108年公務人員普通考試
類 科 ：統計
科 目：統計學概要
科 目：統計學概要
(一)
這兩群是同一群人，所以是\bbox[red,2pt]{相依}；
(二)令d_i=用藥前GOT值-用藥後GOT值,i=1-8\\ \Rightarrow \begin{cases}d_1=45-30=15\\d_2=60-30=30 \\d_3=120-80=40 \\d_4=200-150=50 \\ d_5=150-120=30 \\ d_6=100-100=0\\ d_7=80-20=60\\ d_8=50-20=30\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\bar{d}={15+30+\cdots+30 \over 8} ={255\over 8}=31.875\\ s_d=\frac{5}{2}\times\sqrt{799\over 14}\approx 18.89\end{cases}\\假設\begin{cases}H_0:u_d\le 0(藥無效)\\H_1:u_d>0 \end{cases}\Rightarrow t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}={31.875 \over 18.89/\sqrt{8}}\approx 4.77\\ 查表t_{df=7,\alpha=0.05}=1.895\Rightarrow t>t_{df=7,\alpha=0.05}\Rightarrow 拒絕H_0\\ \Rightarrow 服新藥半年GOT值\bbox[red,2pt]{有顯著降低}
解：
(一)將每個細格除以總人數1200,即 \begin{array}{c|c|c|c|c} X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline 位置1 & 60/1200 & 500/1200 & 40/1200 & 600/1200\\\hline 位置2 & 40/1200& 300/1200 & 60/1200 & 400/1200\\\hline 位置3 & 50/1200 & 100/1200 & 50/1200 & 200/1200\\\hline 人數 & 150/1200& 900/1200 & 150/1200 & 1200/1200\\ \end{array}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{array}{c|c|c|c|c} X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline 位置1 & 1/20 & 5/12 & 1/30 & 1/2\\\hline 位置2 & 1/30& 1/4 & 1/20 & 1/3\\\hline 位置3 & 1/24 & 1/12 & 1/24 & 1/6\\\hline 人數 & 1/8 & 3/4 & 1/8 & 1\\ \end{array}}(二)P(X\le 2)=P(X=1)+P(X=2)=1/2+1/3=5/6 \\\Rightarrow \begin{cases}P(Y=1000萬|X\le 2)=(1/20+1/30)\div 5/6=1/10 \\ P(Y=1500萬|X\le 2)=(5/12+1/4)\div 5/6=4/5 \\ P(Y=2000萬|X\le 2)=(1/30+1/20)\div 5/6=1/10\end{cases} \\\Rightarrow E(Y|X\le 2) = 1000\times P(Y=1000萬|X\le 2)+1500\times P(Y=1500萬|X\le 2)\\+2000\times P(Y=2000萬|X\le 2)\\ =1000\times 1/10+ 1500\times 4/5 +2000\times 1/10= 100+1200+200 = \bbox[red,2pt]{1500萬元}(三)三組不同售價土地的人數比為150:900:150=1:6:1=\frac{1}{8}:\frac{6}{8}:\frac{1}{8} \Rightarrow 原資料的理論值如下:\\ \begin{array}{c|c|c|c|c} X-Y & 1000萬元 & 1500萬元 &2000萬元& 人數\\\hline 位置1 & 600\times\frac{1}{8}=75 & 600\times\frac{6}{8}=450 & 600\times\frac{1}{8}=75 & 600\\\hline 位置2 & 400\times\frac{1}{8}=50 & 400\times\frac{6}{8}=300 & 400\times\frac{1}{8}=50 & 400\\\hline 位置3 & 200\times\frac{1}{8}=25 & 200\times\frac{6}{8}=150 & 200\times\frac{1}{8}=25 & 200\\\hline 人數 & 150& 900 & 150 & 1200\\ \end{array}\\ 將觀察值O_{ij}=\left[ \begin{matrix} 60 &500 &40 \\40 & 300 &60\\50&100& 50\end{matrix}\right]與理論值e_{ij}=\left[ \begin{matrix} 75 &450 &75 \\50 & 300 &50\\25&150& 25\end{matrix}\right]\\ 作卡方檢定,可得\chi^2=\sum{(e_{ij}-o_{ij})^2\over e_{ij}} = {(75-60)^2\over 75} +{(450-500)^2\over 450} +{(75-40)^2\over 75} +\\ + {(50-40)^2\over 50} +{(300-300)^2\over 300} +{(50-60)^2\over 50}+{(25-50)^2\over 25}+{(150-100)^2\over 150} +{(24-50)^2\over 25}\\ = {225\over 75} +{2500\over 450} +{1225\over 75} +{100\over 50} +0 +{100\over 50} +{625\over 25} +{2500\over 150} +{625\over 25} =95{5\over 9}\\ 自由度df=(3-1)(3-1)=4,\alpha=0.05,查表可得\chi_{df=4,\alpha=0.05}=9.487728\\ 由於95{5\over 9}>9.487728,土地位置與售價\bbox[red,2pt]{有}顯著相關
解：
(一)\int _{ A }{ f\, dA } =1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ c\left( 3x+2y \right) dx } dy } =1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ c\left( \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+2xy \right) \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }dy } =1\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ c\left( \frac { 3 }{ 2 } +2y \right) \, dy } =1\Rightarrow \left. \left[ c\left( \frac { 3 }{ 2 } y+y^{ 2 } \right) \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }=1\Rightarrow c\left( \frac { 3 }{ 2 } +1 \right) =1\Rightarrow \bbox[red,2pt]{c=\frac { 2 }{ 5 } } (二)P\left( 0\le X\le 0.5,0\le Y\le 0.5 \right) =\int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ f(x,y)dx } dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left( 3x+2y \right) dx } dy } \\ =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+2xy \right] \right| _{ 0 }^{ 0.5 }dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 0.5 }{ \left( \frac { 3 }{ 8 } +y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ \frac { 3 }{ 8 } y+\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 } \right] \right| _{ 0 }^{ 0.5 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( \frac { 3 }{ 16 } +\frac { 1 }{ 8 } \right) =\frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 5 }{ 16 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 8 }} (三)f_{ X }\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x,y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x+2y \right) dy } =\frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ 3xy+y^{ 2 } \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( 3x+1 \right) \Rightarrow\bbox[red,2pt]{ f_{ X }\left( x \right) =\frac { 2 }{ 5 } \left( 3x+1 \right) ,0\le x\le 1}(四)期望值EX=\int _{ 0 }^{ 1 }{ xf_{ X }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ x\left( 3x+1 \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x^{ 2 }+x \right) dx } \frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ x^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( 1+\frac { 1 }{ 2 } \right) = \bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 5 } } \\ EX^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }f_{ X }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }\left( 3x+1 \right) dx } =\frac { 2 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x^{ 3 }+x^{ 2 } \right) dx } \frac { 2 }{ 5 } \left. \left[ \frac { 3 }{ 4 } x^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 } \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 2 }{ 5 } \left( \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \right) =\frac { 13 }{ 30 } \\ 變異數Var\left( X \right) =EX^{ 2 }-\left( EX \right) ^{ 2 }=\frac { 13 }{ 30 } -\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 2 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 11 }{ 150 } }\\
考選部未公布答案，解題僅供參考
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