基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學
108 學年度高級中等學校特色招生考試
數學能力測驗詳解
解:
46≤10a2<47⇒4.6≤a2<4.7⇒√4.6≤a<√4.7⇒10√4.6≤10a<10√4.7⇒√460≤10a<√470又{212=441222=484⇒21≤10a<22,故選(2)。
解:
∠APD=∠BPC⇒b+43=a+b−2⇒a=45在△ABD中:a+c−1+b+43=180⇒b+c=180−43+1−a=93在△BCD中:a+b−2+c+∠PDC=180⇒∠PDC=180−a−(b+c)+2=180−45−93+2=44,故選(2)。
解:
10x2+x−12=(2x+a)(5x+b)+9=10x2+(5a+2b)x+ab+9⇒{5a+2b=1ab+9=−12⇒{a=(1−2b)/5ab=−21⇒b(1−2b)5=−21⇒2b2−b−105=0⇒(b+7)(2b−15)=0⇒{b=15/2(不合,需為整數)b=−7⇒a=3⇒a−b=10,故選(4)。
解:
假設第二次有a人進歩20分⇒有(13−a)人進步15分⇒第二次平均超過56分⇒第二次總分超過40×56=2240⇒40×50−4×5−8×10+6×5+9×10+20a+(13−a)×15>2240⇒2020+20a+15(13−a)>2240⇒5a+195>220⇒a>5⇒a≥6⇒至少有6人進步20分,故選(2)。
解:
68+b+c=180⇒b+c=180−68=112∠C=180−2c且∠B=180−2b⇒∠A=180−∠B−∠C=180−(180−2c)−(180−2b)=2(b+c)−180=2×112−180=44,故選(2)。
解:
△ABD∼△CAE⇒¯AB¯AC=¯BD¯AE=¯AD¯CE⇒64=¯BD3=3¯CE⇒{¯BD=9/2¯CE=2△ABC∼△EAC(符合AAA)⇒¯AC¯BC=¯EC¯AC⇒49/2+¯DE+2=24⇒16=13+2¯DE⇒¯DE=32⇒乙甲+乙+丙=¯DE¯BC=3/29/2+3/2+2=3/16,故選(4)。
解:
{甲→23甲⋯(1)乙→乙+(13甲−15丙)⋯(2)丙→丙+15丙=65丙⋯(3)(1)=(3)⇒23甲=65丙⇒丙=59甲,代入(2)⇒乙+(13甲−15丙)=乙+29甲⋯(4)(1)=(4)⇒23甲=乙+29甲⇒乙=49甲因此乙從49甲變成23甲⇒2349=32,故選(1)。
解:
假設長方體邊長分別為r,s,t,則{rst=ars=122(rs+st+rt)=108⇒{t=a/12rs=12t(r+s)=42⇒{t=a/12rs=12a=42×12/(r+s)⇒rsr+sa11213非整數6286343772347722686311213非整數,故選(1)。
解:男生:a1<a2<⋯<a23⇒{a1=42Q1=a6=51Q2=a12=63Q3=a18=80a23=95女生:43<49<53<60<61<68<70<85<90<98男生+女生:a1=42,{a2⋯a5,43,49},a6=51,{a7⋯a11,53,60,61},a12=63,{a13…a17,68,70},a18=80,{a19⋯a21,85,90},a23,98≡b1<b2<⋯<b33⇒{b1=42Q′1=b9>51Q′2=b17=63Q′3=b25=80b33=98⇒Q′1>Q1,Q′3=Q3,故選(3)。
解:
(1)a的個位數是4,b的千位數是2⇒{a=XXX4b=2XXXa−b個位數是5→{a=XXX4b=2XX9a−b千位數是3→{{a=6XX4b=2XX9{a=5XX4b=2XX9⇒{{a=6294b=2469{a=5294或5924皆不合,故選(1)。
解:
{¯BD=n+2¯AC=m+3⇒¯BD=2¯AC−2⇒n+2=2(m+3)−2⇒n=2m+2又△PAB=△PCD−56=△PAB+△ACD+△ACB−56⇒△ACD+△ACB=56⇒(m+3)(n+2)÷2=56⇒(m+3)(2m+2+2)=112⇒(m+3)(m+2)=56⇒m2+5m−50=0⇒(m−5)(m+10)=0⇒m=5⇒n=2×5+2=12⇒m+n=5+12=17,故選(3)。
解:
紅色直線為對稱軸及各角度代號如上圖
{∠BAD=132∘⇒2b+c=132∘⋯(1)a+c+2b=180∘⋯(2)2a+c+b=180∘⋯(3)(1)代入(2)→a=180−132=48⋯(4)(4)代入(3)→b+c=180−48×2=84⋯(5)(5)代入(1)→b=132−84=48將a=48,b=48代入(2)→c=180−48×3=36在△ADB′⇒∠D+c+∠AB′D=180⇒∠AB′D=180−73−36=71,故選(1)
