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2019年1月30日 星期三

108年公務人員初等考試-統計詳解


108年公務人員初等考試試題
等別:初等考試
類科 :統計
科目:統計學大意



$$查表(考題有附z\ge 0 表)可得P\left( z<1.96 \right) =0.975\Rightarrow P\left( z<-1.96 \right) =1-0.975=0.025\\ z=-1.96=\frac { x-\mu  }{ \sigma  } =\frac { x-266 }{ 16 } \Rightarrow x=266-1.96\times 16=234.64\\ \Rightarrow P\left( x<234.64 \right) =0.025,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:$$\sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 35 }{ \sqrt { 4 }  } =17.5\Rightarrow P\left( \bar { x } \ge 335 \right) =P\left( z\ge \frac { 335-300 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( z\ge \frac { 35 }{ 17.5 }  \right) =P\left( z\ge 2 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 2 \right) =0.9772\Rightarrow P\left( z\ge 2 \right) =1-0.9772=0.0228,故選\bbox[red,2pt]{(B)}\\ $$


:$$\frac { p\left( 不喜歡鄉村音樂且喜歡福音音樂 \right)  }{ p\left( 不喜歡鄉村音樂 \right)  } =\frac { 0.3-0.1 }{ 1-0.4 } =\frac { 0.2 }{ 0.6 } =\frac { 1 }{ 3 },故選\bbox[red,2pt]{(C)} $$


:$$\frac { P\left( 績效合格的新進經理且來自內升 \right)  }{ P\left( 績效合格的新進經理 \right)  } =\frac { 0.9P\left( A1 \right)  }{ 0.9P\left( A1 \right) +0.75P\left( A2 \right)  } \\ =\frac { 0.9\times 0.4 }{ 0.9\times 0.4+0.75\times 0.6 } =\frac { 36 }{ 36+45 } =\frac { 36 }{ 81 } =\frac { 4 }{ 9 } =0.444,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



:$$P\left( 0.2\le x\le 0.3 \right) =P\left( \left| x-0.25 \right| \le 0.05 \right) =P\left( \left| X-\mu  \right| \le \frac { 5 }{ 2 } \sigma  \right) <1-\frac { 1 }{ { \left( 5/2 \right)  }^{ 2 } } =\frac { 21 }{ 25 } =0.84\\,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:$$\left( A \right) P\left( A \right) =\frac { 800 }{ 1305 } =0.613\\ \left( B \right) P\left( A\cup B \right) =\frac { 800+150 }{ 1305 } =\frac { 950 }{ 1305 } =0.728\\ \left( C \right) P\left( B \right) =\frac { 502 }{ 1305 } =0.385\\ \left( D \right) P\left( A\cap B \right) =\frac { 352 }{ 1305 } =0.27\neq \frac { 800 }{ 1305 } \times \frac { 502 }{ 1305 } =0.236\Rightarrow 不獨立,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$




:$$0.23\times 0.23=0.0529,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



先將樣本分成兩群,再從這兩群隨機抽樣,稱為分層隨機抽樣,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



(A) \(E(0.5X+0.5Y)=0.5(E(X)+E(Y))=0.5(0.0845+0.032)=0.05825\)
(B) \(E(0.7X+0.3Y)=0.7E(X)+0.3E(Y)=0.7\times 0.0845+0.3\times 0.032=0.06875\)
(D)由(A)及(B)可知第1種較低
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)} \)


:$$\left( A \right) \sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 100 }{ \sqrt { 90 }  } =10.54\Rightarrow P\left( \left| x-\bar { x }  \right| \le 10 \right) =P\left( \left| z \right| \le \frac { 10 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( \left| z \right| \le 0.949 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 0.95 \right) =0.8289\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le 0.949 \right) =2\times 0.8289-1=0.6578\\ \left( B \right) 轉為z分數後,數據與(A)相同,即P\left( z\le 0.95 \right) =0.6578\\ \left( C \right) \sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 100 }{ \sqrt { 100 }  } =10\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le \frac { 10 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( \left| z \right| \le 1 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 1 \right) =0.8413\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le 1 \right) =2\times 0.8413-1=0.6826\\ \left( D \right) 轉為z分數後,數據與(B)相同,即P\left( z\le 1 \right) =0.6826\ne 0.6578,\\故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



