108年公務人員初等考試-統計詳解

108年公務人員初等考試試題

等別：初等考試
類科 ：統計
科目：統計學大意

解：

$$查表(考題有附z\ge 0 表)可得P\left( z<1.96 \right) =0.975\Rightarrow P\left( z<-1.96 \right) =1-0.975=0.025\\ z=-1.96=\frac { x-\mu  }{ \sigma  } =\frac { x-266 }{ 16 } \Rightarrow x=266-1.96\times 16=234.64\\ \Rightarrow P\left( x<234.64 \right) =0.025，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 35 }{ \sqrt { 4 }  } =17.5\Rightarrow P\left( \bar { x } \ge 335 \right) =P\left( z\ge \frac { 335-300 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( z\ge \frac { 35 }{ 17.5 }  \right) =P\left( z\ge 2 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 2 \right) =0.9772\Rightarrow P\left( z\ge 2 \right) =1-0.9772=0.0228，故選\bbox[red,2pt]{(B)}\\ $$

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解： $$\frac { p\left( 不喜歡鄉村音樂且喜歡福音音樂 \right)  }{ p\left( 不喜歡鄉村音樂 \right)  } =\frac { 0.3-0.1 }{ 1-0.4 } =\frac { 0.2 }{ 0.6 } =\frac { 1 }{ 3 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { P\left( 績效合格的新進經理且來自內升 \right)  }{ P\left( 績效合格的新進經理 \right)  } =\frac { 0.9P\left( A1 \right)  }{ 0.9P\left( A1 \right) +0.75P\left( A2 \right)  } \\ =\frac { 0.9\times 0.4 }{ 0.9\times 0.4+0.75\times 0.6 } =\frac { 36 }{ 36+45 } =\frac { 36 }{ 81 } =\frac { 4 }{ 9 } =0.444，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$P\left( 0.2\le x\le 0.3 \right) =P\left( \left| x-0.25 \right| \le 0.05 \right) =P\left( \left| X-\mu  \right| \le \frac { 5 }{ 2 } \sigma  \right) <1-\frac { 1 }{ { \left( 5/2 \right)  }^{ 2 } } =\frac { 21 }{ 25 } =0.84\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left( A \right) P\left( A \right) =\frac { 800 }{ 1305 } =0.613\\ \left( B \right) P\left( A\cup B \right) =\frac { 800+150 }{ 1305 } =\frac { 950 }{ 1305 } =0.728\\ \left( C \right) P\left( B \right) =\frac { 502 }{ 1305 } =0.385\\ \left( D \right) P\left( A\cap B \right) =\frac { 352 }{ 1305 } =0.27\neq \frac { 800 }{ 1305 } \times \frac { 502 }{ 1305 } =0.236\Rightarrow 不獨立，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$0.23\times 0.23=0.0529，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
先將樣本分成兩群，再從這兩群隨機抽樣，稱為分層隨機抽樣，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
(A) $E(0.5X+0.5Y)=0.5(E(X)+E(Y))=0.5(0.0845+0.032)=0.05825$
(B) $E(0.7X+0.3Y)=0.7E(X)+0.3E(Y)=0.7\times 0.0845+0.3\times 0.032=0.06875$
(D)由(A)及(B)可知第1種較低
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\left( A \right) \sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 100 }{ \sqrt { 90 }  } =10.54\Rightarrow P\left( \left| x-\bar { x }  \right| \le 10 \right) =P\left( \left| z \right| \le \frac { 10 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( \left| z \right| \le 0.949 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 0.95 \right) =0.8289\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le 0.949 \right) =2\times 0.8289-1=0.6578\\ \left( B \right) 轉為z分數後，數據與(A)相同,即P\left( z\le 0.95 \right) =0.6578\\ \left( C \right) \sigma _{ \bar { x }  }=\frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 100 }{ \sqrt { 100 }  } =10\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le \frac { 10 }{ \sigma _{ \bar { x }  } }  \right) =P\left( \left| z \right| \le 1 \right) \\ 查表可知P\left( z\le 1 \right) =0.8413\Rightarrow P\left( \left| z \right| \le 1 \right) =2\times 0.8413-1=0.6826\\ \left( D \right) 轉為z分數後，數據與(B)相同,即P\left( z\le 1 \right) =0.6826\ne 0.6578，\\故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
