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2019年1月28日 星期一

108年大學學測數學科詳解


108學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分:選擇題(占 65 分 )
一、單選題
1. 點\(A(1,0)在單位圓\Gamma: x^2+y^2=1\)上。試問:\(\Gamma\)上除了\(A\)點以外,還有幾個點到直線\(L:y=2x\)的距離,等於\(A\)點到\(L\)的距離?
(1)1個  (2) 2個  (3) 3個  (4) 4個  (5) 0個

解:

\(\Gamma\)為一單位圓,且圓心在原點;直線\(L\)經過圓心,因此除了A之外,還有B、C、D三點,它們至藍色線的距離都相等,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)


解:
$$x^{ 3 }-x^{ 2 }+4x-4=x^2(x-1)+4(x-1)=(x^2+4)(x-1)=0\\\Rightarrow x=1,\pm 2i ,故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解:
$$2^{ k }4^{ m }8^{ n }=512\Rightarrow 2^{ k }2^{ 2m }2^{ 3n }=512\Rightarrow 2^{ k+2m+3n }=2^{ 9 }\Rightarrow k+2m+3n=9\\ \Rightarrow \left( k,m,n \right) =\left( 4,1,1 \right) ,\left( 2,2,1 \right) ,\left( 1,1,2 \right) ,共3組解,故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$



解:
三種肉:A, B, C;三種素菜: 1,2,3
每道菜一定要有肉,每種食材只能用一次,因此三道菜各有一種肉;
三種素菜分成三群(三道菜),三道菜的素菜可分成:
(X,X,123)→3種,即(X,X,123), (X,123,X), (123,X,X),加上肉類後三道菜為(AX,BX,C123), (AX, B1123, CX), (A123,BX,CX),仍是三種配法。(X代表沒有素菜)

(X,1,23)→6種、(X,2,13)→6種、(X,3,12)→6種;(1,2,3)→6種;
因此共有3+6\times 4=27種分配方法,故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)


解:
$$\left( \log { 100 }  \right) \left( \log { b }  \right) +\log { 100 } +\log { b } =7\Rightarrow 2\log { b } +2+\log { b } =7\Rightarrow 3\log { b } =5\\ \Rightarrow b=10^{ 5/3 }=10\cdot { 10 }^{ 2/3 }=10\sqrt [ 3 ]{ 100 } \Rightarrow 10\sqrt [ 3 ]{ 64 } <b<10\sqrt [ 3 ]{ 125 } \Rightarrow 40<b<50$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)



解:
相關係數為-0.99,就當它是-1;由表格可知氣溫升高2度,咖啡則少賣76杯(大約);
因此氣溫9度時,大約售出512+76=588,氣溫8度時大約賣出512+76+(76/2)=588+38=626杯;
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)


二、多選題


解:
(1)公差為正數\(\Rightarrow a_1<a_2<a_3<\cdots\Rightarrow -a_1>-a_2>-a_3>\cdots \Rightarrow b_1>b_2>b_3>\cdots\)
(2)\(-4<-3<-2\Rightarrow 16>9>4\),因此此選項不一定為真
(3)\(d_n=a_n+a_{n+1}=a_1+(n-1)\alpha+a_1+n\alpha=2a_1+(2n-1)\alpha\\\Rightarrow d_{n+1}=2a_1+(2n+1)\alpha\Rightarrow d_{n+1}-d_n=2\alpha\Rightarrow \)公差為\(2\alpha\)
(4)\(e_n=a_n+n\Rightarrow e_{n+1}-e_n=a_{n+1}+n+1-a_n-n=\alpha+1\Rightarrow\) 公差為\(\alpha+1\)
(5)\(f_{n+1}-f_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n}}{n}=\frac{a_1+a_{n+1}}{2}-\frac{a_1+a_n}{2}=\alpha/2\Rightarrow\) 公差為\(\alpha/2\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\)





解:
(1)兩人背向移動,不會相遇
(2)兩人同向移動,乙的速度比甲快,乙會追上甲,兩者會相遇
(3)兩人面向移動,甲離原點距離8,乙離原點距離10,乙的速度需大於甲的10/8倍才會比甲先到達原點
(4)乙比甲快,時間越久,兩人距離越大
(5)甲離-2距離6,乙離-2距離12;若同時抵達代表乙的速度是甲的2倍,即a=2
故選\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\)



解:
$$七個數字任取兩個,共有C^7_2=21種取法;\\
(1)和大於10: (4,7), (5,7),(5,6),(6,7),共有4種取法,機率為\frac{4}{21} \\
(2)和小於5:(1,2),(1,3),共有2種取法,機率為\frac{2}{21}\\
(3)和為奇數:(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,6),(4,5),(4,7),(5,6),(6,7),\\共有12種取法,機率為\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\\
(4)差為偶數:(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),(3,7),(4,6),(5,7),\\共有9種取法,機率為\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\\
(5)積為奇數:(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),共有6種取法,機率為\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\\
故選\bbox[red,2pt]{(3,5)}$$



