104年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第二次食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試
等別:高等考試
類科:電機工程技師
科目:工程數學(包括線性代數、微分方程、複變函數與機率)
類科:電機工程技師
科目:工程數學(包括線性代數、微分方程、複變函數與機率)
解:
(一)det(A−λI)=0⇒|1−λ0001−λ1011−λ|=−(λ−1)3+(λ−1)=0⇒λ(λ−1)(λ−2)=0⇒特徵值λ=0,1,2(二)det(A−λI)=0⇒|1−λ0001−λ1011−λ|=−(λ−1)3+(λ−1)=0⇒λ(λ−1)(λ−2)=0λ=0⇒[1−λ0001−λ1011−λ][x1x2x3]=[100011011][x1x2x3]=0⇒{x1=0x1+x3=0⇒取u1=[01−1]λ=1⇒[1−λ0001−λ1011−λ][x1x2x3]=[000001010][x1x2x3]=0⇒{x3=0x2=0⇒取u2=[100]λ=2⇒[1−λ0001−λ1011−λ][x1x2x3]=[−1000−1101−1][x1x2x3]=0⇒{x1=0x2=x3⇒取u3=[011]⇒特徵向量為[01−1],[100]及[011](三)取P=[u1u2u3]=[010101−101]⇒P−1=[01/2−1/210001/2/21]⇒P−1AP=[000010002]=Λ⇒A=PΛP−1答:P=[010101−101],Λ=[000010002]
解:使用留數定理來解本題∫∞−∞3x+2x(x−4)(x2+9)dx⇒∫∞−∞3z+2z(z−4)(z2+9)dx⇒z=0,4,±3i為單極點(single pole)且0,4在實數線上,3i在上半圓因此原式=πi(0+2(0−4)(0+9)+3×4+24(42+9))+2πi(3×3i+23i(3i−4)(3i+3i))=πi(−118+750)+2πi(9i+272−54i)=19πi225+−18π+4πi72−54i=−378π2025
解:fX,Y(x,y)={x(y+1.5),0<x,y<10,elsewhere⇒{fX(x)=∫10x(y+1.5)dy=[0.5xy2+1.5xy]|10=2xfY(y)=∫10x(y+1.5)dx=[0.5x2(y+1.5)]|10=0.5y+0.75(一)E[X]=∫xfX(x)dx=∫102x2dx=[23x3]|10=23(二)E[Y]=∫yfY(y)dy=∫100.5y2+0.75ydy=[16y3+38y2]|10=1324(三)E[X2]=∫x2fX(x)dx=∫102x3dx=[24x4]|10=12(四)E[XY]=∬xyfX,Y(x,y)dxdy=∫10∫10x2y(y+1.5)dxdy=∫10[13x3y(y+1.5)]|10dy=∫10(13y(y+1.5))dy=[19y3+14y2]|10=1336
解:C:由(1,1,1)至(−2,1,3)的線段,即C:x=−3t+1,y=1,z=2t+1,0≤t≤1⇒dx=−3dt,dy=0,dz=2dt⇒∫Cxyzdx−cos(yz)dy+xzdz=∫10(−3t+1)(2t+1)(−3dt)+(−3t+1)(2t+1)(2dt)=∫10(6t2+t−1)dt=[2t3+12t2−t]|10=2+12−1=32
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