解：
$$2^{2x}-5\cdot 2^x-24=0\Rightarrow (2^x-8)(2^x+3)=0\Rightarrow 2^x=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：\(P(a,b)\)在第二象限\(\Rightarrow \begin{cases}a<0\\b>0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ab<0\\b-a>0\end{cases}\Rightarrow \)點\(Q(ab,b-a)\)也在第二象限，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：只看常數項，即\(-30=(-2)\times (-5)\times (-a)=-10a\Rightarrow a=3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
令\(f(x)=x^{50}+x^{30}-a\)，由題意知:\(f(1)=0\Rightarrow 1+1-a=0\Rightarrow a=2\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：$$\begin{cases} 2^{ x }=100 \\ 20^{ y }=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { 2^{ x } } =\log { 100 } \\ \log { 20^{ y } } =\log { 100 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 2 } =2 \\ y\left( 1+\log { 2 } \right) =2 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ x } =\frac { \log { 2 } }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ y } =\frac { 1+\log { 2 } }{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { \log { 2 } }{ 2 } -\frac { 1+\log { 2 } }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
6. 設\(a\)與\(b\)為實數，若\(\frac{2x+5}{(x+2)(+3)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+3}\)，則\(a+b=\)？
(A) 2 (B) 3 (C) -2 (D) -3
解：$$\frac { 2x+5 }{ (x+2)(+3) } =\frac { a }{ x+2 } +\frac { b }{ x+3 } =\frac { a\left( x+3 \right) +b\left( x+2 \right) }{ (x+2)(+3) } =\frac { \left( a+b \right) x+\left( 3a+2b \right) }{ (x+2)(+3) } \\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=2 \\ 3a+2b=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=1+1=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$7. 設\(a\)與\(b\)為正實數，若\(\frac{\sqrt{2}}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b+\sqrt{2}a}\)，則\( \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\)？
(A) 1 (B) \(\sqrt{2}\) (C) 2 (D) \(\sqrt{3}\)
解：$$\frac { \sqrt { 2 } }{ b } -\frac { 1 }{ a } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \frac { \sqrt { 2 } a-b }{ ab } =\frac { 1 }{ b+\sqrt { 2 } a } \Rightarrow \left( \sqrt { 2 } a+b \right) \left( \sqrt { 2 } a-b \right) =ab\\ \Rightarrow 2a^{ 2 }-b^{ 2 }=ab\Rightarrow 2a^{ 2 }-ab-b^{ 2 }=0\Rightarrow \left( 2a+b \right) \left( a-b \right) =0\Rightarrow a=b\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2，\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：\(x\)日後，存了\(6x\)元，加上原有的5元，共有\(5+6x\)元，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
菱形ABCD面積為\(16\times 8\div 2=64\) ，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：$$\log _{ 2 }{ \left( x^{ 2 }-6x+15 \right) } =1+\log _{ 2 }{ x } =\log _{ 2 }{ \left( 2x \right) } \Rightarrow x^{ 2 }-6x+15=2x\\ \Rightarrow x^{ 2 }-8x+15=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x-3 \right) =0\Rightarrow x=5,3\Rightarrow 5\times 3=15，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$4^{ 2x }=\frac { 1 }{ 8^{ y } } \Rightarrow 2^{ 4x }=\frac { 1 }{ 2^{ 3y } } =2^{ { -3y } }\Rightarrow 4x=-3y\Rightarrow 4x+3y=0 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：
