =\frac { 0.4771 }{ 0.301 } \approx 1.59<2\\ (2)3^{ y }=4\Rightarrow y\log { 3 } =2\log { 2 } \Rightarrow y=\frac { 2\log { 2 } }{ \log { 3 } } =\frac { 0.602 }{ 0.4771 } \approx 1.26<\frac { 3 }{ 2 } \\ (3)x\approx 1.59,y\approx 1.26\Rightarrow x>y\\ (4)xy=\frac { \log { 3 } }{ \log { 2 } } \times \frac { 2\log { 2 } }{ \log { 3 } } =2\\ (5)\frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } =\sqrt { 2 } \Rightarrow x+y\ge 2\sqrt { 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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解： $$(1)p\left( 3<\varepsilon _{ 甲 }\le 6 \right) =p\left( 3<\varepsilon _{ 甲 } \right) -p\left( 6<\varepsilon _{ 甲 } \right) =0.32-0.1=0.22>0.2\\ (2)p\left( \varepsilon _{ 甲 }\le 3 \right) \times p\left( 6<\varepsilon _{ 甲 } \right) =\left( 1-p\left( 3<\varepsilon _{ 甲 } \right) \right) \times p\left( 6<\varepsilon _{ 甲 } \right) =0.68\times 0.1=0.068\neq 0.136\\ (3)p\left( \varepsilon _{ 甲 }\le 3 \right) \times p\left( \varepsilon _{ 乙 }\le 3 \right) =\left( 1-p\left( 3<\varepsilon _{ 甲 } \right) \right) \times \left( 1-p\left( 3<\varepsilon _{ 乙 } \right) \right) =0.68\times 0.84=0.5292<0.7\\ (4)1-p\left( 3<\varepsilon _{ 甲 } \right) \times p\left( 3<\varepsilon _{ 乙 } \right) =1-0.32\times 0.16=0.9488>0.84\\ (5)甲有A=100個，乙有B=100個，則\frac { 0.32A+0.16B }{ A+B } =\frac { 48 }{ 200 } =0.24\nless 0.32\times 0.16=0.0512$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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解： $$(1)60\%\times 15\%+40\%\times 5\%=0.09+0.02=0.11\\ (2)\frac { 60\%\times 15\% }{ 60\%\times 15\%+40\%\times 5\% } =\frac { 0.09 }{ 0.11 } =\frac { 9 }{ 11 } <\frac { 9 }{ 10 } =90\%\\ (3)15\%\rightarrow 0.03=3\%\Rightarrow \frac { 3\% }{ 15\% } =\frac { 1 }{ 5 } \\ (4)A級住宅:20\%\times 3\%+80\%\times 15\%=0.006+0.12=0.126>0.05\\ (5)過去為0.11，經改善後一定小於0.11$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

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三、選填題

解：
$$\begin{cases} 75\%\times 張+10\%\times 李=張 \\ 25\%\times 張+90\%\times 李=李 \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} 75\% & 10\% \\ 25\% & 90\% \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 張 \\ 李 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 張 \\ 李 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{vmatrix} 75\% & 10\% \\ 25\% & 90\% \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3/4 & 1/10 \\ 1/4 & 9/10 \end{vmatrix}=\frac { 27 }{ 40 } -\frac { 1 }{ 40 } =\frac { 26 }{ 40 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 13 }{ 20 }}$$

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解：

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}\cdot3\overrightarrow{AC}   =6\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=6\times  15=90$

答：$\bbox[red,2pt]{(90)}$

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解：

此題相當一次取三個紅包袋，求其期望值。
每種紅包被取出的機率皆是$\frac{3}{4}$，因此其期望值為$\frac{3}{4}\times(100+200+300+400)   =   \frac{3}{4}\times   1000=\bbox[red,2pt]{750}$元。

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第貳部分：非選擇題

解：
(1)$f(3)=f(-7)\Rightarrow f(x)$的對稱軸方程式:$x=\frac{3-7}{2}=-2$即$\bbox[red,2pt]{x=-2}$
(2)$f(x)=0\Rightarrow (x-k)^2=-\frac{b}{a}>0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{ab<0}$
(3) 由(1)知$k=-2\Rightarrow f(x)=a(x+2)^2+b$，$f(x)=0\Rightarrow   a(x+2)^2+b=0\Rightarrow$兩根之積為$4+\frac{b}{a}$，由(2)知$ab<0$，因此兩根之積$4+\frac{b}{a}<4$。

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解：
(1)假設售出甲廠牌汽車$x$台、售出乙廠牌汽車$y$台，此問題的線性規劃為： $$\begin{cases} 0\le x\le 20 \\ 0\le y\le 30 \\ 100x+120y\le 4400 \end{cases}$$ ，目標函數為$f(x,y)=11x+12y$

(2)  可行解區域如下圖斜線區域

(3)   將可行解區域各頂點代入目標函數，求其最大值，即 $$\begin{cases} f(E)=20\times 11=220 \\ f(D)=30\times 12=360 \\ f(C)=11\times 8+12\times 30=448 \\ f(B)=11\times 20+12\times 20=460 \end{cases}$$
因此$\bbox[red,2pt]{甲、乙廠汽車各售出20台}有\bbox[red,2pt]{最大利潤460萬元}$。


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