教育部105年公費留學考試
科目：微積分
解：
假設\(x\)為每週賣出藍光播放器的數量，則每週的售量增加數為\(x-200\)；
每週多賣20台，每台售價就減少10元；因此售價為\(350-(x-200)\times\frac{10}{20}=450-\frac{x}{2}\)，收入為\(f(x)=x(450-\frac{x}{2})=450x-\frac{x^2}{2}\)；
當\(f'(x)=0\Rightarrow 450-x=0\Rightarrow x=450\)，即售價為\(450-\frac{450}{2}=225\)時，rebate(折扣) 為\(350-225=\bbox[red,2pt]{125}\)時，有最大收入。
解：
(a)$$ \text{let}\; g\left( t \right) =\sqrt { 1+t^{ 2 } } \; \text{and}\; \frac { d }{ dt } G\left( t \right) =g\left( t \right) \\ F\left( x \right) =G\left( x^{ 2 } \right) -G\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) =2xg\left( x^{ 2 } \right) -g\left( x \right) =2x\sqrt { 1+x^{ 2 } } -\sqrt { 1+x^{ 2 } } \\ \Rightarrow F'\left( 1 \right) =2\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } =\bbox[red,2pt]{\sqrt { 2 }}$$(b)$$G\left( x \right) =\int _{ 1 }^{ x }{ \sqrt { t^{ 2 }+3 } dt } \Rightarrow \begin{cases} G\left( 1 \right) =0 \\ G'\left( x \right) =\sqrt { x^{ 2 }+3 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G^{ -1 }\left( 0 \right) =1 \\ G'\left( x \right) =\sqrt { x^{ 2 }+3 } \end{cases}\\ \left( G^{ -1 } \right) '\left( 0 \right) =\frac { d }{ dx } G^{ -1 }\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ G'\left( G^{ -1 }\left( 0 \right) \right) } =\frac { 1 }{ G'\left( 1 \right) } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1+3 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } }$$(c)$$ \lim _{ x\to 0^{ + } }{ x^{ 2 }\int _{ x }^{ 1 }{ \frac { \cos { t } }{ t^{ 3 } } } dt } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { -\int _{ 1 }^{ x }{ \frac { \cos { t } }{ t^{ 3 } } } dt }{ x^{ -2 } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { -\frac { \cos { x } }{ x^{ 3 } } }{ -2x^{ -3 } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \cos { x } }{ 2 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} $$(d)$$\int _{ 1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+x } } } dx<\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } <\int _{ 0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+x } } } dx\\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2n+1 } -\sqrt { n+1 } \right) <\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } <2\sqrt { n } \left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ \sqrt { n } } \left( \sqrt { 2n+1 } -\sqrt { n+1 } \right) <\frac { 1 }{ \sqrt { n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } <\frac { 2\sqrt { n } }{ \sqrt { n } } \left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2+\frac { 1 }{ n } } -\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } \right) <\frac { 1 }{ \sqrt { n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } <2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow 2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) <\lim _{ n\to \infty }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } \right) } <2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+k } } } \right) } =2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty }{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+1 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+2 } } +\cdots +\frac { 1 }{ \sqrt { n } \sqrt { n+n } } \right) } =\bbox[red,2pt]{2\left( \sqrt { 2 } -1 \right) }$$
解：
$$a_{ n }=\frac { x^{ n } }{ 1+1/2+1/3+\cdots +1/n } \Rightarrow \left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } } \right| =\left| x \right| \left( \frac { 1+1/2+1/3+\cdots +1/n }{ 1+1/2+1/3+\cdots +1/(n+1) } \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } } \right| } =\left| x \right| \Rightarrow \text{interval of convergence:}\bbox[red,2pt]{-1<x<1}$$
解：
$$\begin{cases} u=y-x \\ v=y+x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\left( v-u \right) /2 \\ y=\left( v+u \right) /2 \end{cases}\Rightarrow J=\begin{vmatrix} x_{ u } & y_{ u } \\ x_{ v } & y_{ v } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{vmatrix}=-\frac { 1 }{ 2 } $$
$$R=\begin{cases} 1\le x+y\le 2 \\ 0\le x \\ 0\le y \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ 0\le \frac { v-u }{ 2 } \\ 0\le \frac { v+u }{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ u\le v \\ -v\le u \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le v\le 2 \\ -v\le u\le v \end{cases}\\ \iint _{ R }{ \cos { \left( \frac { y-x }{ y+x } \right) dA } } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ \int _{ -v }^{ v }{ \cos { \frac { u }{ v } } } dudv } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ \left. \left[ v\sin { \frac { u }{ v } } \right] \right| ^{ v }_{ -v }dv } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ 2v\sin { 1 } dv } =-\sin { 1 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ vdv } =-\sin { 1 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } v^{ 2 } \right] \right| ^{ 2 }_{ 1 }=-\sin { 1 } \left( 2-\frac { 1 }{ 2 } \right) =\bbox[red,2pt]{-\frac { 3 }{ 2 } \sin { 1 }} $$
證：$$I=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \Rightarrow I^{ 2 }=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } } dydx } \\ \begin{cases} x=r\cos { \theta } \\ y=r\sin { \theta } \end{cases}\Rightarrow I^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ r{ e }^{ -r^{ 2 } } } drd\theta } =-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left. \left[ { e }^{ -r^{ 2 } } \right] \right| ^{ \infty }_{ 0 }d\theta } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ 1d\theta } =\frac { 1 }{ 2 } \times 2\pi \\ =\pi \Rightarrow I=\sqrt { \pi } \Rightarrow \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx } \ge \sqrt { \pi } $$
未公布標準答案，解題僅供參考
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