由於母體的變異數未知，因此我們用t分配來計算信賴區間，即平均住宿價格的95%信賴區間 $$=\left( \bar { x } -t_{ 0.025 }(44)\cdot \frac { 65 }{ \sqrt { 45 }  } ,\bar { x } +t_{ 0.025 }(44)\cdot \frac { 65 }{ \sqrt { 45 }  }  \right) \\ =\left( 273-2.015\cdot 9.69,273+2.015\cdot 9.69 \right) =\left( 273-19.52,273+19.52 \right) =\left( 253.5,292.5 \right) \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f\left( x;p \right) ={ \left( 1-p \right)  }^{ x-1 }p\Rightarrow L\left( p \right) =f\left( x_{ 1 },x_{ 2 },\dots ,x_{ n };p \right) ={ \left( 1-p \right)  }^{ x_{ 1 }-1 }p\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ x_{ 2 }-1 }p\cdot \cdots { \left( 1-p \right)  }^{ x_{ n }-1 }p\\ ={ \left( 1-p \right)  }^{ (x_{ 1 }+x_{ 2 }+\dots +x_{ n })-n }p^{ n }\Rightarrow \ln { L\left( p \right)  } =\left( x_{ 1 }+x_{ 2 }+\dots +x_{ n }-n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p }\\ =\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } -n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p } \\ 令\frac { d }{ dp } \ln { L\left( p \right)  } =0\Rightarrow \frac { d }{ dp } \left( \left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } -n \right) \ln { \left( 1-p \right)  } +n\ln { p }  \right) =\frac { n-\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  }{ 1-p } +\frac { n }{ p } =0\\ \Rightarrow p\left( n-\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  \right) +n\left( 1-p \right) =0\Rightarrow n=p\sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } } \Rightarrow p=\frac { n }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ x_{ i } }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$p=\frac { 455 }{ 550 } \Rightarrow p\pm z_{ \alpha /2 }\cdot \sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  } =\frac { 455 }{ 550 } \pm z_{ 0.025 }\cdot \sqrt { \frac { 455 }{ 550 } \cdot \frac { 95 }{ 550 } \cdot \frac { 1 }{ 550 }  } \\ =0.8273\pm 1.96\cdot 0.0161=0.8273\pm 0.0316=\left( 0.7957,0.8589 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$H_0$為經理的宣稱，即$H_0:\mu\le 600$；$H_a$為對立假設，即$H_a:\mu>600$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\mu =400,\bar { x } =385,\sigma =30,\alpha =0.02,\beta =0.1\\ \Rightarrow \bar { x } +z_{ \alpha  }\cdot \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\mu -z_{ \beta  }\cdot \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } \Rightarrow \left( z_{ \alpha  }+z_{ \beta  } \right) \frac { \sigma  }{ \sqrt { n }  } =\mu -\bar { x } \\ \Rightarrow \left( 1.28+2.05 \right) \cdot \frac { 30 }{ \sqrt { n }  } =400-385=15\Rightarrow \sqrt { n } =6.66\\ \Rightarrow n=44.4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$z=\frac { 16.32-16 }{ 0.8/\sqrt { 30 }  } =2.19$，由題意可知$z_{0.0143}=2.19$，即p值為$0.0143\times 2=0.0286<0.03$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
今年住房率為$1470/1750=0.84$，去年住房率為$1458/1800=0.81$，因此住房變動率為$0.84-0.81=0.03$；95%的信賴區間為$0.03\pm 0.05/2=(0.03-0.025,0.03+0.025) = (0.005, 0.055)$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$故選\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：樣本大小可以不同，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$(A) MS_{AB}=\frac{8.333}{2}=4.167\Rightarrow F_{AB}=\frac{4.167}{10.278}=0.4<3.555\Rightarrow \text{AB效應不存在} \\ (B)\text{交互效應不存在,適合檢定個別因子效應}\\ (C)F_A=\frac{92.167}{10.278}=8.97>3.555\Rightarrow \text{A效應存在}\\ (D)F_B=\frac{28.167}{10.278}=2.74<4.414\Rightarrow \text{B效應不存在}\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：實驗目的於決定哪一種方法效果較好，共有四種方法，因此不是單因子或雙因子設計；該實驗只針對五種食物(BLOCK)作比較，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\begin{array}{c|lcr} x & 3 & 2 & 5 &4 & 5 \\ y & 8 & 6 & 12& 10 &14 \\ \hline \hat{y_1} & 8.7 & 6.2 & 13.7 &11.2&13.7 \\ \hat{y_2} & 9 & 6 & 15 &12&15 \\ \hat{y_3} & 