$$a^{ x }=b^{ y }=\left( \frac { a }{ b } \right) ^{ z }\Rightarrow x\log { a } =y\log { b } =z\left( \log { a } -\log { b } \right) \Rightarrow \begin{cases} x\log { a } =y\log { b } \\ x\log { a } =z\left( \log { a } -\log { b } \right) \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \log { b } =x\log { a } /y \\ \left( x-z \right) \log { a } +z\log { b } =0 \end{cases}\Rightarrow \left( x-z \right) \log { a } +z\frac { x\log { a } }{ y } =0\Rightarrow \log { a } \left( x-z+\frac { xz }{ y } \right) =0\\ \Rightarrow x-z+\frac { xz }{ y } =0\Rightarrow xy-yz+xz=0\Rightarrow x\left( y+z \right) =yz\Rightarrow \frac { y+z }{ yz } =\frac { 1 }{ x } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ z } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
13. 設「\(\cdot\)」表四則運算的乘法。若\(25^x+4\cdot 5^{x+1}=125\)，則\(x=\)？
(A) -2 (B) -1 (C) 2 (D) 1
解：$$25^{ x }+4\cdot 5^{ x+1 }=125\Rightarrow { \left( 5^{ x } \right) }^{ 2 }+20\cdot 5^{ x }-125=0\Rightarrow \left( 5^{ x }-5 \right) \left( 5^{ x }+25 \right) =0\\ \Rightarrow 5^x=5\Rightarrow x=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$14. 某足球隊有13名球員，每次需11人同時上場比賽，若不考慮球員位置，則全部選法共有幾種？
(A) 52 (B) 66 (C) 78 (D) 90
解：$$C^{13}_{11}=\frac{13!}{11!2!}=13\times 12\div 2=78，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$15. 將相同的6件物品任意分給甲、乙、丙三人且全部分完，若每人至少應有一件，則有幾種分法？
(A) 10 (B) 21 (C) 27 (D) 28
解：每人先分到1件物品，剩下3件分給3個人有\(H^3_3=C^5_3=10\)種分法，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
每一個酒杯可能裝4種酒，因此共有\(4\times 4\times 4=64\)種倒法，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
3男有3!排法，3女也有3!排法，第1位是男生或女生有2種情況，因此共有\(3!\times 3!\times 2\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
4人點數皆不同的情況:第1人有6種情況、第2人有5種情況、第3人有4種情況、第4人有3種情況，共有\(6\times 5\times 4\times 3=360\)種情況；
4人點數至少有2人點數相同=所有情況-4人點數皆不同的情況=\(6^4-360=1296-360=936\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
千位數字有1-5，共5種選法，百位數有0-5再扣去千位數字，共有6-1=5種選法，十位數字有6-2=4種選法，個位數有6-3=3種選法，因此共有\(5\times 5\times 4\times 3\)種四位數，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
每封信有9種選擇，共有\(9\times 9\times 9\times\cdots\times 9=9^8\)種投法 ，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
21. 將甲、乙、丙、丁四人排成一列，若甲與乙必須排在一起，試問共有幾種排法？
(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36
解：先把甲與乙綁在一起(算1人)，再與丙、丁共3人排列，共有3!=6種排法；又甲與乙綁在一起可能是甲乙或乙甲，有2種綁法，所以總共有\(6\times 2=12\)種排法，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
22. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子三次，試問至少出現一次1點的機率為何？
(A) 19/54 (B) 11/36 (C) 25/36 (D) 91/216
解：
3次都沒出現1點的機率為\((5/6)^3\)，因此至少出現一次1點的機率為\(1-(5/6)^3=91/216\)，，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
23. 若擲一粒點數為1,2,3,4,5,6的公正骰子一次，若擲出\(x\)點可得\(2x\)元，則其期望值為多少元？
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11
解：擲出任何點數的機率都是1/6，因此期望值為\((2+4+6+8+10+12)\div 6=7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
24. 張家有5位兄弟參加抽獎活動，若其抽中機率為10%，則張家恰有2位中獎的機率為何？
(A) 3.59% (B) 4.00% (C) 7.29% (D) 15.4%
解：
5位兄弟其中2人中獎，共有\(C^5_2=10\)種情況，每一種情況的機率皆為\((1/10)^2(9/10)^3=729/100000\)，因此機率為\(10\times 729/100000=729/10000=7.29\%\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
抽中任一球的機率皆為\(1/15\)，因此期望值為\((1+2+\cdots+15)\div 15=120\div 15=8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
--end--
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