107年國家安全局國家安全情報人員考試
考試別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科：電子組
科 目：工程數學
等 別：三等考試
類 科：電子組
科 目：工程數學
解：
(一)|7−λ−6−12−45−λ86−6−11−λ|=0⇒(λ−1)2(λ+1)=0⇒λ=±1λ=1⇒[6−6−12−4486−6−12][x1x2x3]=0⇒x1−x2−2x3=0⇒u1=[110],u2=[1−11]λ=−1⇒[8−6−12−4686−6−10][x1x2x3]=0⇒{x1=x32x1+3x2=0⇒u3=[1−2/31]P=[u1,u2,u3]=[1111−1−2/3011]⇒P−1=[10−13−3−5−336]⇒P−1AP=[10001000−1]⇒A=P[10001000−1]P−1=[1111−1−2/3011][10001000−1][10−13−3−5−336]=Q−1DQ答:Q=[10−13−3−5−336],D=[10001000−1](二)A=Q−1DQ⇒An=Q−1DnQ⇒A25+3A100=Q−1D25Q+3(Q−1D100Q)=[1111−1−2/3011][10001000−1][10−13−3−5−336]+3([1111−1−2/3011][100010001][10−13−3−5−336])=A+3([1111−1−2/3011][10−13−3−5−336])=A+3I=[7−6−12−4586−6−11]+[300030003]=[10−6−12−4886−6−8]答:A25+3A100=[10−6−12−4886−6−8]
解：{x′(t)+y′(t)−x(t)=0x′(t)+2y′(t)=sin2t⇒{L{x′(t)}+L{y′(t)}−L{x(t)}=0L{x′(t)}+L{2y′(t)}=L{sin2t}⇒{sL{x(t)}−x(0)+sL{y(t)}−y(0)−L{x(t)}=0sL{x(t)}−x(0)+2sL{y(t)}=2s2+4⇒{(s−1)L{x(t)}+sL{y(t)}=0⋯(1)sL{x(t)}+2sL{y(t)}=2s2+4⋯(2)⇒(s−1)×(2)−s×(1)⇒(2s2−2s−s2)L{y(t)}=2(s−1)s2+4⇒L{y(t)}=2(s−1)s(s−2)(s2+4)=14⋅1s+18⋅1s−2−38ss2+4−182s2+4⇒y(t)=14+18e2t−38cos2t−18sin2t⇒y′(t)=14e2t+34sin2t−14cos2t將y′代回x′(t)+2y′(t)=sin2t⇒x′(t)=sin2t−2(14e2t+34sin2t−14cos2t)=−12e2t−12sin2t+12cos2t⇒x(t)=−14e2t+14cos2t+14sin2t+C由x(0)=0⇒0=−14+14+C⇒C=0⇒{x(t)=−14e2t+14cos2t+14sin2ty(t)=14+18e2t−38cos2t−18sin2t
解：E[X∣X>5]=∫∞5λxe−λxdx=[−xe−λx−1λe−λx]|∞5=0−(−5e−5λ−1λe−5λ)=(5+1λ)e−5λ
解：|4−λ01−21−λ0−201−λ|=0⇒(λ−1)2(4−λ)+2(1−λ)=0⇒(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0⇒λ=1,2,3，故選(D)
解：(A){a=1b=c=0⇒(a+c,b−a,c−b,b+a)=(1,−1,0,1)(B){a=c=0b=1⇒(a+c,b−a,c−b,b+a)=(0,1,−1,1)(C){a=b=0c=1⇒(a+c,b−a,c−b,b+a)=(1,0,1,0)(D)(a+c,b−a,c−b,b+a)=(0,1,0,1)⇒{a=−c⋯(1)b−a=1⋯(2)b=c⋯(3)a+b=1⋯(4)⇒由(2)及(4)可知{a=0b=1再代入(1)可得c=0,代入(3)可得c=1,兩者矛盾，故選(D)
解：|312−362770−5|=0且 [312−362770−5]r1+r2,(−7/3)r1+r3→[31207290−7/3−29/3](−3)r3→[31207290729]⇒無窮多組解，故選(B)
解：Z軸為零，其餘不變，故選(A)
解：det(A)=4⇒AX=0⇒X=0為唯一解⇒零空間之維度不是1，故選(C)
解：L{cost}=ss2+1⇒L{e−tcost}=s+1(s+1)2+1=s+1s2+2s+2⇒L{te−tcost}=−dds(s+1s2+2s+2)=−1s2+2s+2+(s+1)(2s+2)(s2+2s+2)2=−s2−2s−2+2s2+4s+2(s2+2s+2)2=s2+2s(s2+2s+2)2=as2+bs+c(s2+2s+2)2⇒a+b+c=1+2+0=3，故選(D)
解：f(z)=(1+3i)2+3(1+3i)=1+6i−9+3+9i=−5+15i⇒實部−5,虛部15，故選(B)
解：
(A)與(B)顯然不可微；(D)f(z)=x3+2xy2+i(y3+2x2y)≡u(x,y)+iv(x,y)⇒{u(x,y)=x3+2xy2v(x,y)=y3+2x2y⇒∂∂xu(x,y)=3x2+2y2≠∂∂yv(x,y)=3y2+2x2⇒f(z)不可微
，故選(C)
解：z=0⇒z−5=−5⇒|z−5|=5>3，超出收斂半徑，故選(A)
解：λ2−2λ+1=0⇒(λ−1)2=0⇒λ=1⇒yh=(C1+C2x)exyp=Ax2ex⇒y′p=2Axex+Ax2ex⇒yp″
解：此為單一迴路二階電路，符合L\frac { d^{ 2 }i }{ dt } +R\frac { di }{ dt } +\frac { i }{ C } =\frac { dv }{ dt } \\ 依本題符號表示，即為LI''+RI'+\frac { I }{ C } =E'(t)\equiv I''+\frac { R }{ L } I'+\frac { I }{ LC } =\frac { I }{ L } E_{ 0 }\omega \cos { \omega t } \\ \Rightarrow a=\frac { R }{ L } ,b=\frac { I }{ LC } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解：\lambda ^{ 2 }+a\lambda +b=0\Rightarrow \lambda =\frac { -a\pm \sqrt { a^{ 2 }-4b } }{ 2 } \Rightarrow y={ e }^{ \alpha x }\left( A\cos { \left( \beta x \right) } +B\sin { \left( \beta x \right) } \right) ,當a^{ 2 }-4b<0\\ y=A\cos { \left( 2\pi x \right) } +B\sin { \left( 2\pi x \right) } \Rightarrow \begin{cases} \alpha =0=-\frac { a }{ 2 } \\ \beta =2\pi =\pm \frac { \sqrt { a^{ 2 }-4b } }{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=4\pi ^{ 2 }(a^{ 2 }-4b<0\Rightarrow b=-4\pi ^{ 2 }不合) \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解：z=1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) \frac { \pi }{ 4 } } +i\sin { \left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) } \right) =\sqrt { 2 } { e }^{ i\left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) }\\ \Rightarrow \ln { \left( z \right) } =\ln { \left( \sqrt { 2 } { e }^{ \left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) } \right) } =\ln { \sqrt { 2 } } +\ln { { e }^{ \left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) } } =\ln { \sqrt { 2 } } +i\left( \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解：\left| \begin{matrix} 3-\lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4-\lambda & 2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right) }^{ 2 }\left( \lambda -4 \right) =0\Rightarrow \lambda =2,4\\D的對角線元素即為特徵值\lambda，故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解： \cosh { \left( at \right) \cos { \left( at \right) } } =\frac { e^{ at }+e^{ -at } }{ 2 } \cos { \left( at \right) } =\frac { 1 }{ 2 } e^{ at }\cos { \left( at \right) } +\frac { 1 }{ 2 } e^{ -at }\cos { \left( at \right) } \\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ \cosh { \left( at \right) \cos { \left( at \right) } } \right\} =\frac { 1 }{ 2 } L^{ -1 }\left\{ e^{ at }\cos { \left( at \right) } \right\} +\frac { 1 }{ 2 } L^{ -1 }\left\{ e^{ -at }\cos { \left( at \right) } \right\} \\ =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { s-a }{ { \left( s-a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { s+a }{ { \left( s+a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \frac { \left( s-a \right) \left( { \left( s+a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) +\left( s+a \right) \left( { \left( s-a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) }{ \left( { \left( s-a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { \left( s+a \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) } \right) \\ =\frac { s^{ 3 } }{ \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 }+2as \right) \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 }-2as \right) } =\frac { s^{ 3 } }{ { \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( 2as \right) }^{ 2 } } =\frac { s^{ 3 } }{ s^{ 4 }+4a^{ 4 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解：a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right] \right| _{ -1 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解：\bbox[red,2pt]{(D)}
解：
第1章可以分給6個老師中的一位、第2章分給5個老師中的一位、...、第4章可以分給3個老師中的一位，因此共有6\times 5\times 4\times 3=360種分配方式，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解：\begin{cases} f_{ X,Y }\left( -1,0 \right) =f_{ X,Y }\left( 0,0 \right) =0.1 \\ f_{ X,Y }\left( 0,2 \right) =f_{ X,Y }\left( 1,3 \right) =0.1 \\ f_{ X,Y }\left( 1,-2 \right) =0.4 \\ f_{ X,Y }\left( 1,1 \right) =0.2 \end{cases}\\\Rightarrow E\left[ XY \right] =\sum { xyf_{ X,Y }\left( x,y \right) } =0.1\left( 0+0+0+3 \right) +0.4\times \left( -2 \right) +0.2\times 1\\ =0.3-0.8+0.2=-0.3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解：\begin{cases} E\left[ X \right] =1 \\ Var\left[ X \right] =2 \end{cases}\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] -{ \left( E\left[ X \right] \right) }^{ 2 }=2\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] =2+{ \left( E\left[ X \right] \right) }^{ 2 }=3\\ \Rightarrow E\left[ (1+X)^{ 2 } \right] =E\left[ 1+2X+X^{ 2 } \right] =E\left[ 1 \right] +2E\left[ X \right] +E\left[ X^{ 2 } \right] =1+2+3=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}
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