106年公務人員高等考試三級考試
類 科 :核子工程
科 目:微積分與微分方程
科 目:微積分與微分方程
(一)limx→0∫x20cost2dt2x2=00=limx→0ddx∫x20cost2dtddx2x2=limx→02xcosx44x=limx→0cosx42=12(二)x+6x3y3+y−8=0⇒1+18x2y3+18x3y2dydx+dydx=0⇒dydx=−1+18x2y31+18x3y2⇒dydx|(1,f(1))=−1⇒切線方程式為y−1=−1(x−1)即x+y=2
解:{f(x,y)=200x0.75y0.25g(x,y)=400x+600y−120000⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{150x−0.25y0.25=400λ⋯(1)50x0.75y−0.75=600λ⋯(2)2x+3y=600⋯(3)(1)(2)⇒3yx=23⇒2x=9y代入(3)⇒9y+3y=600⇒y=50⇒x=4502=225⇒f(225,50)=200⋅2250.75⋅500.25=200⋅(52⋅32)34⋅(52⋅2)14=200⋅52⋅332⋅214=15000⋅√3⋅4√2
解:
(一)∇⋅→F=∂∂x(xyz2)+∂∂y(3yzx2)+∂∂z(5xzy2)=yz2+3zx2+5xy2(二)∇×→F=|→i→j→k∂∂x∂∂y∂∂zxyz23yzx25xzy2|=∂∂y(5xzy2)→i+∂∂z(xyz2)→j+∂∂x(3yzx2)→k−∂∂y(xyz2)→k−∂∂x(5xzy2)→j−∂∂z(3yzx2)→i=(10xyz−3yx2)→i+(2xyz−5zy2)→j+(6xyz−xz2)→k
解:
(一){x=rcosθy=rsinθ⇒∬Rsin√x2+y2dxdy=∫2π0∫2ππrsinrdrdθ=∫2π0[−rcosr+sinr]|2ππdθ=∫2π0−3πdθ=−6π2(二){P(x,y)=2xy+ex2Q(x,y)=2x+ey2⇒∮C(2xy+ex2)dx+(2x+ey2)dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA=∬R(2−2x)dA=∫10∫xx2(2−2x)dydx=∫10(2x−4x2+2x3)dx=[x2−43x3+12x4]|10=1−43+12=16
解:{dy1dt=2y2(t)+2y3(t)dy2dt=2y3(t)+2y1(t)dy3dt=2y1(t)+2y2(t)⇒[y′1y′2y′3]=[022202220][y1y2y3]令A=[022202220],現在要找A的特徵值λ 及相對應的特徵向量X,即AX=λXdet(A−λI)=0⇒det([−λ222−λ222−λ])=0⇒−λ3+12λ+16=0⇒(λ−4)(λ+2)2=0λ1=4⇒[−4222−4222−4][x1x2x3]=[000]⇒{2x1−x2−x3=0x1−2x2+x3=0x1+x2−2x3=0⇒取X1=[111]λ2=−2⇒[222222222][x1x2x3]=[000]⇒x1+x2+x3=0⇒取X2=[10−1],X3=[01−1],X1及X2需為線性獨立;因此[y1y2y3]=c1X1e4t+c2X2e−2t+c3X3e−2t=[c1e4tc1e4tc1e4t]+[c2e−2t0−c2e−2t]+[0c3e−2t−c3e−2t]=[c1e4t+c2e−2tc1e4t+c3e−2tc1e4t−(c2+c3)e−2t]由題意之初始值可知t=0⇒[y1y2y3]=[5−1−1]⇒[5−1−1]=[c1+c2c1+c3c1−c2−c3]⇒{c1=1c2=4c3=−2⇒[y1y2y3]=[e4t+4e−2te4t−2e−2te4t−2e−2t]
沒有留言:
張貼留言