由於母體的變異數未知,因此我們用t分配來計算信賴區間,即平均住宿價格的95%信賴區間$$=\left( \bar { x } -t_{ 0.025 }(44)\cdot \frac { 65 }{ \sqrt { 45 }  } ,\bar { x } +t_{ 0.025 }(44)\cdot \frac { 65 }{ \sqrt { 45 }  }  \right) \\ =\left( 273-2.015\cdot 9.69,273+2.015\cdot 9.69 \right) =\left( 273-19.52,273+19.52 \right) =\left( 253.5,292.5 \right) \\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$f\left( x;p \right) ={ \left( 1-p \right)  }^{ x-1 }p\Rightarrow L\left( p \right) =f\left( x_{ 1 },x_{ 2 },\dots ,x_{ n };p \right) ={ \left( 1-p \right)  }^{ x_{ 1 }-1 }p\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ x_{ 2 }-1 }p\cdot \cdots { \left( 1-p \right)  }^{ x_{ n }-1 }p\\ ={ \left( 1-p \right)  }^{ (x_{ 1 }+x_{ 2 }+\dots +x_{ n })-n }p^{ n }\Rightarrow \ln { L\left( p \right)  } =\left( x_{ 1 }+x_{ 2 }+\dots +x_{ n }-n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p }\\ =\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } -n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p } \\ 令\frac { d }{ dp } \ln { L\left( p \right)  } =0\Rightarrow \frac { d }{ dp } \left( \left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } -n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p }  \right) =\frac { n-\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  }{ 1-p } +\frac { n }{ p } =0\\ \Rightarrow p\left( n-\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  \right) +n\left( 1-p \right) =0\Rightarrow n=p\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } \Rightarrow p=\frac { n }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  } ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$


:$$p=\frac { 455 }{ 550 } \Rightarrow p\pm z_{ \alpha /2 }\cdot \sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  } =\frac { 455 }{ 550 } \pm z_{ 0.025 }\cdot \sqrt { \frac { 455 }{ 550 } \cdot \frac { 95 }{ 550 } \cdot \frac { 1 }{ 550 }  } \\ =0.8273\pm 1.96\cdot 0.0161=0.8273\pm 0.0316=\left( 0.7957,0.8589 \right) ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$



\(H_0\)為經理的宣稱,即\(H_0:\mu\le 600\);\(H_a\)為對立假設,即\(H_a:\mu>600\) ,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


:$$\mu =400,\bar { x } =385,\sigma =30,\alpha =0.02,\beta =0.1\\ \Rightarrow \bar { x } +z_{ \alpha  }\cdot \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\mu -z_{ \beta  }\cdot \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } \Rightarrow \left( z_{ \alpha  }+z_{ \beta  } \right) \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\mu -\bar { x } \\ \Rightarrow \left( 1.28+2.05 \right) \cdot \frac { 30 }{ \sqrt { n }  } =400-385=15\Rightarrow \sqrt { n } =6.66\\ \Rightarrow n=44.4,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:\(z=\frac { 16.32-16 }{ 0.8/\sqrt { 30 }  } =2.19\),由題意可知\(z_{0.0143}=2.19\),即p值為\(0.0143\times 2=0.0286<0.03\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)



今年住房率為\(1470/1750=0.84\),去年住房率為\(1458/1800=0.81\),因此住房變動率為\(0.84-0.81=0.03\);95%的信賴區間為\(0.03\pm 0.05/2=(0.03-0.025,0.03+0.025) = (0.005, 0.055)\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)




\(故選\bbox[red,2pt]{(C)}\)


:樣本大小可以不同,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


:$$(A) MS_{AB}=\frac{8.333}{2}=4.167\Rightarrow F_{AB}=\frac{4.167}{10.278}=0.4<3.555\Rightarrow \text{AB效應不存在} \\
(B)\text{交互效應不存在,適合檢定個別因子效應}\\
(C)F_A=\frac{92.167}{10.278}=8.97>3.555\Rightarrow \text{A效應存在}\\
(D)F_B=\frac{28.167}{10.278}=2.74<4.414\Rightarrow \text{B效應不存在}\\
,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:實驗目的於決定哪一種方法效果較好,共有四種方法,因此不是單因子或雙因子設計;該實驗只針對五種食物(BLOCK)作比較,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


