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2018年8月24日 星期五

106年公務人員高等考試三級考試--微積分&微分方程 詳解


106年公務人員高等考試三級考試
類 科 :核子工程
科 目:微積分與微分方程



(一)limx0x20cost2dt2x2=00=limx0ddxx20cost2dtddx2x2=limx02xcosx44x=limx0cosx42=12(二)x+6x3y3+y8=01+18x2y3+18x3y2dydx+dydx=0dydx=1+18x2y31+18x3y2dydx|(1,f(1))=1y1=1(x1)x+y=2



{f(x,y)=200x0.75y0.25g(x,y)=400x+600y120000{fx=λgxfy=λgyg=0{150x0.25y0.25=400λ(1)50x0.75y0.75=600λ(2)2x+3y=600(3)(1)(2)3yx=232x=9y(3)9y+3y=600y=50x=4502=225f(225,50)=2002250.75500.25=200(5232)34(522)14=20052332214=15000342



(一)F=x(xyz2)+y(3yzx2)+z(5xzy2)=yz2+3zx2+5xy2(二)×F=|ijkxyzxyz23yzx25xzy2|=y(5xzy2)i+z(xyz2)j+x(3yzx2)ky(xyz2)kx(5xzy2)jz(3yzx2)i=(10xyz3yx2)i+(2xyz5zy2)j+(6xyzxz2)k



(一){x=rcosθy=rsinθRsinx2+y2dxdy=2π02ππrsinrdrdθ=2π0[rcosr+sinr]|2ππdθ=2π03πdθ=6π2(二){P(x,y)=2xy+ex2Q(x,y)=2x+ey2C(2xy+ex2)dx+(2x+ey2)dy=R(QxPy)dA=R(22x)dA=10xx2(22x)dydx=10(2x4x2+2x3)dx=[x243x3+12x4]|10=143+12=16

{dy1dt=2y2(t)+2y3(t)dy2dt=2y3(t)+2y1(t)dy3dt=2y1(t)+2y2(t)[y1y2y3]=[022202220][y1y2y3]A=[022202220],現在要找A的特徵值λ 及相對應的特徵向量X,即AX=λXdet(AλI)=0det([λ222λ222λ])=0λ3+12λ+16=0(λ4)(λ+2)2=0λ1=4[422242224][x1x2x3]=[000]{2x1x2x3=0x12x2+x3=0x1+x22x3=0X1=[111]λ2=2[222222222][x1x2x3]=[000]x1+x2+x3=0X2=[101],X3=[011],X1X2[y1y2y3]=c1X1e4t+c2X2e2t+c3X3e2t=[c1e4tc1e4tc1e4t]+[c2e2t0c2e2t]+[0c3e2tc3e2t]=[c1e4t+c2e2tc1e4t+c3e2tc1e4t(c2+c3)e2t]由題意之初始值可知t=0[y1y2y3]=[511][511]=[c1+c2c1+c3c1c2c3]{c1=1c2=4c3=2[y1y2y3]=[e4t+4e2te4t2e2te4t2e2t]


考選部未公布答案,解題僅供參考

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