102年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):工程數學 詳解
解:f(t)=t2+sin2t+cos3t⇒L{f(t)}=L{t2}+L{sin2t}+L{cos3t}=2!s3+2s2+22+ss2+32=2s3+2s2+4+ss2+9,故選:(C)
解:F(s)=2s+1s(s−1)=−1s+3s−1⇒L−1{F(s)}=L−1{−1s}+L−1{3s−1}=−1+3et,故選(C)
解:f(t+2)=f(t)⇒L(f(t))=∫202e−stdt1−e−2s=∫102e−stdt1−e−2s=11−e−2s[2e−st−s]|10=11−e−2s(−2e−ss+2s)=2s⋅1−e−s1−e−2s=2s⋅1−e−s(1−e−s)(1+e−s)=2s⋅11+e−s=2s(1+e−s),故選(D)
解:f(x)g(x)=(cosx+cos2x+cos3x)(sinx+cos2x)=sinxcosx+cosxcos2x+sinxcos2x+cos22x+sinxcos3x+cos2xcos3x=12(sin2x+cos3x+cosx+sin3x−sinx+sin4x−sin2x+cos5x+cosx)+cos22x⇒∫2π0f(x)g(x)dx=∫2π0cos22xdx=12∫2π0(cos4x+1)dx=12∫2π01dx=12×2π=π,故選(A)
解:f(x)為偶函數⇒f(x)=f(−x)⇒{x2,cosx皆為偶函數x,sinx皆為奇函數⇒3x2−cosx為偶函數,故選(D)
解:f(x)=a0+∞∑n=1(ancosnx+bnsinnx)⇒b3=1π∫π−πf(x)sin3xdx=1π(∫π0sin3xdx−∫0−πsin3xdx)=1π([−13cos3x]|π0−[−13cos3x]|0−π)=1π([−13cos3x]|π0−[−13cos3x]|0−π)=1π(23−(−23))=43π,故選(B)
解:(A+2B)C=([1312]+2[213−1])[3011]=([1312]+[426−2])[3011]=[5570][3011]=[205210],故選(A)
解:|1203030220310021|=|302031021|−2|002231021|+0|032201001|−3|030203002|=(9−6)−2(8)+0−3(−12)=3−16+36=23,故選(D)
解:{3x+2y+z=39⋯(1)2x+3y+z=34⋯(2)x+2y+3z=26⋯(3)−3(3)+(1),−2(3)+2→{−4y−8z=−39⋯(4)−y−5z=−18⋯(5)−4(5)+(4)→12z=33⇒z=114,故選(C)
解:|a−λb12−λ|=0⇒(λ−a)(λ−2)−b=0⇒λ2−(a+2)λ+2a−b=0⇒λ2−(a+2)λ+2a−b=(λ−1)(λ−3)=λ2−4λ+3⇒{a+2=42a−b=3⇒{a=2b=1⇒a−b=2−1=1,故選(C)
解:∂∂y(ax2y2+4xy3+2x)=∂∂x(2x3y+bx2y2+3y)⇒2ax2y+12xy2=6x2y+2bxy2⇒{2a=612=2b⇒{a=3b=6⇒a+b=3+6=9,故選(C)
解:y′=(2x−2)y⇒dydx=(2x−2)y⇒1ydy=(2x−2)dx⇒∫1ydy=∫(2x−2)dx⇒ln|y|=x2−2x+C⇒y=C1ex2−2x,故選(C)
解:y″−3y′+2y=0⇒λ2−3λ+2=0⇒(λ−2)(λ−1)=0⇒λ=2,1⇒y=C1e2x+C2ex⇒y′=2C1e2x+C2ex⇒y″=4C1e2x+C2ex{y(0)=3y′(0)=4⇒{C1+C2=32C1+C2=4⇒{C1=1C2=2⇒y″(0)=4C1+C2=4+2=6,故選(D)
解:2→u−3→v+→w=2(→i+2→j+3→k)−3(−→i+→j−2→k)+(3→i+2→j+3→k)=(2→i+4→j+6→k)+(3→i−3→j+6→k)+(3→i+2→j+3→k)=(8→i+3→j+15→k),故選(B)
解:{P=(a,3,1)Q=(1,2a,3)⇒→PQ=(1−a,2a−3,2)⇒→PQ⋅(3,2,0)=(1−a,2a−3,2)⋅(3,2,0)=3−3a+4a−6=a−3=0⇒a=3,故選(D)
解:{→u=(3,2,1)→v=(−4,1,−3)⇒→u×→v=(|211−3|,|13−3−4|,|32−41|)=(−7,5,11),故選(A)
解:{→u=(1,2,1)→v=(1,−1,−2)→w=(a,2,3)⇒{→u×→v=(−3,3,−3)=−3(1,−1,1)→v×→w=(1,−2a−3,2+a)⇒{−2a−3=−12+a=1⇒a=−1,故選(A)
解題僅供參考
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