98年大學指考數學乙詳解

98學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 箱子裡有30顆紅球，20顆藍球。小明從箱子中隨機抽出1顆球，記錄球的顏色後放回。重複此動作5次，並依序記錄。下列各選項都是小明可能呈現的紀錄，試問哪一選項發生的機率最大？

(1) 紅紅紅紅紅
(2) 藍藍藍藍藍
(3) 紅紅藍紅紅
(4) 紅藍紅藍紅
(5) 藍紅紅藍紅

解：

抽出紅球的機率為$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，抽出藍球的機率為$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，因此抽出紅球的機率較高；而且抽出後放回，所以每次抽出紅球的機率皆相同(3/5)，每次抽出藍球的機率皆相同(2/5)。

(1) 機率為$(3/5)^5$

(2) 機率為$(2/5)^5$

(3) 機率為$(3/5)^4\times(2/5)$
(4) 機率為$(3/5)^3\times(2/5)^2$
(5) 機率為$(3/5)^3\times(2/5)^2$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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2.  A,B,C,D是四組資料的散佈圖，如圖所示。利用最小平方法計算它們的迴歸直線，發現有兩組資料的迴歸直線相同，試問是哪兩組？

(1)  A、B

(2) A、C

(3) A、D

(4) B、C

(5) B、D

解：

圖A與圖D(紅色)重疊如上圖；

圖B與圖C(藍色)重疊如上圖；

四個圖形的X軸坐標皆相同(3,4,5,6,7,8)，僅考慮各圖形Y坐標的平均值，圖B與圖C有幾乎相同的Y坐標平均值；圖D的Y坐標平均值略高於圖A；故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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二、多選題

3. 若$(a,b)$ 是對數函數 $y=\log{x}$圖形上一點，則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(1)   (1,0)      (2)  $(10a,b+1)$    (3)$(2a,2b)$     (4)$(\frac{1}{a},1-b)$    (5)$(a^2,2b)$

解：

$(a,b)$ 是對數函數 $y=\log{x}$圖形上一點，即$\log{a}=b$

(1) $\log{1}=0\Rightarrow   (1,0)$在該圖形上

(2)   $\log{10a}=\log{10}+\log{a}=1+b\Rightarrow (10a, b+1)$在該圖形上

(3)$\log{2a}=\log{2}+\log{a}=\log{2}+b\ne  2b\Rightarrow   (2a,2b)$不在該圖形上

(4)$\log{\frac{1}{a}}=\log{1}-\log{a}=0-b\ne 1-b\Rightarrow (\frac{1}{a},1-b)$不在該圖形上

(5)$\log{a^2}=2\log{a}=2b\Rightarrow   (a^2,2b)$在該圖形上

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$

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4.   國一學生30萬人，智商測驗的結果是「平均數100，標準差15」的常態分配。若以智商130以上做為甄選國一學生為資優生的門檻，則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的敘述，哪些是正確的？
(1) 約有5%的國一學生通過資優生甄選門檻
(2) 約有15萬名國一學生的智商在100以上
(3) 超過20萬名國一學生智商介於85至115之間
(4) 隨機抽出1000名國一學生，可期望有25名資優生
(5) 如果某偏遠學校只有14名的國一學生，那麼該校不會有資優生

解：

(1)  130與平均數100的差距為30，剛好是二個標準差的距離；在常態分配中(見上圖)，超過平均值二個標準差的比率為$100\%-50\%-34.1\%-13.6\%=2.3\%\ne   5\%$
(2)100為平均值，常態分配中，超過平均值的比率為50%
(3)$P(85\le   X\le   115)=P(|X-\mu|\le   \sigma)=68.2\%\Rightarrow$人數為30萬$\times   68.2\%=  20.46$萬
(4)由(1)知: 約有2.3%的學生是資優生，因此1000名學生中約有23$\approx 25$人是資優生
(5)不一定！這只是機率問題，並非絕對不出現。

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$。

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5.   經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料，得到這樣的結論：『員工就學年數每增加一年，其年薪平均增加8萬5千元』。試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？

(1) 「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數

(2) 「年薪」之全距與「就學年數」之全距

(3) 「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數

(4) 「年薪」與「就學年數」之相關係數

(5) 「年薪」對「就學年數」之迴歸直線斜率

解：

(1)眾數無法推估兩變數之間的關係
(2)全距為最大值與最小值的差距，亦無法推估兩變數之間的關係
(3)平均數僅一個固定數值，亦無法推估兩變數之間的關係
(4)若相關係數為零，兩變數不相關，無法推估
(5)$y=mx+b\Rightarrow \triangle y=(m(x+1)+b)-(mx+b)=m$，直線斜率乘上變化值就可預估落點

