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2019年2月25日 星期一

94學年四技二專統測(補考)--數學(C)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心


$$2^{2x}-5\cdot 2^x-24=0\Rightarrow (2^x-8)(2^x+3)=0\Rightarrow 2^x=8\Rightarrow x=3,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:\(P(a,b)\)在第二象限\(\Rightarrow \begin{cases}a<0\\b>0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ab<0\\b-a>0\end{cases}\Rightarrow \)點\(Q(ab,b-a)\)也在第二象限,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



:只看常數項,即\(-30=(-2)\times (-5)\times (-a)=-10a\Rightarrow a=3\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




令\(f(x)=x^{50}+x^{30}-a\),由題意知:\(f(1)=0\Rightarrow 1+1-a=0\Rightarrow a=2\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:$$\begin{cases} 2^{ x }=100 \\ 20^{ y }=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { 2^{ x } } =\log { 100 }  \\ \log { 20^{ y } } =\log { 100 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 2 } =2 \\ y\left( 1+\log { 2 }  \right) =2 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ x } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ y } =\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 } -\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

6. 設\(a\)與\(b\)為實數,若\(\frac{2x+5}{(x+2)(+3)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+3}\),則\(a+b=\)?

(A) 2  (B)  3   (C) -2  (D) -3
:$$\frac { 2x+5 }{ (x+2)(+3) } =\frac { a }{ x+2 } +\frac { b }{ x+3 } =\frac { a\left( x+3 \right) +b\left( x+2 \right)  }{ (x+2)(+3) } =\frac { \left( a+b \right) x+\left( 3a+2b \right)  }{ (x+2)(+3) } \\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=2 \\ 3a+2b=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=1+1=2,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

7. 設\(a\)與\(b\)為正實數,若\(\frac{\sqrt{2}}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b+\sqrt{2}a}\),則\( \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\)?
(A) 1  (B) \(\sqrt{2}\)  (C) 2   (D) \(\sqrt{3}\)
:$$\frac { \sqrt { 2 }  }{ b } -\frac { 1 }{ a } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \frac { \sqrt { 2 } a-b }{ ab } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \left( \sqrt { 2 } a+b \right) \left( \sqrt { 2 } a-b \right) =ab\\ \Rightarrow 2a^{ 2 }-b^{ 2 }=ab\Rightarrow 2a^{ 2 }-ab-b^{ 2 }=0\Rightarrow \left( 2a+b \right) \left( a-b \right) =0\Rightarrow a=b\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2,\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:\(x\)日後,存了\(6x\)元,加上原有的5元,共有\(5+6x\)元,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。






菱形ABCD面積為\(16\times 8\div 2=64\) ,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


:$$\log _{ 2 }{ \left( x^{ 2 }-6x+15 \right)  } =1+\log _{ 2 }{ x } =\log _{ 2 }{ \left( 2x \right)  } \Rightarrow x^{ 2 }-6x+15=2x\\ \Rightarrow x^{ 2 }-8x+15=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x-3 \right) =0\Rightarrow x=5,3\Rightarrow 5\times 3=15,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$


:$$4^{ 2x }=\frac { 1 }{ 8^{ y } } \Rightarrow 2^{ 4x }=\frac { 1 }{ 2^{ 3y } } =2^{ { -3y } }\Rightarrow 4x=-3y\Rightarrow 4x+3y=0 ,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



$$a^{ x }=b^{ y }=\left( \frac { a }{ b }  \right) ^{ z }\Rightarrow x\log { a } =y\log { b } =z\left( \log { a } -\log { b }  \right) \Rightarrow \begin{cases} x\log { a } =y\log { b }  \\ x\log { a } =z\left( \log { a } -\log { b }  \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \log { b } =x\log { a } /y \\ \left( x-z \right) \log { a } +z\log { b } =0 \end{cases}\Rightarrow \left( x-z \right) \log { a } +z\frac { x\log { a }  }{ y } =0\Rightarrow \log { a } \left( x-z+\frac { xz }{ y }  \right) =0\\ \Rightarrow x-z+\frac { xz }{ y } =0\Rightarrow xy-yz+xz=0\Rightarrow x\left( y+z \right) =yz\Rightarrow \frac { y+z }{ yz } =\frac { 1 }{ x } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ z } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

13. 設「\(\cdot\)」表四則運算的乘法。若\(25^x+4\cdot 5^{x+1}=125\),則\(x=\)?

