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2019年1月3日 星期四

GeoGebra -- 求矩陣的特徵值(eigen value)及特徵向量(eigen vector)




GeoGebra 只能用運算區求特徵值及特徵向量,代數區是不能使用 Eigenvalues() 及Eigenvectors() 這兩個函式的。


因此我們直接進入運算區,關閉指令列及其他畫面。

↓運算區畫面

利用GGB模擬手算過程,同時也瞭解運算區的操作。

↓輸入 A:={{-1,0},{1,-5}}

還是提醒一下,在運算區不是等號(=),而是冒號加等號(:=)。
在手算求特徵值的過程中,會先求 \(det(A-\lambda I)=0\)。因此我們也先輸入一個單位矩陣I。

↓再定義一個單位矩陣I

↓再輸入 \(A-\lambda *I\)

也許你會問: 如何輸入 \(\lambda\)?

↓先點選視窗右角\(\alpha\),會出現一個符號表,再點選\(\lambda\)

↓輸入 Determinant($3),求第3式的行列式

在運算區的視窗最左邊有一排數字,錢符號($)加上數字就代表該運算式。因此Determinant($3)就是計算第3式的行列式值。

接下來就是求取行列式為零時的\(\lambda\)值,也就是特徵值。

↓輸入solutions($4=0),求\(\lambda^2+6\lambda+5=0\)的解,其解就是特徵值


↓當然也可以直接使用eigenvalues(A)取代上述步驟求出特徵值


接下來由特徵值來求特徵向量,在此之前,先瞭解如何取出向量(或list)中的個別元素。

↓Elements($6,1)取出式6中第1個元素,Elements($6,2)取出第2個元素

手算特徵向量就是要求\(Ax=\lambda x\)中的向量\(x\),因此我們需要一個向量\((x,y)\)來代表x。

↓第9式定義一個向量、第10式就是\(Ax\)、第11式就是\(\lambda x\)

其實在前面我們已經算出\(\lambda\)值,因此修改第11式。

↓第12式: 將第1個特徵值取代第11式的\(\lambda\);第13式: 求解\(Ax=\lambda x\)

上述第13式的輸入變數有兩個,第一個是方程式,第二個指定哪些是變數。結果是\((4y, y)\),取\(y=1\)可得特徵向量為\((4,1)\);同理可輸入第2個特徵值,\(\lambda = -5\),再求其特徵向量。

↓第14式: 代入第2個特徵值求特徵向量,取\(y=1\)可得特徵向量為\((0,1)\)


↓當然也可以一步到位,直接使用Eigenvectors(A)求矩陣A的特徵向量


-- END --

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