94學年四技二專統測(補考)--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
$$2^{2x}-5\cdot 2^x-24=0\Rightarrow (2^x-8)(2^x+3)=0\Rightarrow 2^x=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：$P(a,b)$在第二象限$\Rightarrow \begin{cases}a<0\\b>0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ab<0\\b-a>0\end{cases}\Rightarrow$點$Q(ab,b-a)$也在第二象限，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：只看常數項，即$-30=(-2)\times (-5)\times (-a)=-10a\Rightarrow a=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
令$f(x)=x^{50}+x^{30}-a$，由題意知:$f(1)=0\Rightarrow 1+1-a=0\Rightarrow a=2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} 2^{ x }=100 \\ 20^{ y }=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { 2^{ x } } =\log { 100 }  \\ \log { 20^{ y } } =\log { 100 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 2 } =2 \\ y\left( 1+\log { 2 }  \right) =2 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ x } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ y } =\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 } -\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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6. 設$a$與$b$為實數，若$\frac{2x+5}{(x+2)(+3)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+3}$，則$a+b=$？

(A) 2  (B)  3   (C) -2  (D) -3

解： $$\frac { 2x+5 }{ (x+2)(+3) } =\frac { a }{ x+2 } +\frac { b }{ x+3 } =\frac { a\left( x+3 \right) +b\left( x+2 \right)  }{ (x+2)(+3) } =\frac { \left( a+b \right) x+\left( 3a+2b \right)  }{ (x+2)(+3) } \\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=2 \\ 3a+2b=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=1+1=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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7. 設$a$與$b$為正實數，若$\frac{\sqrt{2}}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b+\sqrt{2}a}$，則$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=$？

(A) 1  (B) $\sqrt{2}$  (C) 2   (D) $\sqrt{3}$

解： $$\frac { \sqrt { 2 }  }{ b } -\frac { 1 }{ a } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \frac { \sqrt { 2 } a-b }{ ab } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \left( \sqrt { 2 } a+b \right) \left( \sqrt { 2 } a-b \right) =ab\\ \Rightarrow 2a^{ 2 }-b^{ 2 }=ab\Rightarrow 2a^{ 2 }-ab-b^{ 2 }=0\Rightarrow \left( 2a+b \right) \left( a-b \right) =0\Rightarrow a=b\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2，\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：$x$日後，存了$6x$元，加上原有的5元，共有$5+6x$元，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

菱形ABCD面積為$16\times 8\div 2=64$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\log _{ 2 }{ \left( x^{ 2 }-6x+15 \right)  } =1+\log _{ 2 }{ x } =\log _{ 2 }{ \left( 2x \right)  } \Rightarrow x^{ 2 }-6x+15=2x\\ \Rightarrow x^{ 2 }-8x+15=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x-3 \right) =0\Rightarrow x=5,3\Rightarrow 5\times 3=15，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$4^{ 2x }=\frac { 1 }{ 8^{ y } } \Rightarrow 2^{ 4x }=\frac { 1 }{ 2^{ 3y } } =2^{ { -3y } }\Rightarrow 4x=-3y\Rightarrow 4x+3y=0 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$a^{ x }=b^{ y }=\left( \frac { a }{ b }  \right) ^{ z }\Rightarrow x\log { a } =y\log { b } =z\left( \log { a } -\log { b }  \right) \Rightarrow \begin{cases} x\log { a } =y\log { b }  \\ x\log { a } =z\left( \log { a } -\log { b }  \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \log { b } =x\log { a } /y \\ \left( x-z \right) \log { a } +z\log { b } =0 \end{cases}\Rightarrow \left( x-z \right) \log { a } +z\frac { x\log { a }  }{ y } =0\Rightarrow \log { a } \left( x-z+\frac { xz }{ y }  \right) =0\\ \Rightarrow x-z+\frac { xz }{ y } =0\Rightarrow xy-yz+xz=0\Rightarrow x\left( y+z \right) =yz\Rightarrow \frac { y+z }{ yz } =\frac { 1 }{ x } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ z } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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13. 設「$\cdot$」表四則運算的乘法。若$25^x+4\cdot 5^{x+1}=125$，則$x=$？

(A) -2  (B) -1   (C) 2    (D) 1

解： $$25^{ x }+4\cdot 5^{ x+1 }=125\Rightarrow { \left( 5^{ x } \right)  }^{ 2 }+20\cdot 5^{ x }-125=0\Rightarrow \left( 5^{ x }-5 \right) \left( 5^{ x }+25 \right) =0\\ \Rightarrow 5^x=5\Rightarrow x=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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14. 某足球隊有13名球員，每次需11人同時上場比賽，若不考慮球員位置，則全部選法共有幾種？

(A) 52  (B) 66  (C) 78  (D) 90

解： $$C^{13}_{11}=\frac{13!}{11!2!}=13\times 12\div 2=78，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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15. 將相同的6件物品任意分給甲、乙、丙三人且全部分完，若每人至少應有一件，則有幾種分法？

(A) 10 (B) 21  (C) 27  (D) 28

解：
每人先分到1件物品，剩下3件分給3個人有$H^3_3=C^5_3=10$種分法，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
每一個酒杯可能裝4種酒，因此共有$4\times 4\times 4=64$種倒法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
3男有3!排法，3女也有3!排法，第1位是男生或女生有2種情況，因此共有$3!\times 3!\times 2$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
4人點數皆不同的情況:第1人有6種情況、第2人有5種情況、第3人有4種情況、第4人有3種情況，共有$6\times 5\times 4\times 3=360$種情況；
4人點數至少有2人點數相同=所有情況-4人點數皆不同的情況=$6^4-360=1296-360=936$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
千位數字有1-5，共5種選法，百位數有0-5再扣去千位數字，共有6-1=5種選法，十位數字有6-2=4種選法，個位數有6-3=3種選法，因此共有$5\times 5\times 4\times 3$種四位數，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

每封信有9種選擇，共有$9\times 9\times 9\times\cdots\times 9=9^8$種投法 ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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21. 將甲、乙、丙、丁四人排成一列，若甲與乙必須排在一起，試問共有幾種排法？

(A) 6  (B)  12   (C)  24  (D)  36 

解：
先把甲與乙綁在一起(算1人)，再與丙、丁共3人排列，共有3!=6種排法；又甲與乙綁在一起可能是甲乙或乙甲，有2種綁法，所以總共有$6\times 2=12$種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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22. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子三次，試問至少出現一次1點的機率為何？

(A) 19/54   (B)  11/36  (C)  25/36   (D) 91/216

解：

3次都沒出現1點的機率為$(5/6)^3$，因此至少出現一次1點的機率為$1-(5/6)^3=91/216$，，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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23. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子一次，若擲出$x$點可得$2x$元，則其期望值為多少元？

(A)  5  (B) 7  (C)  9  (D)  11

解：
擲出任何點數的機率都是1/6，因此期望值為$(2+4+6+8+10+12)\div 6=7$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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24. 張家有5位兄弟參加抽獎活動，若其抽中機率為10%，則張家恰有2位中獎的機率為何？

(A) 3.59%   (B) 4.00%   (C) 7.29%   (D) 15.4%

解：

5位兄弟其中2人中獎，共有$C^5_2=10$種情況，每一種情況的機率皆為$(1/10)^2(9/10)^3=729/100000$，因此機率為$10\times 729/100000=729/10000=7.29\%$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
抽中任一球的機率皆為$1/15$，因此期望值為$(1+2+\cdots+15)\div 15=120\div 15=8$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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