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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6.   某縣市教育局欲瞭解高中生參加課外活動社團的意願，開學日隨機調查高一、高二、高三學生各1067名，詢問本學期是否要參加課外活動社團。已知該縣市的高一、高二、高三學生人數幾乎一樣多，各年級學生調查結果如下圖：

試問下列選項中的敘述，哪些是正確的？
(1) 學生要參加課外活動社團之比例隨著年級增加而遞減
(2) 由上述資訊可以估算全體學生要參加課外活動社團的比例
(3) 在95%信心水準下，每一個年級學生要參加課外活動社團的比例之信賴區間，都可以由題目中已知的數據算出
(4) 在95%信心水準下，三個年級的調查結果，以高一學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最長
(5) 在95%信心水準下，三個年級的調查結果，以高三學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最短

解：
(1)$\bigcirc$：要參加的比例為66%>52%>22%，隨著年級增加而遞減
(2)$\bigcirc$：抽樣人數與各年級人數比例皆已知，可以推估
(3) $\bigcirc$：在95%信心水準下，信賴區間為$[p-2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]$
(4)$\times$：信賴區間的長短取決於$p(1-p)$的大小；高一至高三的$p(1-p)$分別為$0.66\times 0.34,0.52\times   0.48,0.22\times   0.78$，約為$0.22, 0.25,0.17$；因此信賴區間最長的是高二，不是高一；
(5)$\bigcirc$：由(4)知: 高三的信賴區間最短

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,3,5)}$

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三、選填題

A. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價100萬元；該汽車的價值在第一年後折舊20%，第二年以後每年折舊前一年車價的15%。陳先生現在想用這部車換新車，試問舊車可抵多少萬元？(萬元以下四捨五入)

解：

新車100萬元→一年後變為$100\times(1-20\%)=80$萬元→二年後變為$80\times (1-15\%)=68$萬元→三年後變為$68\times(1-15\%)=57.8\approx 58$萬元；

答：$\bbox[red,2pt]{58}$萬元

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B. 某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率（即偵測錯誤的機率）。共有760人接受此血液偵測技術實驗，實驗前已知樣本中有735人未患老年癡呆症。實驗後，血液偵測判斷為未患老年癡呆症者有665人，其中真正未患老年癡呆症有660人。試問此血液偵測技術的誤判率為？(化成最簡分數)

解： $$760人經實驗偵測結果為\begin{cases}未患病者665人(真正未患病者為660人)\\患病者760-665=95人\end{cases}，\\但實情是\begin{cases}未患病者735人\\患病者760-735=25人\end{cases}；\\因此有665-660=5名患病者被誤判為未患病；有735-660=75名未患病者被誤判為患病；\\ 共有5+75=80人被誤判，誤判率為\frac{80}{760}=\bbox[red,2pt]{\frac{2}{19}}$$

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C. 某公司召聘新員工，共有1600人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室，該校可租借的大教室有50間，每間可容納40人，每間租金500元；小教室有60間，每間可容納20人，每間租金150元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過60間。試問租借大教室 ？ 間，小教室 ？ 間，來進行筆試，最省租借場地費用。

解：

假設借大教室$x$ 間，小教室 $y$間，依題意： $$滿足\begin{cases}0\le x\le 50\\0\le y\le 60\\x+y\le 60\\40x+20y\ge 1600\end{cases}，求f(x,y)=500x+150y最小時的x與y值$$

滿足所有條件的區域如上圖四邊形，各頂點分別為$A=(20,40), B=(50,10), C=(50,0), D=(40,0)$，代入$f$可得： $$\begin{cases}f(A)=500\times 20+150\times 40=16000\\f(B)=500\times 50+150\times 10=26500 \\f(C)=500\times 50 +0=25000 \\f(D)= 500\times 40+0= 20000 \end{cases}$$ 因此$f(A)$有最小值，即租用大間$\bbox[red,2pt]{20}$間，小間$\bbox[red,2pt]{40}$費用最少；

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D. 某動物園的遊園列車依序編號1到7，共有7節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則7節車廂一共有 ？種畫法。

解：

中間的三節車廂由企鵝、無尾熊及貓熊三種動物排列，有$3!=6$種排法；
剩下四節車廂由1個企鵝、1個無尾熊及2個貓熊排列，有$\frac{4!}{2}=12$種排法；
因此全部共有$6\times 12=\bbox[red,2pt]{72}$種畫法。

