102年專科學力鑑定考試--工程數學詳解

102年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：工程數學 詳解

解： $$f\left( t \right) =t^{ 2 }+\sin { 2t } +\cos { 3t } \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =L\left\{ t^{ 2 } \right\} +L\left\{ \sin { 2t }  \right\} +L\left\{ \cos { 3t }  \right\} \\ =\frac { 2! }{ s^{ 3 } } +\frac { 2 }{ s^{ 2 }+2^{ 2 } } +\frac { s }{ s^{ 2 }+3^{ 2 } } =\frac { 2 }{ s^{ 3 } } +\frac { 2 }{ s^{ 2 }+4 } +\frac { s }{ s^{ 2 }+9 } ，故選：\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$F\left( s \right) =\frac { 2s+1 }{ s(s-1) } =\frac { -1 }{ s } +\frac { 3 }{ s-1 } \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ F\left( s \right)  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { -1 }{ s }  \right\} +L^{ -1 }\left\{ \frac { 3 }{ s-1 }  \right\} =-1+3{ e }^{ t }\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f\left( t+2 \right) =f\left( t \right) \Rightarrow L\left( f\left( t \right)  \right) =\frac { \int _{ 0 }^{ 2 }{ 2e^{ -st }dt }  }{ 1-e^{ -2s } } =\frac { \int _{ 0 }^{ 1 }{ 2e^{ -st }dt }  }{ 1-e^{ -2s } } =\frac { 1 }{ 1-e^{ -2s } } \left. \left[ \frac { 2e^{ -st } }{ -s }  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 1 }{ 1-e^{ -2s } } \left( \frac { -2e^{ -s } }{ s } +\frac { 2 }{ s }  \right) =\frac { 2 }{ s } \cdot \frac { 1-e^{ -s } }{ 1-e^{ -2s } } =\frac { 2 }{ s } \cdot \frac { 1-e^{ -s } }{ \left( 1-e^{ -s } \right) \left( 1+e^{ -s } \right)  } \\ =\frac { 2 }{ s } \cdot \frac { 1 }{ 1+e^{ -s } } =\frac { 2 }{ s\left( 1+e^{ -s } \right)  } ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) g\left( x \right) =\left( \cos { x } +\cos { 2x } +\cos { 3x }  \right) \left( \sin { x } +\cos { 2x }  \right) \\ =\sin { x } \cos { x } +\cos { x } \cos { 2x } +\sin { x } \cos { 2x } +\cos ^{ 2 }{ 2x } +\sin { x } \cos { 3x } +\cos { 2x } \cos { 3x } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sin { 2x } +\cos { 3x } +\cos { x } +\sin { 3x } -\sin { x } +\sin { 4x } -\sin { 2x } +\cos { 5x } +\cos { x }  \right) +\cos ^{ 2 }{ 2x } \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ f\left( x \right) g\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \cos ^{ 2 }{ 2x } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left( \cos { 4x } +1 \right) dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ 1dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \times 2\pi =\pi ， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f\left( x \right) 為偶函數\Rightarrow f\left( x \right) =f\left( -x \right) \Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 },\cos { x } 皆為偶函數 \\ x,\sin { x } 皆為奇函數 \end{cases}\Rightarrow 3x^2-\cos{x} 為偶函數， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) =a_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left( a_{ n }\cos { nx } +b_{ n }\sin { nx }  \right)  } \Rightarrow b_{ 3 }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) \sin { 3x } dx } \\ =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin { 3x } dx } -\int _{ -\pi  }^{ 0 }{ \sin { 3x } dx }  \right) =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } \cos { 3x }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }-\left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } \cos { 3x }  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ 0 } \right) \\ =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } \cos { 3x }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }-\left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } \cos { 3x }  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ 0 } \right) =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \frac { 2 }{ 3 } -\left( -\frac { 2 }{ 3 }  \right)  \right) =\frac { 4 }{ 3\pi  } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left( A+2B \right) C=\left( \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}=\left( \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20 & 5 \\ 21 & 0 \end{bmatrix}， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right| +0\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right| \\ =\left( 9-6 \right) -2\left( 8 \right) +0-3\left( -12 \right) =3-16+36=23，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} 3x+2y+z=39\cdots (1) \\ 2x+3y+z=34\cdots (2) \\ x+2y+3z=26\cdots (3) \end{cases}\xrightarrow { -3(3)+(1),-2(3)+2 } \begin{cases} -4y-8z=-39\cdots(4) \\ -y-5z=-18\cdots(5) \end{cases}\xrightarrow{-4(5)+(4)}12z=33\\\Rightarrow