解:
$$(1)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow \sin{50^\circ} \le\sin{\angle A}< \sin{\angle B}\le\sin{60^\circ}\\
(2)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow 100^\circ<\angle A+\angle B<120^\circ \Rightarrow 60^\circ<\angle C<80^\circ\\\;\;\;\Rightarrow \angle B<\angle C\Rightarrow \sin{\angle B}<\sin{\angle C}\\
(3)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow \cos{\angle A}>\cos{\angle B}\\
(4)45^\circ<60^\circ<\angle C<80^\circ\Rightarrow \sin{\angle C}>\cos{\angle C}\\
(5)\angle C>\angle B>\angle A\Rightarrow \overline{AB}>\overline{AC}>\overline{BC}\\
故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$


解:
全部500人=A+B+C+D+E+F、50-59歳的人有220人=A+C+D、60歳以上的人有280人=B+E+F;
120人做過大腸篩檢,即C+D+E+F=120,其中75名是1年前做的,即D+E=75;45名是1年內做的,即C+F=45;
又60歳以上的人做過篩檢的是50-59歲做過篩檢的3.5倍,即\(\frac{E+F}{280}=\frac{C+D}{220}\times 3.5\);
(1) 60歲以上的比率為\(280/500=0.56<0.6\)
(2)\(\frac{C^{220}_2}{C^{500}_2}=\frac{220\times 219}{500\times 499}\approx 0.2<0.25\)
(3)\(\frac{C^{75}_1C^{45}_1}{C^{120}_2}=\frac{75\times 45}{120\times 119\div 2}=2\cdot \frac{45}{120}\cdot\frac{75}{119}\)
(4)\(\frac{500-120}{500}=\frac{380}{500}=0.76>0.75\)
(5)$$\frac { E+F }{ 280 } =\frac { C+D }{ 220 } \times \frac { 7 }{ 2 } \Rightarrow E+F=\left( C+D \right) \times \frac { 49 }{ 11 } \Rightarrow C+D=\frac { 11 }{ 49 } \left( E+F \right) \\ C+D+E+F=120\Rightarrow \frac { 11 }{ 49 } \left( E+F \right) +\left( E+F \right) =120\Rightarrow \frac { 60 }{ 49 } \left( E+F \right) =120\\ \Rightarrow E+F=\frac { 120\times 49 }{ 60 } =98>90$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\)



解:
$$\begin{cases}f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)\\f_2(x)=p_2(x)g(x)+r_2(x)\end{cases}\\
(1) -f_1(x)=-p_1(x)g(x)-r_1(x)\Rightarrow 餘式為-r_1(x)\\
(2)f_1(x)+f_2(x)=(p_1(x)+p_2(x))g(x)+r_1(x)+r_2(x)\Rightarrow 餘式為r_1(x)+r_2(x)\\
(3)r_1,r_2皆最高為1次式\Rightarrow r_1r_2可能為2次式,此時餘式不可能與除式g同為2次式\\
(4) f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)=-\frac{1}{3}p_1(x)\times(-3)g(x)+r_1(x)\Rightarrow 餘式仍為r_1(x)\\
(5)f_1r_2-f_2r_1=p_1gr_2+r_1r_2-p_2gr_1-r_1r_2=(p_1r_2-p_2r_1)g\Rightarrow 可整除\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$$


解:
$$令O=(0,0,0),A=(1,2,3),B=(-1,2,3)\Rightarrow \begin{cases}\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(1,2,3)\\\vec{v}=\overrightarrow {OB} =(-1,2,3)\end{cases}\Rightarrow \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(0,-6,4)\\
\Rightarrow P:-6(y-2)+4(z-3)=0\Rightarrow 3y-2z=0\\
(1) (0,3,2)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未平行\\
(2) xy平面的方程式為z=0,其法向量為(0,0,1)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未垂直\\
(3) (0,4,6)符合3y-2z=0\Rightarrow (0,4,6)在平面P上\\
(4) (a,0,0)符合3y-2z=0\Rightarrow x軸在平面P上\\
(5) (1,1,1)至3y-2z=0的距離為\left|\frac{3-2}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{13}}\ne 1\\
故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$

第貳部分:選填題

解:$$\left[\begin{matrix}3&-1&3\\2&4&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right]\Rightarrow \begin{cases}3x-y+3=6\\2x+4y-1=-6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}3x-y=3\cdots(1)\\ 2x+4y=-5\cdots(2)\end{cases}\\
由(1)知 y=3x-3代入(2)\Rightarrow 2x+4(3x-3)=-5\Rightarrow 14x=7\Rightarrow x=1/2\\\Rightarrow y=3\times (1/2)-3=-3/2 \Rightarrow x+3y=\frac{1}{2}+3\times\frac{-3}{2}=-4 $$
答:\(\bbox[red,2pt]{(-4)}\)



解:

由橢圓形方程式可知\(\overline{OB}=4,\overline{OA}=a\Rightarrow \)菱形\(ABCD\)面積為\( \frac{1}{2}\times 4a\times 4=8a=58\Rightarrow a=\frac{58}{8}=\frac{29}{4}\)
答:\(\bbox[red,2pt]{\frac { 29 }{ 4 }}\)



