108年普考-統計類-統計學概要-詳解

108年公務人員普通考試

類 科 ：統計
科 目：統計學概要

解：
(一)

這兩群是同一群人，所以是\(\bbox[red,2pt]{相依}\)；

(二)$$令d_i=用藥前GOT值-用藥後GOT值,i=1-8\\ \Rightarrow \begin{cases}d_1=45-30=15\\d_2=60-30=30 \\d_3=120-80=40 \\d_4=200-150=50 \\ d_5=150-120=30 \\ d_6=100-100=0\\ d_7=80-20=60\\ d_8=50-20=30\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\bar{d}={15+30+\cdots+30 \over 8} ={255\over 8}=31.875\\ s_d=\frac{5}{2}\times\sqrt{799\over 14}\approx 18.89\end{cases}\\假設\begin{cases}H_0:u_d\le 0(藥無效)\\H_1:u_d>0 \end{cases}\Rightarrow t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}={31.875 \over 18.89/\sqrt{8}}\approx 4.77\\ 查表t_{df=7,\alpha=0.05}=1.895\Rightarrow t>t_{df=7,\alpha=0.05}\Rightarrow 拒絕H_0\\ \Rightarrow 服新藥半年GOT值\bbox[red,2pt]{有顯著降低}$$

(三)$$已知條件同(二),即
 \begin{cases}\bar{d}=31.875\\ s_d\approx 18.89\end{cases}；現在假設\begin{cases}H_0:u_d-30\le 0\\H_1:u_d-30>0 \end{cases}\\ \Rightarrow t=\frac{\bar{d}-30}{s_d/\sqrt{n}}={31.875-30 \over 18.89/\sqrt{8}}\approx 0.28\\ 查表t_{df=7,\alpha=0.05}=1.895 \Rightarrow t< t_{df=7,\alpha=0.05}\Rightarrow 不能拒絕 H_0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{無法證明}服新藥半年GOT值可下降30$$(四) GOT值呈常態分佈

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解：

(一)$$A品牌使用者下次會再買A品牌的機率為p_A={450\over 500}={9\over 10}\\
B品牌使用者下次會再買B品牌的機率為p_B={300\over 500}={3\over 5}\\
C品牌使用者下次會再買C品牌的機率為p_C={250\over 500}={1\over 2}\\
D品牌使用者下次會再買D品牌的機率為p_D={100\over 500}={1\over 5}\\
E品牌使用者下次會再買E品牌的機率為p_E={50\over 500}={1\over 10}$$(二) $$觀察值o_i=\{450,300,250,100,50\}\Rightarrow \sum{o_i}= 450+300+250+100+50 =1150\\
各品牌抽樣人數相同，所以5個品牌理論值皆相同,同為1150\div 5=230\\
\Rightarrow e_i=\{230,230, 230, 230,230\}；\\由o_i及e_i計算卡方值\chi=\sum{(e_i-o_i)^2\over e_i} ={1\over 230} \left( 220^2+70^2+130^2+180^2 \right) \approx 446\\查表各知\chi_{df=4,\alpha=0.05}^2=9.487728 \Rightarrow \chi^2> \chi_{df=4,\alpha=0.05}^2 \\\Rightarrow 各品牌使用者會再買同品牌的機率\bbox[red,2pt]{不同}$$

(三)$$可採用比例檢定,\begin{cases} H_0:A品牌使用者再購A品牌的機率與E品牌使用者再購E品牌的機率相同\\ H_1:兩者不同\end{cases}\\
基本資料:\begin{cases} n_A=500,p_A=450/500=9/10 \\ n_E=500,p_E=50/500=1/10 \\\alpha=0.05\end{cases}\\ \Rightarrow p_{A\cup E}={450+50 \over 500+500}=1/2 \Rightarrow  z={p_A-p_E \over \sqrt{p_{A\cup E}(1-p_{A\cup E})}\cdot\sqrt{{1\over n_a}+{1\over n_E}} }\\ = {9/10-1/10 \over \sqrt{{1\over 2}{1\over 2}}\cdot \sqrt{{1\over 500}+{1\over 500}}} \approx 25.3\\ 查表z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96 \Rightarrow z>z_{\alpha/2}=z_{0.025} \\\Rightarrow 原品牌使用者下次會再購買相同品牌的機率\bbox[red,2pt]{不相同}$$

