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2018年8月4日 星期六

106年 國中學力鑑定考試--數學詳解


臺閩地區106年度自學進修國民中學畢業程度
數學 詳解
一、單一選擇題

:第一次抽中黃球後,剩下七球中只有一個黃球,所以第二次抽到黃球的機率為\(\frac{1}{7}, 故選:\bbox[red,2pt]{(3)}\)



:\(P\)在圓外,所以\(\overline{OP}>\)半徑,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)


:$$\left| x-3 \right| =4\Rightarrow \begin{cases} x-3=4 \\ x-3=-4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=7 \\ x=-1 \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$




該直線經過\((0,2)\)及\((-1,-3)\),如上圖,該直線不經第四象限, 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)



:$$100\frac { 1 }{ 2 } \times 99\frac { 1 }{ 2 } =\left( 100+\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( 100-\frac { 1 }{ 2 }  \right) =100^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2^{ 2 } } =10000-\frac { 1 }{ 4 } =9999\frac { 3 }{ 4 }    \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$



判別式\((-2)^2-4=0 \Rightarrow\)兩相等實根, 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)



兩邊之和大於第三邊, 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)



:$$\overline{EF}=(\overline{AB}+\overline{CD})\div 2\Rightarrow 10=(6+\overline{CD}) \div 2 \Rightarrow \overline{CD}=14, 故選\bbox[red,2pt]{(3)} $$



全班共有 9+10+12+6+8+2+1 = 48位同學,中位數落在第24、25位,也就是150~155公分這一組, 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)


:$$令\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k \Rightarrow a:b:c=3k:4k:5k = 3:4:5, 故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$


:$$\begin{cases} a=2^{ 16 }=\left( 2^{ 4 } \right) ^{ 4 }=16^{ 4 } \\ b=3^{ 12 }=\left( 3^{ 3 } \right) ^{ 4 }=27^{ 4 } \\ c=5^{ 8 }=\left( 5^{ 2 } \right) ^{ 4 }=25^{ 4 } \\ d=7^{ 4 } \end{cases}\Rightarrow b>c>a>d\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$


:$$\begin{cases} 2x+y=5 \\ 3x-2y=11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4x+2y=10 \\ 3x-2y=11 \end{cases}\Rightarrow 7x=21\Rightarrow x=3\Rightarrow y=-1\\ 將(3,-1)代入ax+3y=-6\Rightarrow 3a-3=-6\Rightarrow a=-1 \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$



:$$\frac { 2x+y }{ 5 } =\frac { -x+3y }{ 7 } \Rightarrow 7\left( 2x+y \right) =5\left( -x+3y \right) \Rightarrow 14x+7y=-5x+15y\Rightarrow 19x=8y\\\Rightarrow x:y=8:19 \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(3)} $$


:$$x與y成正比\Rightarrow y=ax\Rightarrow -12=4a\Rightarrow a=-3\Rightarrow y=-3\times 8=-24  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$





在直角\(\triangle ABC\)中:\({\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2=2^2+1^2=5\)
在直角\(\triangle BCD\)中:\({\overline{CD}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{BD}}^2=5+1=6 \Rightarrow x^2=6\Rightarrow x=\sqrt{6}\), 故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)


:扇形為圓上由兩條半徑和兩條半徑之間的弧所圍的區域,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)





:$$\angle 1=\angle 2\Rightarrow  8x-2=6x+14\Rightarrow  2x=16\Rightarrow  x=8\Rightarrow   \angle   1=8\times  8-2=62\\ \Rightarrow  \angle  3=180-\angle  1=180-62=118 \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$




外心就是外接圓的圓心,如上圖。由於圓心角是圓周角的2倍,即\(\angle   BOC=2\angle   BAC   \Rightarrow   120   =2\angle   BAC\Rightarrow   \angle   BAC=120\div   2=60\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)


:頂點坐標\((a,b)\Rightarrow\)二次函數為\(y=(x-a)^2+b\),故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)


:四分位距就是盒子的長度,即86-63=23,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)



(1)\(\sqrt{100}=10\)
(2)\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)
(3)\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
(2)\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)


:縮放1.5倍,周長也是縮放1.5倍、面積縮放\(1.5^2=2.25\)倍,內角及外角均不變,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)} \)



箏形是兩組鄰邊分別相長的四邊形,對稱軸只有一條,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)} \)


:兩式共同部份為\((x+1)\),故選\(\bbox[red,2pt]{(1)} $$


:點\(P\)是三邊的中垂線交點,因此\(P\)是外心, 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)


:由圖形形可知,該解比-5大且不包含-5, 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)


:$$\frac{(100+1)\times 100}{2}=5050, 故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$



:\(f(x)\)是常數函數,即\(f(x)=a \Rightarrow f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5a=15\Rightarrow a=3 \Rightarrow f(6)=a=3, 故選\bbox[red,2pt]{(4)}\)


:外角是\(36^\circ\Rightarrow\)內角為\(180-36=144^\circ\Rightarrow 180(n-2)\div n=144 \Rightarrow n=10\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)


:$$0.7435=7.435\times 10^{-1}\Rightarrow a+n=7.435+(-1)=6.435,故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

二、填充題

:$$\overline{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(-5+2)^2}=\sqrt{25}=\bbox[red,2pt]{5}$$


:36與48的最大公因數為12,因此最多可分給\(\bbox[red,2pt]{12}\)個學生,每人可得果汁糖3顆及蘇打餅4塊。


:$$x^2-6x-16=\bbox[red,2pt]{(x-8)(x+2)}$$



:$$r\theta = 12\times \frac{\pi}{3}=\bbox[red,2pt]{4\pi}$$




由於\(G\)為重心,所以\(\triangle   BDG =\triangle   GDA =   \triangle  AGE =   \triangle   GEC =   \triangle   GFC =   \triangle   GBF =   10\),因此\(\triangle   BCG\)+四邊形AEGD的面積=20+20=\(\bbox[red,2pt]{40}\)。


解題僅供參考

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