解:假設湯圓買了a杯,且每杯b元燒仙草的杯數比湯圓了3杯⇒燒仙草買了(a+3)杯燒仙草與湯圓共x杯⇒(a+3)+a=x⇒a=x−32燒仙草每杯比湯圓便宜5元⇒燒仙草每杯賣(b−5)元買燒仙草的錢比買湯圓少y元⇒(a+3)(b−5)=ab−y⇒y=5a−3b+15=5×x−32−3b+15⇒b=5x−156+5−13y⇒3杯燒仙草的錢=3(b−5)=5x−152−y=−152+52x−y,故選(4)。
解:
¯BD為正三角形及正五角形的共同邊,所以¯BD的中垂線會通過A及E兩點,也就是¯AE為正三角形及正五角形的對稱軸,見上圖;因此∠FEG=∠E/2=54∘且∠BAG=∠A/2=30∘;
由於¯BA=¯BC=¯BF⇒¯BA=¯BF,因此假設∠BAF=∠BFA=a;
在△BAF中,∠B+2a=∠ABC+∠CBF+2a=60+108+2a=180⇒a=6;因此∠FAE=30−a=24,又∠P=∠FEA+∠FAE(對同弧的圓周角)=54+24=78,故選(2)。
解:
延長直線¯AD交¯BC於N,並令¯MA=MB=a及¯NB=¯NC=b,見上圖;
{∠ABN=∠ADB=90∘∠BAD=∠BAN⇒△ADB∼△ABN⇒¯AD¯AB=¯AB¯AN=¯BD¯BN⇒¯AD2a=2a√4a2+b2=¯BDb⇒{¯AD=4a2√4a2+b2¯BD=2ab√4a2+b2⇒{AEBD=¯ADׯBD=8a3b4a2+b2△ABC=¯ABׯBC÷2=2ab⇒AEBD△ABC=4a24a2+b2=56⇒4a2=5b2⇒2a=√5b⇒a:b=√5:2,故選(3)。
解:
\overset { { \frown } }{ AB } =\overset { { \frown } }{ BC } =\overset { { \frown } }{ CD } =\overset { { \frown } }{ DA } \Rightarrow \angle DOC=90°\Rightarrow 乙=2\left( \frac { 6^{ 2 }\pi }{ 4 } -6\times 6\div 2 \right) =18\pi -36\\ \Rightarrow 丙=圓-乙\times 2=6^{ 2 }\pi -2\left( 18\pi -36 \right) =\bbox[red,2pt]{72}
解:
f(x)=4(x-5)^2+300 \Rightarrow 頂點A(5,300) \Rightarrow 對稱直線x=5 \\ \Rightarrow 滿足f(a)=f(b) 的對數有\\\begin{cases}a=b&0\le a,b\le 10, 共11組\\a+b=10&共10組 \end{cases} \Rightarrow 共有11+10=\bbox[red,2pt]{21}組
解:
\begin{cases} a+b+c+d+e+g+h+i+1=a+b+d+e+f+h+i+j+3 \\ c+d+e+g+h+i+k+l+6=d+e+f+h+i+j+k+l+x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c+g+1=f+j+3 \\ c+g+6=f+j+x \end{cases}\\ \Rightarrow 5=x-3\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{8}
解:
延直線\overline{BD}交\overline{AD}於G,並令\overline{AE}=\overline{EF}=a,如上圖;\triangle BCF=ABCD\times \frac{2}{5}\Rightarrow 20\times h_2\div 2= 20\times 20\times\frac{2}{5} \Rightarrow h_2=16\Rightarrow h_1=20-h_2=4\\ \overline{AD}//\overline{BC} \Rightarrow \triangle FEG\sim\triangle FCB\Rightarrow h_1:h_2= \overline{EF}:\overline{FC} \Rightarrow 4:16= a:\overline{FC}\Rightarrow \overline{FC}=4a\\ 直角\triangle EDC \Rightarrow {\overline{EC}}^2 ={\overline{ED}}^2+{\overline{DC}}^2 \Rightarrow (5a)^2=(20-a)^2+20^2 \Rightarrow 3a^2+5a-100=0 \\\Rightarrow (a-5)(3a+20)=0 \Rightarrow a=5(a需為正數)\Rightarrow \overline{CF}=4a=\bbox[red,2pt]{20}