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解：
(一)$$將每個細格除以總人數1200,即
\begin{array}{c|c|c|c|c}
X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline
位置1 & 60/1200 & 500/1200 & 40/1200 & 600/1200\\\hline
位置2 & 40/1200& 300/1200 & 60/1200 & 400/1200\\\hline
位置3 & 50/1200 & 100/1200 & 50/1200 & 200/1200\\\hline
人數 & 150/1200& 900/1200 & 150/1200 & 1200/1200\\
\end{array}\\
\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{array}{c|c|c|c|c}
X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline
位置1 & 1/20 & 5/12 & 1/30 & 1/2\\\hline
位置2 & 1/30& 1/4 & 1/20 & 1/3\\\hline
位置3 & 1/24 & 1/12 & 1/24 & 1/6\\\hline
人數 & 1/8  & 3/4 & 1/8 & 1\\
\end{array}}$$(二)$$P(X\le 2)=P(X=1)+P(X=2)=1/2+1/3=5/6 \\\Rightarrow \begin{cases}P(Y=1000萬|X\le 2)=(1/20+1/30)\div 5/6=1/10 \\ P(Y=1500萬|X\le 2)=(5/12+1/4)\div 5/6=4/5 \\ P(Y=2000萬|X\le 2)=(1/30+1/20)\div 5/6=1/10\end{cases} \\\Rightarrow E(Y|X\le 2) = 1000\times P(Y=1000萬|X\le 2)+1500\times P(Y=1500萬|X\le 2)\\+2000\times P(Y=2000萬|X\le 2)\\ =1000\times 1/10+ 1500\times 4/5 +2000\times 1/10= 100+1200+200 = \bbox[red,2pt]{1500萬元}$$(三)$$三組不同售價土地的人數比為150:900:150=1:6:1=\frac{1}{8}:\frac{6}{8}:\frac{1}{8} \Rightarrow 原資料的理論值如下:\\
\begin{array}{c|c|c|c|c}
X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline
位置1 & 600\times\frac{1}{8}=75 & 600\times\frac{6}{8}=450 & 600\times\frac{1}{8}=75 & 600\\\hline
位置2 & 400\times\frac{1}{8}=50 & 400\times\frac{6}{8}=300 & 400\times\frac{1}{8}=50 & 400\\\hline
位置3 & 200\times\frac{1}{8}=25 & 200\times\frac{6}{8}=150 & 200\times\frac{1}{8}=25 & 200\\\hline
人數 & 150& 900 & 150 & 1200\\
\end{array}\\
將觀察值O_{ij}=\left[ \begin{matrix} 60 &500 &40 \\40 & 300 &60\\50&100& 50\end{matrix}\right]與理論值e_{ij}=\left[ \begin{matrix} 75 &450 &75 \\50 & 300 &50\\25&150& 25\end{matrix}\right]\\ 作卡方檢定,可得\chi^2=\sum{(e_{ij}-o_{ij})^2\over e_{ij}} = {(75-60)^2\over 75} +{(450-500)^2\over 450} +{(75-40)^2\over 75} +\\ + {(50-40)^2\over 50} +{(300-300)^2\over 300} +{(50-60)^2\over 50}+{(25-50)^2\over 25}+{(150-100)^2\over 150} +{(24-50)^2\over 25}\\
= {225\over 75} +{2500\over 450} +{1225\over 75} +{100\over 50} +0 +{100\over 50} +{625\over 25} +{2500\over 150} +{625\over 25} =95{5\over 9}\\
自由度df=(3-1)(3-1)=4,\alpha=0.05,查表可得\chi_{df=4,\alpha=0.05}=9.487728\\
由於95{5\over 9}>9.487728,土地位置與售價\bbox[red,2pt]{有}顯著相關$$

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解：
(一)$$\int _{ A }{ f\, dA } =1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ c\left( 3x+2y \right) dx } dy } =1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ c\left( \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+2xy \right)  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }dy } =1\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ c\left( \frac { 3 }{ 2 } +2y \right) \, dy } =1\Rightarrow \left. \left[ c\left( \frac { 3 }{ 2 } y+y^{ 2 } \right)  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=1\Rightarrow c\left( \frac { 3 }{ 2 } +1 \right) =1\Rightarrow \bbox[red,2pt]{c=\frac { 2 }{ 5 } } $$(二)$$P\left( 0\le X\le 0.5,0\le Y\le 0.5 \right) =\int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ f(x,y)dx } dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left( 3x+2y \right) dx } dy } \\ =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+2xy \right]  \right| _{ 0 }^{ 0.5 }dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left( \frac { 3 }{ 8 } +y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ \frac { 3 }{ 8 } y+\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 0.5 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( \frac { 3 }{ 16 } +\frac { 1 }{ 8 }  \right) =\frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 5 }{ 16 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 8 }} $$(三)$$f_{ X }\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x,y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x+2y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ 3xy+y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( 3x+1 \right) \Rightarrow\bbox[red,2pt]{ f_{ X }\left( x \right) =\frac { 2 }{ 5 } \left( 3x+1 \right) ,0\le x\le 1}$$(四)$$期望值EX=\int _{ 0 }^{ 1 }{ xf_{ X }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ x\left( 3x+1 \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x^{ 2 }+x \right) dx } \frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ x^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( 1+\frac { 1 }{ 2 }  \right) = \bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 5 } } \\ EX^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }f_{ X }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }\left( 3x+1 \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x^{ 3 }+x^{ 2 } \right) dx } \frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ \frac { 3 }{ 4 } x^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 }  \right) =\frac { 13 }{ 30 } \\ 變異數Var\left( X \right) =EX^{ 2 }-\left( EX \right) ^{ 2 }=\frac { 13 }{ 30 } -\left( \frac { 3 }{ 5 }  \right) ^{ 2 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 11 }{ 150 } }\\ $$

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考選部未公布答案，解題僅供參考