教育部105年公費留學考試--微積分詳解

教育部105年公費留學考試 

科目：微積分

解：
假設$x$為每週賣出藍光播放器的數量，則每週的售量增加數為$x-200$；
每週多賣20台，每台售價就減少10元；因此售價為$350-(x-200)\times\frac{10}{20}=450-\frac{x}{2}$，收入為$f(x)=x(450-\frac{x}{2})=450x-\frac{x^2}{2}$；
當$f'(x)=0\Rightarrow 450-x=0\Rightarrow x=450$，即售價為$450-\frac{450}{2}=225$時，rebate(折扣) 為$350-225=\bbox[red,2pt]{125}$時，有最大收入。

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解：
(a) $$\text{let}\; g\left( t \right) =\sqrt { 1+t^{ 2 } } \; \text{and}\; \frac { d }{ dt } G\left( t \right) =g\left( t \right) \\ F\left( x \right) =G\left( x^{ 2 } \right) -G\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) =2xg\left( x^{ 2 } \right) -g\left( x \right) =2x\sqrt { 1+x^{ 2 } } -\sqrt { 1+x^{ 2 } } \\ \Rightarrow F'\left( 1 \right) =2\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } =\bbox[red,2pt]{\sqrt { 2 }}$$ (b) $$G\left( x \right) =\int _{ 1 }^{ x }{ \sqrt { t^{ 2 }+3 } dt } \Rightarrow \begin{cases} G\left( 1 \right) =0 \\ G'\left( x \right) =\sqrt { x^{ 2 }+3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G^{ -1 }\left( 0 \right) =1 \\ G'\left( x \right) =\sqrt { x^{ 2 }+3 }  \end{cases}\\ \left( G^{ -1 } \right) '\left( 0 \right) =\frac { d }{ dx } G^{ -1 }\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ G'\left( G^{ -1 }\left( 0 \right)  \right)  } =\frac { 1 }{ G'\left( 1 \right)  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1+3 }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } }$$ (c) $$\lim _{ x\to 0^{ + } }{ x^{ 2 }\int _{ x }^{ 1 }{ \frac { \cos { t }  }{ t^{ 3 } }  } dt } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { -\int _{ 1 }^{ x }{ \frac { \cos { t }  }{ t^{ 3 } }  } dt }{ x^{ -2 } }  } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { -\frac { \cos { x }  }{ x^{ 3 } }  }{ -2x^{ -3 } }  } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \cos { x }  }{ 2 }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }}$$ (d) $$\int _{ 1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+x }  }  } dx<\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  } <\int _{ 0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+x }  }  } dx\\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2n+1 } -\sqrt { n+1 }  \right) <\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  } <2\sqrt { n } \left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ \sqrt { n }  } \left( \sqrt { 2n+1 } -\sqrt { n+1 }  \right) <\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  } <\frac { 2\sqrt { n }  }{ \sqrt { n }  } \left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2+\frac { 1 }{ n }  } -\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n }  }  \right) <\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  } <2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) <\lim _{ n\to \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n }  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  }  \right)  } <2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n }  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k }  }  }  \right)  } =2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+1 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+2 }  } +\cdots +\frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+n }  }  \right)  } =\bbox[red,2pt]{2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) }$$

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解：
$$a_{ n }=\frac { x^{ n } }{ 1+1/2+1/3+\cdots +1/n } \Rightarrow \left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } }  \right| =\left| x \right| \left( \frac { 1+1/2+1/3+\cdots +1/n }{ 1+1/2+1/3+\cdots +1/(n+1) }  \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } }  \right|  } =\left| x \right| \Rightarrow \text{interval of  convergence:}\bbox[red,2pt]{-1<x<1}$$

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解：
$$\begin{cases} u=y-x \\ v=y+x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\left( v-u \right) /2 \\ y=\left( v+u \right) /2 \end{cases}\Rightarrow J=\begin{vmatrix} x_{ u } & y_{ u } \\ x_{ v } & y_{ v } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{vmatrix}=-\frac { 1 }{ 2 }$$

$$R=\begin{cases} 1\le x+y\le 2 \\ 0\le x \\ 0\le y \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ 0\le \frac { v-u }{ 2 }  \\ 0\le \frac { v+u }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ u\le v \\ -v\le u \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ -v\le u\le v \end{cases}\\ \iint _{ R }{ \cos { \left( \frac { y-x }{ y+x }  \right) dA }  } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ \int _{ -v }^{ v }{ \cos { \frac { u }{ v }  }  } dudv } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ \left. \left[ v\sin { \frac { u }{ v }  }  \right]  \right| ^{ v }_{ -v }dv } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ 2v\sin { 1 } dv } =-\sin { 1 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ vdv } =-\sin { 1 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } v^{ 2 } \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }=-\sin { 1 } \left( 2-\frac { 1 }{ 2 }  \right) =\bbox[red,2pt]{-\frac { 3 }{ 2 } \sin { 1 }}$$

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證： $$I=\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \Rightarrow I^{ 2 }=\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } =\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } =\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right)  } } dydx } \\ \begin{cases} x=r\cos { \theta  }  \\ y=r\sin { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow I^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ r{ e }^{ -r^{ 2 } } } drd\theta  } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left. \left[ { e }^{ -r^{ 2 } } \right]  \right| ^{ \infty  }_{ 0 }d\theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ 1d\theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \times 2\pi \\ =\pi \Rightarrow I=\sqrt { \pi  } \Rightarrow \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \ge \sqrt { \pi  }$$

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未公布標準答案，解題僅供參考