(A) -2  (B) -1   (C) 2    (D) 1
:$$25^{ x }+4\cdot 5^{ x+1 }=125\Rightarrow { \left( 5^{ x } \right)  }^{ 2 }+20\cdot 5^{ x }-125=0\Rightarrow \left( 5^{ x }-5 \right) \left( 5^{ x }+25 \right) =0\\ \Rightarrow 5^x=5\Rightarrow x=1,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

14. 某足球隊有13名球員,每次需11人同時上場比賽,若不考慮球員位置,則全部選法共有幾種?

(A) 52  (B) 66  (C) 78  (D) 90
:$$C^{13}_{11}=\frac{13!}{11!2!}=13\times 12\div 2=78,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

15. 將相同的6件物品任意分給甲、乙、丙三人且全部分完,若每人至少應有一件,則有幾種分法?

(A) 10 (B) 21  (C) 27  (D) 28

每人先分到1件物品,剩下3件分給3個人有\(H^3_3=C^5_3=10\)種分法,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



每一個酒杯可能裝4種酒,因此共有\(4\times 4\times 4=64\)種倒法,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



3男有3!排法,3女也有3!排法,第1位是男生或女生有2種情況,因此共有\(3!\times 3!\times 2\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



4人點數皆不同的情況:第1人有6種情況、第2人有5種情況、第3人有4種情況、第4人有3種情況,共有\(6\times 5\times 4\times 3=360\)種情況;
4人點數至少有2人點數相同=所有情況-4人點數皆不同的情況=\(6^4-360=1296-360=936\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



千位數字有1-5,共5種選法,百位數有0-5再扣去千位數字,共有6-1=5種選法,十位數字有6-2=4種選法,個位數有6-3=3種選法,因此共有\(5\times 5\times 4\times 3\)種四位數,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



每封信有9種選擇,共有\(9\times 9\times 9\times\cdots\times 9=9^8\)種投法 ,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

21. 將甲、乙、丙、丁四人排成一列,若甲與乙必須排在一起,試問共有幾種排法?
(A) 6  (B)  12   (C)  24  (D)  36 

先把甲與乙綁在一起(算1人),再與丙、丁共3人排列,共有3!=6種排法;又甲與乙綁在一起可能是甲乙或乙甲,有2種綁法,所以總共有\(6\times 2=12\)種排法,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

22. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子三次,試問至少出現一次1點的機率為何?
(A) 19/54   (B)  11/36  (C)  25/36   (D) 91/216

3次都沒出現1點的機率為\((5/6)^3\),因此至少出現一次1點的機率為\(1-(5/6)^3=91/216\),,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

23. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子一次,若擲出\(x\)點可得\(2x\)元,則其期望值為多少元?

(A)  5  (B) 7  (C)  9  (D)  11

擲出任何點數的機率都是1/6,因此期望值為\((2+4+6+8+10+12)\div 6=7\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

24. 張家有5位兄弟參加抽獎活動,若其抽中機率為10%,則張家恰有2位中獎的機率為何?

(A) 3.59%   (B) 4.00%   (C) 7.29%   (D) 15.4%

5位兄弟其中2人中獎,共有\(C^5_2=10\)種情況,每一種情況的機率皆為\((1/10)^2(9/10)^3=729/100000\),因此機率為\(10\times 729/100000=729/10000=7.29\%\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



抽中任一球的機率皆為\(1/15\),因此期望值為\((1+2+\cdots+15)\div 15=120\div 15=8\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



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