106年公務人員高等考試三級考試
類 科 ：核子工程
科 目：微積分與微分方程
科 目：微積分與微分方程
(一)$$\lim _{ x\to 0 }{ \frac { \int _{ 0 }^{ x^{ 2 } }{ \cos { t^{ 2 } } } dt }{ 2x^{ 2 } } } =\frac { 0 }{ 0 } =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { \frac { d }{ dx } \int _{ 0 }^{ x^{ 2 } }{ \cos { t^{ 2 } } } dt }{ \frac { d }{ dx } 2x^{ 2 } } } =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { 2x\cos { x^{ 4 } } }{ 4x } } =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { \cos { x^{ 4 } } }{ 2 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} $$(二)$$x+6x^{ 3 }y^{ 3 }+y-8=0\Rightarrow 1+18x^{ 2 }y^{ 3 }+18x^{ 3 }y^{ 2 }\frac { dy }{ dx } +\frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { 1+18x^{ 2 }y^{ 3 } }{ 1+18x^{ 3 }y^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left.\frac { dy }{ dx } \right|_{(1,f(1))}=-1\Rightarrow 切線方程式為 y-1=-1(x-1)即 \bbox[red,2pt]{x+y=2}$$
解：$$\begin{cases} f\left( x,y \right) =200x^{ 0.75 }y^{ 0.25 } \\ g\left( x,y \right) =400x+600y-120000 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=\lambda g_{ x } \\ f_{ y }=\lambda g_{ y } \\ g=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150x^{ -0.25 }y^{ 0.25 }=400\lambda \cdots (1) \\ 50x^{ 0.75 }y^{ -0.75 }=600\lambda \cdots (2) \\ 2x+3y=600\cdots (3) \end{cases}\\ \frac { (1) }{ (2) } \Rightarrow 3\frac { y }{ x } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow 2x=9y代入(3)\Rightarrow 9y+3y=600\Rightarrow y=50\Rightarrow x=\frac { 450 }{ 2 } =225\\ \Rightarrow f\left( 225,50 \right) =200\cdot 225^{ 0.75 }\cdot 50^{ 0.25 }=200\cdot { \left( { 5 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\cdot { \left( { 5 }^{ 2 }\cdot { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }=200\cdot { 5 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\cdot { 2 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\\=\bbox[red,2pt]{15000\cdot \sqrt { 3 } \cdot \sqrt [ 4 ]{ 2 } }$$
解：
(一)$$\nabla \cdot \vec { F } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( xyz^{ 2 } \right) +\frac { \partial }{ \partial y } \left( 3yzx^{ 2 } \right) +\frac { \partial }{ \partial z } \left( 5xzy^{ 2 } \right) =\bbox[red,2pt]{yz^2+3zx^2+5xy^2}$$(二)$$\nabla \times \vec { F } =\left| \begin{matrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ xyz^{ 2 } & 3yzx^{ 2 } & 5xzy^{ 2 } \end{matrix} \right| =\frac { \partial }{ \partial y } \left( 5xzy^{ 2 } \right) \vec { i } +\frac { \partial }{ \partial z } \left( xyz^{ 2 } \right) \vec { j } +\frac { \partial }{ \partial x } \left( 3yzx^{ 2 } \right) \vec { k } \\ -\frac { \partial }{ \partial y } \left( xyz^{ 2 } \right) \vec { k } -\frac { \partial }{ \partial x } \left( 5xzy^{ 2 } \right) \vec { j } -\frac { \partial }{ \partial z } \left( 3yzx^{ 2 } \right) \vec { i } \\ =\bbox[red,2pt]{\left( 10xyz-3yx^{ 2 } \right) \vec { i } +\left( 2xyz-5zy^{ 2 } \right) \vec { j } +\left( 6xyz-xz^{ 2 } \right) \vec { k } }$$
解：
(一)$$\begin{cases} x=r\cos { \theta } \\ y=r\sin { \theta } \end{cases}\Rightarrow \iint _{ R }{ \sin { \sqrt { x^{ 2 }+y^{ 2 } } } } dxdy=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ \pi }^{ 2\pi }{ r\sin { r } } drd\theta } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left. \left[ -r\cos { r } +\sin { r } \right] \right| ^{ 2\pi }_{ \pi }d\theta } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ -3\pi } d\theta=\bbox[red,2pt]{-6\pi^2}$$(二)$$\begin{cases} P\left( x,y \right) =2xy+e^{ x^{ 2 } } \\ Q\left( x,y \right) =2x+e^{ y^{ 2 } } \end{cases}\Rightarrow \oint _{ C }{ \left( 2xy+e^{ x^{ 2 } } \right) dx+\left( 2x+e^{ y^{ 2 } } \right) dy } =\iint _{ R }{ \left( \frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y } \right) } dA\\ =\iint _{ R }{ \left( 2-2x \right) } dA=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x^{ 2 } }^{ x }{ \left( 2-2x \right) } } dydx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 2x-4x^{ 2 }+2x^{ 3 } \right) } dx=\left. \left[ x^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 } x^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } x^{ 4 } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =1-\frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 6 }} $$
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