解:
1、2、3、10;1、2、4、9;1、2、5、8;1、2、6、7;
1、3、5、7;1、3、4、8;
1、4、5、8;2、3、4、7;2、3、5、6;
共有\bbox[red,2pt]{9}種不同的拆法。
解:
由上圖可知紅色共轉了\bbox[red,2pt]{7}個彎
解:
\begin{array}{c|c}洗牌次數&號碼牌\\\hline &1234567\\\hline1&4567123 \\ \hline 2&7123456\\\hline 3&3456712\\\hline 4&6712345\\\hline 5&2345\bbox[red,2pt]{6}71\\\hline 6&5671234\\\hline 7&1234567\end{array}由上表可知:經過7次洗牌後回到初始狀態;由於705=7\times 100+5,因此洗牌705次相當於洗牌5次,其結果為2345671,從上而下的第5張牌為\bbox[red,2pt]{6}
解:
\begin{cases}a=1\\b=x\end{cases} \xrightarrow{a<3} \begin{cases}P=a+1=2\\Q=\frac{b+2}{b}=\frac{x+2}{x}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=P=2\\b=Q=\frac{x+2}{x}\end{cases} \xrightarrow{a<3} \begin{cases}P=a+1=3\\Q=\frac{b+2}{b}=\frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}\end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases}a=P=3\\b=Q=\frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}\end{cases}\xrightarrow {a\nless 3}輸出b=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{3x+2}{x+2}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{6}
解:
A→?→(B→C):A→(B→C)、A→E→(B→C)、A→D→E→(B→C)、A→D→E→A→(B→C),有四種;
A→?→(D→C):與A→?→(B→C)對稱,也有四種;
A→?→(E→C):A→(E→C)、A→D→(E→C)、A→B→(E→C)、A→D→E→A→B→(E→C)、 A→B→E→A→D→(E→C),有五種;
共有4+4+5=\bbox[red,2pt]{13}種路線
解:
甲跑2圈的時間等於乙跑完7圈,甲速:乙速=2:7;
甲跑2圈被丙追過3次,丙跑的距離至少是甲跑的距離加上3圈操場,即丙至少跑了3+2=5圈操場;因此甲速:丙速=2:5,也就是甲速:乙速:丙速=2:7:5;
乙與丙逆向,當乙遇到丙代表兩人跑的距離和剛好是操場一圈的距離;甲跑2圈時,乙跑了7圈、丙跑了至少5圈,所以乙跑的距離+丙跑的距離 \ge 5+7=12 \Rightarrow n=\bbox[red,2pt]{12}
- END -
111年國中教育會考數學參考試題
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答案
https://cap.nace.edu.tw/2022/111年教育會考參考試題本答案一覽表.pdf
出處
https://cap.nace.edu.tw/PressRelease10808.html
謝謝提供訊息....... !!
刪除感謝版主提供詳細的過程,但第I題,用樹狀圖畫出13種 5+3+5=13
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A=>B=>E=>D=>C A=>E=>D=>C A=>D=>E=>B=>C
A=>B=>E=>A=>D=>C A=>D=>E=>A=>B=>C
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謝謝指正,已修訂答案!原師大附中也修改答案!!
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