解:

跑道長度固定400公尺,則直徑為足球練習場的寬度(即60)有最長的\(\overline{AB}\)。
此題相當於求上圖的\(a\)值,使得\(2\overline{AB}\)加上圓周長為400,即
\(2(90+a)+60\pi=400\Rightarrow 90+a=200-30\pi\Rightarrow a=110-30\pi=15.75\)
因此\( \overline{AB}=90+15.75=105.75\),跑道長度只能比這個數字小,取整數只能是105。
答:\(\bbox[red,2pt]{105}\)



解:

領公投票的數量以三個圈圈來表示(見上圖),其中A、B...、G代表不重疊的區域。
甲案有765票→A+D+E+G=765;乙案有537票→B+D+F+G=537;丙案有648票→C+E+F+G=648
同時領甲、乙、丙的有224→G=224;每個人至少領了兩張票→A=B=C=0;
求同時領甲、乙兩案,但沒有領丙案的人數,即求D值?$$\begin{cases} D+E+G=765 \\ D+F+G=537 \\ E+F+G=648 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} D+E=541\cdots (1) \\ D+F=313\cdots (2) \\ E+F=424\cdots (3) \end{cases}\Rightarrow (1)+(2)+(3)\Rightarrow 2(D+E+F)=1278\\ \Rightarrow D+E+F=639\cdots (4)\Rightarrow (4)-(3)\Rightarrow D=639-424=215$$
答:\(\bbox[red,2pt]{215}\)



解:
$$\angle BED=180-\angle AEB=180-120=60\Rightarrow \triangle BDE為正\triangle \Rightarrow \overline{BD}=7\\又 \angle ADB=\angle CAD+\angle C\Rightarrow 60=\angle CAD+30\Rightarrow \angle CAD=60-30=30\Rightarrow \overline{DA}=\overline{DC}=15\\ 在\triangle DAB中: \cos{\angle ADB=\frac{\overline{AD}^2+\overline{DB}^2-\overline{AB}^2}{2\overline{DA}\times\overline{DB}}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{15^2+7^2-\overline{AB}^2}{2\times 15\times 7}\\ \Rightarrow 274-\overline{AB}^2=105\Rightarrow \overline{AB}^2=169\\\Rightarrow \overline{AB}=13$$
答:\(\bbox[red,2pt]{13}\)



解:
假設正立方體的邊長為\(a\),一頂點坐標為\(A=(0,0,0)\),則\(A\)之對頂點\(B=(a,a,a)\);
由題意可知 \(\overline{AB}=6\Rightarrow 3a^2=36\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=2\sqrt{3}\)
答:\(\bbox[red,2pt]{2\sqrt{3}}\)


G. 如圖(此為示意圖),\(A,B,C,D\)為平面上的四個點。已知\(\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\),\(\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}\)兩向量等長且互相垂直,則\(\tan{\angle BAD}=?\)

解:

$$假設\cases{A(0,0)\\ B(m,n)\\ C(a,0)},由於\cases{\overline{AC}=\overline{BD}=a\\ \overline{AC}\bot \overline{BD}} \Rightarrow D(m,n+a);\\又\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \Rightarrow (a-m,-n)=(m,n)+(m,n+a) =(2m,2n+a)\\\Rightarrow \cases{n=-m\\ a=3m} \Rightarrow \cases{B(m,-m)\\ C(3m,0)\\ D(m,2m)} \Rightarrow \cases{\overleftrightarrow{AB}:x+y=0\\ \overleftrightarrow{CD}:x+y=3m} \\ 過D(m,2m)且垂直\overleftrightarrow{AB}的直線L:x-y=-m與\overleftrightarrow{AB}的交點F(-m/2,m/2) \Rightarrow \cases{\overline{FA}=m/\sqrt 2\\ \overline{FD}=3m/\sqrt 2} \\ \Rightarrow \tan \angle FAD=\overline{FD}/\overline{FA}=3 \Rightarrow \tan \angle BAD= \bbox[red,2pt]{-3}$$


11 則留言:

  1. 多選12第三選項:r1、r2未必皆是一次式吧 他們也有可能是零次式或整除或整除

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  2. 請問如何確定 AE 向量的 E 會落在 CD 上?

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    1. 忘記備註題號,第 G 題

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    2. 謝謝提醒,已修訂,這樣應該比較簡明易懂!!

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  3. 12題的(5)是不是應為:
    f1r2-f2r1=p1gr2+r1r2-p2gr1-r1r2
    打成了
    f1r2-f2r1=p1gr2+r1r2-p2gr2-r1r2
    待請指教

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    1. 謝謝提醒, 的確打錯一個字, 已修訂!!!

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  4. 您好,第九題的(1)似乎不包含(3.7)(4.6)的部分,不知我理解是否有錯?

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    1. 對! 不應包含(3,7)與(4,6)已修訂,謝謝!

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  5. 第二部分的,c ,110-3π=15.77

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    1. π=3.14159 => 110-30π= 15.7523; 若π=3.14=> 110-30π=15.8; 差不多啦!!!

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