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2018年8月28日 星期二

102年升官等考試--微積分詳解


102年公務、關務人員升官等考試
102年交通事業郵政、公路、港務人員升資考試
等 級:薦任
類科(別):物理
科 目:微積分
微積分 詳解

sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=x1!x33!+x55!++(1)nx2n+1(2n+1)!+f(x)=sinx3=n=0(1)nx6n+3(2n+1)!=x31!x93!+x155!++(1)nx6n+3(2n+1)!+f(15)(0)=15!5!


x=3tanθdx=3sec2θdθ1x2x2+9dx=3sec2θ9tan2θ9tan2θ+9dθ=3sec2θ9tan2θ3secθdθ=secθ9tan2θdθ=19cotθcscθdθ=19cscθ+C=x2+99x+C


{u=(lnx)3dv=dx{du=3(lnx)2xv=x(lnx)3dx=x(lnx)33(lnx)2dx{u=(lnx)2dv=dx{du=2lnxxv=x(lnx)2dx=x(lnx)22(lnx)dx=x(lnx)22xlnx+2x+C(lnx)3dx=x(lnx)33(x(lnx)22xlnx+2x)=x(lnx)33x(lnx)2+6xlnx6x+C10(lnx)3dx=[x(lnx)33x(lnx)2+6xlnx6x]|10=6


10dr(t)dtdr(t)dtdt=10(2i+etjetk)(2i+etjetk)dt=10(2)2+(et)2+(et)2dt=102+e2t+e2tdt=10(et+et)2dt=10(et+et)dt=[etet]|10=e1e


d(x,y,z)=(x4)2+(y8)2+z2=(x4)2+(y8)2+x2+y2+2xyd2=f(x,y)=2x2+2y2+2xy8x16y+80{fx=0fy=0{4x+2y8=04y+2x16=0{2x+y=4x+2y=8{x=0y=4z2=0+42+0=16(0,4,16)


{x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕB={(x,y,z):x2+y2+z29}={(ρ,ϕ,θ):0ρ3,0ϕπ,0θ2π}


\oint _{ C }{ \left( 4xy-e^{ \sin { x }  } \right) dx+\left( 8x+\ln { \tan { y }  }  \right) dy } =\oint _{ C }{ P\left( x,y \right) dx+Q\left( x,y \right) dy } \\ =\int_R { \left( \frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y }  \right)  } dA=\int_R { \left( 8-4x \right)  } dA=\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8-4r\cos { \theta  }  \right) r } drd\theta  } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8r-4r^{ 2 }\cos { \theta  }  \right)  } drd\theta  } =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left. \left[ 4r^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 } r^{ 3 }\cos  \theta  \right]  \right| _{ 0 }^{ 5 }d\theta  } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left( 100-\frac { 500 }{ 3 } \cos  \theta  \right) d\theta  } =\left. \left[ 100\theta +\frac { 500 }{ 3 } \sin  \theta  \right]  \right| _{ 0 }^{ 2\pi  }=\bbox[red,2pt]{200\pi} 如果你的物理還不錯,中途可以不用轉換成極座標,改用如下算法\int _{ R }{ \left( 8-4x \right)  } dA=8\int _{ R }{ 1 } dA-4\int _{ R }{ x } dA=8倍圓C面積-4倍圓C圓心x軸坐標\\ =8\times 25\pi -4\times 0=200\pi


考選部未公布答案,解題僅供參考

3 則留言:

  1. 您好
    請教第二題的答案 如果不轉換的話
    可以寫成
    -1/9csc(arctan(x/3))+C嗎?

    回覆刪除
  2. 請教第二題的答案 如果不轉換的話
    可以寫成
    -1/9csc(arctan(x/3))+C嗎?

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