107年公務人員高等考試三級考試
類 科 ：核子工程
科 目：微積分與微分方程
科 目：微積分與微分方程
(一)$$\lim _{ x\to 0^{ + } }{ x^{ -2 }e^{ -\frac { 1 }{ x^{ 2 } } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \frac { 1 }{ x^{ 2 } } }{ e^{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \frac { d }{ dx } \left( \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) }{ \frac { d }{ dx } \left( e^{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } } \right) } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { 1 }{ e^{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } } } } =\frac { 1 }{ \infty } =\bbox[red,2pt]{0}$$(二)$$\sin { x } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ \left( 2n+1 \right) ! } { x }^{ 2n+1 } } =x-\frac { x^{ 3 } }{ 3! } +\frac { x^{ 5 } }{ 5! } -\cdots \\ \Rightarrow f\left( x \right) =x^{ 2 }\sin { x } =x^{ 2 }\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ \left( 2n+1 \right) ! } { x }^{ 2n+1 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ \left( 2n+1 \right) ! } { x }^{ 2n+3 } } \\ =x^{ 2 }\left( x-\frac { x^{ 3 } }{ 3! } +\frac { x^{ 5 } }{ 5! } -\cdots \right) =\bbox[red,2pt]{x^{ 3 }-\frac { x^{ 5 } }{ 3! } +\frac { x^{ 7 } }{ 5! } -\cdots} $$
解：
(一)$$f\left( x,y \right) =x^{ 3 }-4xy-y^{ 2 }+y+7\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=3x^{ 2 }-4y \\ f_{ y }=-4x-2y+1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }\left( 1,2 \right) =-5 \\ f_{ y }\left( 1,2 \right) =-7 \end{cases}\\ \Rightarrow 法線方程式為\bbox[red,2pt]{\begin{cases} x=1-5t \\ y=2-7t \\ z=-2-t \end{cases}}$$(二)$$\begin{cases} x=\rho \sin { \phi } \cos { \theta } \\ y=\rho \sin { \phi } \sin { \theta } \\ z=\rho \cos { \phi } \end{cases}\Rightarrow \iiint _{ R }{ xy } dV=\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \rho ^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \phi } \cos { \theta } \sin { \theta } \times \rho ^{ 2 }\sin { \phi } } } } d\rho d\theta d\phi \\ =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \rho ^{ 4 }\sin ^{ 3 }{ \phi } \cos { \theta } \sin { \theta } } } } d\rho d\theta d\phi =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 5 } \rho ^{ 5 }\sin ^{ 3 }{ \phi } \cos { \theta } \sin { \theta } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 } } } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sin ^{ 3 }{ \phi } \cos { \theta } \sin { \theta } } } d\theta d\phi =\frac { 1 }{ 10 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sin ^{ 3 }{ \phi } \sin { 2\theta } } } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 10 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \left. \left[ -\frac { 1 }{ 2 } \sin ^{ 3 }{ \phi } \cos { 2\theta } \right] \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 } } d\phi =\frac { 1 }{ 10 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin ^{ 3 }{ \phi } } d\phi =\frac { 1 }{ 10 } \left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } \sin ^{ 2 }{ \phi } \cos { \phi } -\frac { 2 }{ 3 } \cos { \phi } \right] \right| ^{ \pi }_{ 0 }\\ =\frac { 1 }{ 10 } \left( \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 10 } \times \frac { 4 }{ 3 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 15 }} $$
解：$$f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+y^{ 3 }+2xy-2x-3y+3\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+2y-2=0 \\ 3y^{ 2 }+2x-3=0 \end{cases}\Rightarrow 3y^{ 2 }-2y-1=0\\ \Rightarrow \left( 3y+1 \right) \left( y-1 \right) =0\Rightarrow y=1,-1/3\Rightarrow \left( x,y \right) =\begin{cases} \left( 0,1 \right) \\ \left( 4/3,-1/3 \right) \end{cases}\\ d\left( x,y \right) =f_{ xx }\cdot f_{ yy }-f^{ 2 }_{ xy }=\left( 2 \right) \left( 6y \right) -{ 2 }^{ 2 }=12y-4\Rightarrow \begin{cases} d\left( 0,1 \right) =12-4=8>0 \\ d\left( 4/3,-1/3 \right) =-4-4=-8<0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 0,1 \right) =1-3+3=\bbox[red,2pt]{1為相對極小值} \\ f\left( 4/3,-1/3 \right) =\bbox[red,2pt]{59/27為相對極大值 }\end{cases}$$
解：
(一)$$\lambda ^{ 2 }-\lambda -2=0\Rightarrow \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda +1 \right) =0\Rightarrow \lambda =2,-1\Rightarrow y_{ 1 }=c_{ 1 }e^{ 2t }+c_{ 2 }e^{ -t }為其齊次解\\ y_{ 2 }=at+b\Rightarrow y_{ 2 }''-y_{ 2 }'-2y_{ 2 }=0-a-2(at+b)=-2at-a-2b=t+1\Rightarrow a=-\frac { 1 }{ 2 } ,b=-\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow 通解為y=y_{ 1 }+y_{ 2 },即\bbox[red,2pt]{y=c_{ 1 }e^{ 2t }+c_{ 2 }e^{ -t }-\frac { 1 }{ 2 } t-\frac { 1 }{ 4 }} ,其中c_{ 1 },c_{ 2 }為任意常數$$(二)$$y'(t)=y(t)\left( 0.5-0.025y(t) \right) =\frac { 1 }{ 2 } y\left( t \right) -\frac { 1 }{ 40 } y^{ 2 }\left( t \right) \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dt } -\frac { 1 }{ 2 } y=-\frac { 1 }{ 40 } y^{ 2 }\Rightarrow \frac { 1 }{ y^{ 2 } } \frac { dy }{ dt } -\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ y } =-\frac { 1 }{ 40 } \cdots (1)\\ 令u=\frac { 1 }{ y } \Rightarrow y=\frac { 1 }{ u } \Rightarrow \frac { dy }{ du } =-\frac { 1 }{ u^{ 2 } } \Rightarrow \frac { dy }{ dt } =\frac { dy }{ du } \frac { du }{ dt } =-\frac { 1 }{ u^{ 2 } } \frac { du }{ dt } \\ (1)\Rightarrow u^{ 2 }\left( -\frac { 1 }{ u^{ 2 } } \frac { du }{ dt } \right) -\frac { 1 }{ 2 } u=-\frac { 1 }{ 40 } \Rightarrow -\frac { du }{ dt } -\frac { 1 }{ 2 } u=-\frac { 1 }{ 40 } \Rightarrow 40\frac { du }{ dt } +20u=1\\ \Rightarrow u=c{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } t }+1\Rightarrow y=1/\left( c{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } t }+1 \right) \\ y(0)=10\Rightarrow \frac { 1 }{ c+1 } =10\Rightarrow c=-\frac { 9 }{ 10 } \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=\frac { 1 }{ 1-\frac { 9 }{ 10 } { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } t } }} 為其解$$
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