8 & 7 & 10 &9&10 \\ \hline (\hat{y_1}-y)^2&0.49&0.04&2.89&1.44&0.09\\ (\hat{y_2}-y)^2&1&0&9&4&1\\ (\hat{y_3}-y)^2&0&1&4&1&16 \end{array} \\\Rightarrow \begin{cases}\sum (\hat{y_1}-y)^2=0.49+0.04+2.89+1.44+0.09=4.96\\\sum (\hat{y_2}-y)^2=1+0+9+4+1=15\\\sum (\hat{y_3}-y)^2=0+1+4+1+16=22\end{cases} \\\Rightarrow \sum (\hat{y_1}-y)^2 最小，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(A)\text{廣告是 }$3,000\Rightarrow X=3000/100=30\Rightarrow \hat{y}=12+1.8\times 30=66\\\Rightarrow \text{銷售估計為} 66\times 1000=$66,000\\ (B\begin{cases} MSR=SSR=225 \\ MSE=\frac { SSE }{ n-2 } =\frac { 75 }{ 17-2 } =5 \end{cases}\Rightarrow F=\frac { MSR }{ MSE } =\frac { 225 }{ 5 } =45\\ (C)t=\sqrt{F}=\sqrt{45}\approx 6.708\\ (D)由於6.708>2.131，因此結論為H_a\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
公正骰子出現任何點數的機率皆為$1/6$，因此$E[X]=4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$，而$E[X^2]= 4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$。則$Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{2}{3}-\frac{4}{9} =\frac{2}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
輸家戰積總和為$4248-2302=1946$，共有32場賽事，也就是一年有32勝及32敗的戰積，所以輸家的平均戰積為$1946\div 32=60.8125$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left( \left( 288464-167766 \right) -1946^{ 2 }/32 \right) /31=\left( 120698-118341.125 \right) /31=2356875/31\approx 76.0282\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
由上題知輸家的的標準差為$\sqrt { 76.028 } \approx 8.71\Rightarrow \left[ 52,70 \right] =\left[ 61.29-8.71,61.29+8.71 \right]$也就是上下界剛好差了一個標準差;
在常態分配中，有68%數量介於正負一個標準差之中，所以輸家共有$32\times 68\%$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$$\begin{array}{c|lcr} 序位 & 1 & 2 & 3 &4 & 5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline 數字 & 49 & 54 & 59&59& 60 &63&64&64&65&66&70 \\ \end{array} \\\Rightarrow 中位數位於序位6,即63，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} E\left[ X \right] =3 \\ E\left[ Y \right] =8 \end{cases}\Rightarrow E\left[ 2X+3Y \right] =2E\left[ X \right] +3E\left[ Y \right] =6+24=30，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
標準差為需要計算平方和再開根號，無法直接計算，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$\sigma_\bar{x}^2=\sigma^2/n$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$p=50/100=0.5\Rightarrow 95\%的信賴區間約為\left[ p-2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  } ,p+2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  }  \right] \\ \Rightarrow 上界減下界=4\sqrt { \frac { 0.5\times 0.5 }{ 100 }  } =4\times \frac { 0.5 }{ 10 } =0.2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

每一個細格都要超過五，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

每個數字出現的機率值望值皆為1/6，也就是次數的期望值為2400/6=400；
由上表可算出卡方值為35.725，此值遠大於$\chi^2_{0.05}(5)=11.0705$，因此有顯著性差異，也就是這不是一個公平的骰子，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

名目尺度，如：性別，不能排序，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
直方圖一般用來表達連續型數據，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$；離散型一般以長條圖來表達。

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解：

ANOVA用來比較母體均值，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
總平方和 =處理平方和+誤差平方和；處理平方和與誤差平方和大小不定，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$k次動差=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ X_{ i }^{ k } } \Rightarrow 1次動差=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ X_{ i } } =\bar { X } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
樣本平均數抽樣分配趨近常態分配，其平均數為樣本平均數(10)，標準差為(樣本標準差/$\sqrt{樣本數}=\frac{10}{\sqrt{100}}=1\Rightarrow$變異數=1，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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