z=\frac{11}{4}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} a-\lambda  & b \\ 1 & 2-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( \lambda -a \right) \left( \lambda -2 \right) -b=0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }-(a+2)\lambda +2a-b=0\\ \Rightarrow \lambda ^{ 2 }-(a+2)\lambda +2a-b=\left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -3 \right) =\lambda ^{ 2 }-4\lambda +3\Rightarrow \begin{cases} a+2=4 \\ 2a-b=3 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a-b=2-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { \partial  }{ \partial y } \left( ax^{ 2 }y^{ 2 }+4xy^{ 3 }+2x \right) =\frac { \partial  }{ \partial x } \left( 2x^{ 3 }y+bx^{ 2 }y^{ 2 }+3y \right) \Rightarrow 2ax^{ 2 }y+12xy^{ 2 }=6x^{ 2 }y+2bxy^{ 2 }\\ \Rightarrow \begin{cases} 2a=6 \\ 12=2b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=6 \end{cases}\Rightarrow a+b=3+6=9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y'=\left( 2x-2 \right) y\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\left( 2x-2 \right) y\Rightarrow \frac { 1 }{ y } dy=\left( 2x-2 \right) dx\Rightarrow \int { \frac { 1 }{ y } dy } =\int { \left( 2x-2 \right) dx } \\ \Rightarrow \ln { \left| y \right|  } =x^{ 2 }-2x+C\Rightarrow y={ C_{ 1 }e }^{ x^{ 2 }-2x }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y'-3x^{ 2 }+2x+5=0\Rightarrow y'=3x^{ 2 }-2x-5\Rightarrow y=\int { 3x^{ 2 }-2x-5\; dx } =x^{ 3 }-x^{ 2 }-5x+C\\ y(0)=3\Rightarrow C=3\Rightarrow y(1)=1-1-5+C=-5+3=-2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y''-3y'+2y=0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }-3\lambda +2=0\Rightarrow (\lambda -2)(\lambda -1)=0\Rightarrow \lambda =2,1\\ \Rightarrow y=C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ x }\Rightarrow y'=2C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ x }\Rightarrow y''=4C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ x }\\ \begin{cases} y(0)=3 \\ y'(0)=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }+C_{ 2 }=3 \\ 2C_{ 1 }+C_{ 2 }=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }=1 \\ C_{ 2 }=2 \end{cases}\Rightarrow y''(0)=4C_{ 1 }+C_{ 2 }=4+2=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$D\left( x^{ 2 }e^{ -x } \right) =2xe^{ -x }-x^{ 2 }e^{ -x }\Rightarrow D^{ 2 }\left( x^{ 2 }e^{ -x } \right) =D\left( 2xe^{ -x }-x^{ 2 }e^{ -x } \right) =2e^{ -x }-4xe^{ -x }+x^{ 2 }e^{ -x }\\ \Rightarrow \left( 3D^{ 2 }+2 \right) \left( x^{ 2 }e^{ -x } \right) =3D^{ 2 }\left( x^{ 2 }e^{ -x } \right) +2\left( x^{ 2 }e^{ -x } \right) =3\left( 2e^{ -x }-4xe^{ -x }+x^{ 2 }e^{ -x } \right) +2x^{ 2 }e^{ -x }\\ =6e^{ -x }-12xe^{ -x }+3x^{ 2 }e^{ -x }+2x^{ 2 }e^{ -x }=6e^{ -x }-12xe^{ -x }+5x^{ 2 }e^{ -x }=\left( 6-12x+5x^{ 2 } \right) e^{ -x } ，\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：只有(A)都是3次 ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$2\vec { u } -3\vec { v } +\vec { w } =2\left( \vec { i } +2\vec { j } +3\vec { k }  \right) -3\left( -\vec { i } +\vec { j } -2\vec { k }  \right) +\left( 3\vec { i } +2\vec { j } +3\vec { k }  \right) \\ =\left( 2\vec { i } +4\vec { j } +6\vec { k }  \right) +\left( 3\vec { i } -3\vec { j } +6\vec { k }  \right) +\left( 3\vec { i } +2\vec { j } +3\vec { k }  \right) =\left( 8\vec { i } +3\vec { j } +15\vec { k }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} P=\left( a,3,1 \right)  \\ Q=\left( 1,2a,3 \right)  \end{cases}\Rightarrow \vec { PQ } =\left( 1-a,2a-3,2 \right) \Rightarrow \overrightarrow { PQ } \cdot \left( 3,2,0 \right) =\left( 1-a,2a-3,2 \right) \cdot \left( 3,2,0 \right) \\ =3-3a+4a-6=a-3=0\Rightarrow a=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { u } =\left( 3,2,1 \right)  \\ \vec { v } =\left( -4,1,-3 \right)  \end{cases}\Rightarrow \vec { u } \times \vec { v } =\left( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -4 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} \right) =\left( -7,5,11 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { u } =(1,2,1) \\ \vec { v } =(1,-1,-2) \\ \vec { w } =(a,2,3) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \vec { u } \times \vec { v } =(-3,3,-3)=-3(1,-1,1) \\ \vec { v } \times \vec { w } =(1,-2a-3,2+a) \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} -2a-3=-1 \\ 2+a=1 \end{cases}\Rightarrow a=-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解題僅供參考