107年公務人員特種考試--微積分 詳解

107年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及
107年特種考試交通事業鐵路人員考試試題

考 試 別：一般警察人員考試

等 別：三等考試

類 科 別：消防警察人員

微積分 詳解

解：$$x^{ 2 }+4y^{ 2 }=4\Rightarrow 2x+8y\frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { x }{ 4y } \Rightarrow 切線斜率:\left. \frac { dy }{ dx }  \right| _{ (\sqrt { 2 } ,-\sqrt { 2 } /2) }= -\frac { \sqrt { 2 }  }{ -4\cdot \sqrt { 2 } /2 } ={1\over 2}\\ \Rightarrow 切線方程式:\left( y+\sqrt { 2 } /2 \right) ={1\over 2}\left( x-\sqrt { 2 }  \right) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x-2y=2\sqrt 2} $$

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解：$$d\left( \left( x,3+2x-x^{ 2 } \right) ,\left( 1,2 \right)  \right) =\sqrt { { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 1+2x-x^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 2-{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \\ 令t=x-1\Rightarrow d\left( \left( x,3+2x-x^{ 2 } \right) ,\left( 1,2 \right)  \right) =\sqrt { { t }^{ 2 }+{ \left( 2-{ t }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \\ 令f\left( t \right) ={ t }^{ 2 }+{ \left( 2-{ t }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\Rightarrow f'\left( t \right) =2t+2\left( 2-{ t }^{ 2 } \right) \left( -2t \right) =4t^{ 3 }-6t\Rightarrow f''\left( t \right) =12t-6\\ f'\left( t \right) =0\Rightarrow 4t^{ 3 }-6t=0\Rightarrow 2t\left( t^{ 2 }-3 \right) =0\Rightarrow t=0,\pm \sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } \\ \Rightarrow \begin{cases} f''\left( 0 \right) =-6<0 \\ f''\left( -\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  }  \right) <0 \\ f''\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  }  \right) >0 \end{cases}\Rightarrow t=\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } 有極小值f\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  }  \right) =\frac { 3 }{ 2 } +{ \left( 2-\frac { 3 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 7 }{ 4 } \\ \Rightarrow d的極小值為\sqrt { f\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  }  \right)  } =\sqrt { \frac { 7 }{ 4 }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { \sqrt { 7 }  }{ 2 }} $$

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解：$$\lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } =\lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { x\left( 3-\frac { 1 }{ x }  \right)  }{ x\sqrt { 2+\frac { 1 }{ x^{ 2 } }  }  }  } =\lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { \left( 3-\frac { 1 }{ x }  \right)  }{ \sqrt { 2+\frac { 1 }{ x^{ 2 } }  }  }  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ 同理\lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ 因此\frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  } \le \frac { 3x+\sin { \left( x \right)  } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  } \le \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  } \\ \Rightarrow \lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } \le \lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right)  } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } \le \lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } \\ \Rightarrow \frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } \le \lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right)  } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } \le \frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ \Rightarrow \lim _{ x\to -\infty  }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right)  } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 }  }  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 3\sqrt { 2 }  }{ 2 }} $$

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解：$$\because \lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \ln { { \left( 1+x \right)  } }  }{ x }  } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { 1 }{ 1+x }  } =1\\ \therefore \lim _{ x\to 0^{ + } }{ { \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ x }  } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ { e }^{ \ln { { \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ x }  } }  } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } \ln { { \left( 1+x \right)  } }  } } ={ e }^{ 1 }= \bbox[red,2pt]{e}$$

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解：$$u=\sqrt { x } \Rightarrow du=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  } dx\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 9 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x } { \left( 1+\sqrt { x }  \right)  }^{ 2 } }  } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 2 }{ { \left( 1+u \right)  }^{ 2 } }  } du\\ =\left. \left[ \frac { -2 }{ 1+u }  \right]  \right| ^{ 3 }_{ 1 }=\left( \frac { -2 }{ 4 }  \right) -\left( \frac { -2 }{ 2 }  \right) =-\frac { 1 }{ 2 } +1=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} $$

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解：$$\begin{cases} u={ \left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  }^{ 2 } \\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 2\ln { \left( x \right)  }  }{ x } dx \\ v=x \end{cases}\Rightarrow \int { { \left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  }^{ 2 } } dx=x{ \left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  }^{ 2 }-2\int { \ln { \left( x \right)  }  } dx\\ =x{ \left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  }^{ 2 }-2\left( x\ln { \left( x \right)  } -x \right) +C=\bbox[red,2pt]{x{ \left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  }^{ 2 }-2x\ln { \left( x \right)  } +2x+C}$$

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解：

$$4-x^{ 2 }=x+2\Rightarrow x^{ 2 }+x-2=0\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow x=1,-2\\ 面積=\int _{ -2 }^{ 1 }{ \left[ \left( 4-x^{ 2 } \right) -\left( x+2 \right)  \right]  } dx=\int _{ -2 }^{ 1 }{ \left( -x^{ 2 }-x+2 \right)  } dx=\left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+2x \right]  \right| ^{ 1 }_{ -2 }\\ =\left( -\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } +2 \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -2-4 \right) =\left( 2-\frac { 5 }{ 6 }  \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -6 \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 9 }{ 2 } }$$

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解：$$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a \Rightarrow y=(\sqrt a-\sqrt x)^2 \Rightarrow V=\int_0^a y^2\pi \,dx =\int_0^a (\sqrt a-\sqrt x)^4\pi \,dx \\ ={\pi\over 15}\left.\left[(\sqrt x-\sqrt a)^5 (\sqrt a+5\sqrt x)\right] \right|_0^a = {\pi \over 15}a^3 =k\pi a^3 \Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]{1\over 15}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考