:$$\begin{array}{c|lcr}
x & 3 & 2 & 5 &4 & 5 \\
y & 8 & 6 & 12& 10 &14 \\
\hline
\hat{y_1} & 8.7 & 6.2 & 13.7 &11.2&13.7 \\
\hat{y_2} & 9 & 6 & 15 &12&15 \\
\hat{y_3} & 8 & 7 & 10 &9&10 \\
\hline
(\hat{y_1}-y)^2&0.49&0.04&2.89&1.44&0.09\\
(\hat{y_2}-y)^2&1&0&9&4&1\\
(\hat{y_3}-y)^2&0&1&4&1&16
\end{array}
\\\Rightarrow \begin{cases}\sum (\hat{y_1}-y)^2=0.49+0.04+2.89+1.44+0.09=4.96\\\sum (\hat{y_2}-y)^2=1+0+9+4+1=15\\\sum (\hat{y_3}-y)^2=0+1+4+1+16=22\end{cases}
\\\Rightarrow \sum (\hat{y_1}-y)^2 最小,故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$


:$$(A)\text{廣告是 }$3,000\Rightarrow X=3000/100=30\Rightarrow \hat{y}=12+1.8\times 30=66\\\Rightarrow \text{銷售估計為} 66\times 1000=$66,000\\
(B\begin{cases} MSR=SSR=225 \\ MSE=\frac { SSE }{ n-2 } =\frac { 75 }{ 17-2 } =5 \end{cases}\Rightarrow F=\frac { MSR }{ MSE } =\frac { 225 }{ 5 } =45\\
(C)t=\sqrt{F}=\sqrt{45}\approx 6.708\\
(D)由於6.708>2.131,因此結論為H_a\\,故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$



公正骰子出現任何點數的機率皆為\(1/6\),因此\(E[X]=4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\),而\(E[X^2]= 4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)。則\(Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{2}{3}-\frac{4}{9} =\frac{2}{9}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)



輸家戰積總和為\(4248-2302=1946\),共有32場賽事,也就是一年有32勝及32敗的戰積,所以輸家的平均戰積為\(1946\div 32=60.8125\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)


:$$\left( \left( 288464-167766 \right) -1946^{ 2 }/32 \right) /31=\left( 120698-118341.125 \right) /31=2356875/31\approx 76.0282\\,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



由上題知輸家的的標準差為\(\sqrt { 76.028 } \approx 8.71\Rightarrow \left[ 52,70 \right] =\left[ 61.29-8.71,61.29+8.71 \right] \)也就是上下界剛好差了一個標準差;
在常態分配中,有68%數量介於正負一個標準差之中,所以輸家共有\(32\times 68\%\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)




$$\begin{array}{c|lcr}

序位 & 1 & 2 & 3 &4 & 5&6&7&8&9&10&11 \\

\hline

數字 & 49 & 54 & 59&59& 60 &63&64&64&65&66&70 \\

\end{array}

\\\Rightarrow 中位數位於序位6,即63,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$\begin{cases} E\left[ X \right] =3 \\ E\left[ Y \right] =8 \end{cases}\Rightarrow E\left[ 2X+3Y \right] =2E\left[ X \right] +3E\left[ Y \right] =6+24=30,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



標準差為需要計算平方和再開根號,無法直接計算,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



\(\sigma_\bar{x}^2=\sigma^2/n\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


:$$p=50/100=0.5\Rightarrow 95\%的信賴區間約為\left[ p-2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  } ,p+2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  }  \right] \\ \Rightarrow 上界減下界=4\sqrt { \frac { 0.5\times 0.5 }{ 100 }  } =4\times \frac { 0.5 }{ 10 } =0.2,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



每一個細格都要超過五,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)




每個數字出現的機率值望值皆為1/6,也就是次數的期望值為2400/6=400;
由上表可算出卡方值為35.725,此值遠大於\(\chi^2_{0.05}(5)=11.0705\),因此有顯著性差異,也就是這不是一個公平的骰子,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



名目尺度,如:性別,不能排序,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



直方圖一般用來表達連續型數據,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\);離散型一般以長條圖來表達。



ANOVA用來比較母體均值,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)



總平方和 =處理平方和+誤差平方和;處理平方和與誤差平方和大小不定,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


:$$k次動差=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ X_{ i }^{ k } } \Rightarrow 1次動差=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ X_{ i } } =\bar { X } ,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



樣本平均數抽樣分配趨近常態分配,其平均數為樣本平均數(10),標準差為(樣本標準差/\(\sqrt{樣本數}=\frac{10}{\sqrt{100}}=1\Rightarrow \)變異數=1,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)




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