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第貳部份：非選擇題

一、某製造玩具工廠，每次接到訂單都需開模5萬元，製造每一千個玩具材料費需2萬元，由此建立生產的基本成本函數 $f(x)=5+2x$，其中x以千個為單位。依過去經驗，接到訂單數量與報價總值有如下關係： $$\begin{array}{c|c}數量千個(千個)&報價總值(萬元)\\ \hline 5&37.5\\10&70\\15&97.5\end{array}$$ 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數$g(x)$ ，以及獲利函數$h(x)=g(x)-f(x)$ 。
(1) 若接到訂單為20千個，試問交貨時，每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？
(2) 試求報價總值函數 $g(x)$。
(3) 根據 $h(x)$，試問訂單數量是多少時，獲利總值最高？（5分）

解：

(1)依照成本函數$f(20)=5+2\times 20=45$萬元，因此每$\bbox[red,2pt]{千}$個玩具的基本成本平均為$45\div 20= \bbox[red,2pt]{2.25}$萬元；
(2)依題意$g(x)$為一個二次函數，即 $$g(x)=ax^{ 2 }+bx+c\Rightarrow \begin{cases} g(5)=37.5 \\ g(10)=70 \\ g(15)=97.5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 25a+5b+c=37.5\cdots (1) \\ 100a+10b+c=70\cdots (2) \\ 225a+15b+c=97.5\cdots (3) \end{cases}\\ \begin{cases} (2)-(1) \\ (3)-(2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 75a+5b=32.5\cdots (4) \\ 125a+5b=27.5\cdots (5) \end{cases}\Rightarrow (5)-(4)\Rightarrow 50a=-5\Rightarrow a=-0.1\\ a=-0.1代入(4)\Rightarrow -7.5+5b=32.5\Rightarrow 5b=40\Rightarrow b=8\\ a=-0.1及b=8代入(1)\Rightarrow -2.5+40+c=37.5\Rightarrow c=0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{g(x)=-0.1x^{ 2 }+8x}$$
(3) $$h(x)=g(x)-f(x)=\left( -0.1x^{ 2 }+8x \right) -\left( 5+2x \right) =-0.1x^{ 2 }+6x-5=-0.1\left( x^{ 2 }-60x+900 \right) -5+90\\ =-0.1(x-30)^{ 2 }+85$$ 也就是訂單數量為$\bbox[red,2pt]{30千}$時有最高獲利85萬元。

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二、設有A、B兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有a公升的純酒精，B瓶裝有b公升的礦泉水。每一輪操作都是先將A瓶的溶液倒出一半到B瓶，然後再將B瓶的溶液倒出一半回A瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設n輪操作後，A瓶有$a_n$ 公升的溶液，B瓶有$b_n$ 公升的溶液。已知二階方陣$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$滿足$\begin{bmatrix} a_{ n } \\ b_{ n } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ n }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$。
(1)求二階方陣$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$。
(2)當$a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}$時，求$a_{100}$及$b_{100}$。
(3)當$a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}$時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？

解：

(1) $$\begin{cases} A=a \\ B=b \end{cases}\xrightarrow { 將A瓶的溶液倒出一半到B瓶 } \begin{cases} A=\frac { a }{ 2 }  \\ B=b+\frac { a }{ 2 }  \end{cases}\\ \xrightarrow { 將B瓶的溶液倒出一半回A瓶 } \begin{cases} A=\frac { a }{ 2 } +\left( b+\frac { a }{ 2 }  \right) /2=\frac { 3 }{ 4 } a+\frac { 1 }{ 2 } b \\ B={ \left( b+\frac { a }{ 2 }  \right)  }/{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } a+\frac { 1 }{ 2 } b \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 1 } \\ b_{ 1 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}}$$

(2) $$\begin{bmatrix} a_{ 100 } \\ b_{ 100 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ 100 }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}^{ 100 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}^{ 99 }\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}^{ 99 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}=\cdots =\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 100 } \\ b_{ 100 } \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}}$$

(3) $$\begin{bmatrix} a_{ 2 } \\ b_{ 2 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ 2 }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}^{ 2 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 4 }  & \frac { 1 }{ 2 }  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \frac { 11 }{ 16 }  & \frac { 5 }{ 8 }  \\ \frac { 5 }{ 16 }  & \frac { 3 }{ 8 }  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 }  \end{bmatrix}\Rightarrow a_{ 2 }=\frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 5 }{ 8 } \times \frac { 1 }{ 3 } \\ \Rightarrow A瓶酒精濃度=\frac { \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 }  }{ \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 5 }{ 8 } \times \frac { 1 }{ 3 }  } =\frac { \frac { 11 }{ 24 }  }{ \frac { 16 }{ 24 }  } =\frac { 11 }{ 16 } =\bbox[red,2pt]{68.75\%}$$

-- END   (僅供參考)  --