105年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一)：微積分 詳解
解：$$f\left( x \right) =\begin{cases} \cos { x } & x<0 \\ a+x^{ 2 } & 0\le x<1 \\ bx & 1\le x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \lim _{ x\to 0 }{ f\left( x \right) } =\cos { 0 } =a+0 \\ \lim _{ x\to 1 }{ f\left( x \right) } =a+1=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=a+1=2 \end{cases}\\\Rightarrow a+b=3\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：
$$f\left( x \right) =\frac { x^{ 3 } }{ x^{ 2 }-3 } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 3x^{ 2 } }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 2x^{ 4 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right) }^{ 2 } } \Rightarrow f''\left( x \right) =\frac { 6x }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 14x^{ 3 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right) }^{ 2 } } +\frac { 8x^{ 5 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right) }^{ 3 } } \\ f'\left( x \right) =0\Rightarrow \frac { 3x^{ 2 } }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 2x^{ 4 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right) }^{ 2 } } =0\Rightarrow 3x^{ 2 }\left( x^{ 2 }-3 \right) -2x^{ 4 }=0\Rightarrow x^{ 2 }\left( x+3 \right) \left( x-3 \right) =0\Rightarrow x=0,\pm 3\\ \Rightarrow \begin{cases} f''\left( 0 \right) =0 \\ f''\left( 3 \right) >0 \\ f''\left( -3 \right) <0 \end{cases}\Rightarrow f\left( -3 \right) =\frac { -27 }{ 6 } =-\frac { 9 }{ 2 } 為相對極大值\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$f\left( x \right) ={ \left( x+\sqrt { 3+x^{ 2 } } \right) }^{ 2 }\Rightarrow f'\left( x \right) ={ 2\left( x+\sqrt { 3+x^{ 2 } } \right) }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 2x }{ \sqrt { 3+x^{ 2 } } } \right) \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =2\left( 1+\sqrt { 4 } \right) \left( 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } } \right) =2\times 3\times \frac { 3 }{ 2 } =9\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$y=x^{ 2 }\sin { 3x } \Rightarrow y'=2x\sin { 3x } +3x^{ 2 }\cos { 3x } \Rightarrow y'|_{ x=\pi /2 }=\pi \sin { \frac { 3\pi }{ 2 } } +\frac { 3\pi ^{ 2 } }{ 4 } \cos { \frac { 3\pi }{ 2 } } =-\pi \\ \Rightarrow y\left( \pi /2 \right) =\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \sin { \frac { 3\pi }{ 2 } } =-\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \Rightarrow 過\left( \frac { \pi }{ 2 } ,-\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \right) 且斜率為-\pi 的直線方程式為\\ y+\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } =-\pi \left( x-\frac { \pi }{ 2 } \right) 即y=-\pi x+\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$f\left( x \right) =\frac { 1+\cos { x } }{ 1-\cos { x } } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { -\sin { x } }{ 1-\cos { x } } -\frac { \left( 1+\cos { x } \right) \left( \sin { x } \right) }{ { \left( 1-\cos { x } \right) }^{ 2 } } \\ \int _{ \frac { \pi }{ 3 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ f''\left( x \right) } dx=\left. \left[ f'\left( x \right) \right] \right| ^{ \frac { \pi }{ 2 } }_{ \frac { \pi }{ 3 } }=\left. \left[ \frac { -\sin { x } }{ 1-\cos { x } } -\frac { \left( 1+\cos { x } \right) \left( \sin { x } \right) }{ { \left( 1-\cos { x } \right) }^{ 2 } } \right] \right| ^{ \frac { \pi }{ 2 } }_{ \frac { \pi }{ 3 } }\\ =\left( -1-1 \right) -\left( \frac { -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } -\frac { \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 4 } } \right) =-2-\left( -4\sqrt { 3 } \right) =-2+4\sqrt { 3 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$\lim _{ x\to 1 }{ \frac { 1 }{ x-1 } \left( \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 2 }{ 3x+5 } \right) } =\lim _{ x\to 1 }{ \frac { 1 }{ x-1 } \left( \frac { x-1 }{ \left( x+3 \right) \left( 3x+5 \right) } \right) } \\ =\lim _{ x\to 1 }{ \left( \frac { 1 }{ \left( x+3 \right) \left( 3x+5 \right) } \right) } =\frac { 1 }{ 4\times 8 } =\frac { 1 }{ 32 }\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$
解：$$f\left( x \right) =\frac { { \sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right) }^{ 3 } }{ { \left( 3x-1 \right) }^{ 4 } } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { { \frac { \left( 2x+1 \right) ^{ 3 } }{ \sqrt { 2x-1 } } +{ 6\sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right) }^{ 2 } } }{ { \left( 3x-1 \right) }^{ 4 } } -\frac { { 12\left( \sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right) ^{ 3 } \right) } }{ { \left( 3x-1 \right) }^{ 5 } } \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =\frac { 27+54 }{ 16 } -\frac { 12\times 27 }{ 32 } =\frac { -162 }{ 32 } =-\frac { 81 }{ 16 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$\begin{cases} u=x \\ dv=\sin { \left( 2x \right) } dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx \\ v=-\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 2x \right) } \end{cases}\Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ x } \sin { \left( 2x \right) } dx=-\frac { 1 }{ 2 } x\cos { \left( 2x \right) } +\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos { \left( 2x \right) } } dx\\ =\left. \left[ -\frac { 1 }{ 2 } x\cos { \left( 2x \right) } +\frac { 1 }{ 4 } \sin { \left( 2x \right) } \right] \right| ^{ \frac { \pi }{ 2 } }_{ 0 }=\frac { \pi }{ 4 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$x=2\cos { \theta } \Rightarrow dx=-2\sin { \theta } d\theta \Rightarrow \int { \frac { x^{ 3 } }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } } } } dx=\int { \frac { 8\cos ^{ 3 }{ \theta } }{ 2\sin { \theta } } \times } -2\sin { \theta } d\theta =-8\int { \cos ^{ 3 }{ \theta } } d\theta \\ =-8\left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } \sin { \theta } }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \sin { \theta } \right] \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x^{ 3 } }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } } } } dx=-8\left. \left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } \sin { \theta } }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \sin { \theta } \right] \right| ^{ \frac { \pi }{ 3 } }_{ \frac { \pi }{ 2 } }\\ =-8\left( \frac { \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 2 }{ 3 } \right) =-8\left( \frac { 9\sqrt { 3 } }{ 24 } -\frac { 2 }{ 3 } \right) =-3\sqrt { 3 } +\frac { 16 }{ 3 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$6^{ 2 }\times 2\times \pi -\int _{ 0 }^{ 2 }{ y^{ 2 }\pi } dx=72\pi -\int _{ 0 }^{ 2 }{ 9x^{ 2 }\pi } dx=72\pi -\left. \left[ 3x^{ 3 }\pi \right] \right| ^{ 2 }_{ 0 }=72\pi -24\pi =48\pi \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$\because \begin{cases} x=r\cos { \theta } \\ y=r\sin { \theta } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { r }^{ 2 }=x^{ 2 }+y^{ 2 } \\ \cos { 2\theta } =\cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin ^{ 2 }{ \theta } =\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ r^{ 2 } } =\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \end{cases}\\ \therefore { r }^{ 2 }=\cos { 2\theta } \Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }=\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \Rightarrow { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right) }^{ 2 }=x^{ 2 }-y^{ 2 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$\frac { 1 }{ 2 } \int { r^{ 2 } } d\theta =\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( 9-12\sin { \theta } +4\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) } d\theta =\frac { 9 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta } +2\int { \sin ^{ 2 }{ \theta } } d\theta \\ =\frac { 9 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta } +2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta } \cos { \theta } +\frac { \theta }{ 2 } \right) =\frac { 11 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta } -\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2\theta } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ r^{ 2 } } d\theta =\left. \left[ \frac { 11 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta } -\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2\theta } \right] \right| ^{ 2\pi }_{ 0 }=11\pi\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)} $$
解：$$u=x^{ 3 }y+y^{ 2 }z^{ 3 }-xz^{ 2 }\Rightarrow \frac { du }{ dt } =3x^{ 2 }\frac { dx }{ dt } y+x^{ 3 }\frac { dy }{ dt } +2y\frac { dy }{ dt } z^{ 3 }+3y^{ 2 }z^{ 2 }\frac { dz }{ dt } -\frac { dx }{ dt } z^{ 2 }-2xz\frac { dz }{ dt } \\ =3{ \left( 3t-1 \right) }^{ 2 }\times 3\times \left( 1-t \right) +{ \left( 3t-1 \right) }^{ 3 }\times \left( -1 \right) +2\left( 1-t \right) \times \left( -1 \right) \times { \left( t^{ 2 }+1 \right) }^{ 3 }+3{ \left( 1-t \right) }^{ 2 }{ \left( t^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }\left( 2t \right) -3{ \left( t^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-2\left( 3t-1 \right) \left( t^{ 2 }+1 \right) \left( 2t \right) \\ \Rightarrow \left.\frac { du }{ dt }\right|_ {t=0}=9+1-2+0-3-0=5\Rightarrow故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$f\left( x,y,z \right) =xz\sin { \left( yz \right) } \Rightarrow f_{ z }\left( x,y,z \right) =x\sin { \left( yz \right) } +xyz\cos { \left( yz \right) } \\ \Rightarrow f_{ z }\left( 2,1,\pi \right) =2\sin { \left( \pi \right) } +2\pi \cos { \left( \pi \right) } =-2\pi \Rightarrow故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } } } } dydx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ \arctan { \left( y \right) } \right] \right| ^{ 1 }_{ x } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \frac { \pi }{ 4 } -\arctan { \left( x \right) } \right) } dx\\ =\left. \left[ \frac { \pi }{ 4 } x-x\arctan { \left( x \right) } +\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left| 1+x^{ 2 } \right| } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\left( \frac { \pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 } \right) -\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 } $$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解題僅供參考
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