(一)2500×P(X>360)=47⇒P(X>360)=472500⇒P(X−μσ>360−μσ)=472500⇒P(Z>360−256σ)=P(Z>104σ)=0.0188查表可得P(Z<−2.08)=0.0188⇒P(Z>2.08)=0.0188⇒104σ=2.08⇒σ=1042.08=50
(二)P(X≥a)=1772500⇒P(Z≥a−μσ)=0.0708⇒P(Z≥a−25650)=0.0708查表可得P(Z<−1.47)=0.0708⇒P(Z>1.47)=0.0708⇒a−25650=1.47⇒a=50×1.47+256=329.5
(三)P(X≥327)=P(Z≥327−μσ)=P(Z≥327−25650)=P(Z≥1.42)查表可得P(Z<−1.42)=0.0778⇒P(Z≥1.42)=0.0778⇒2500×0.0778=194.5⇒177<194.5<(177+25)⇒備取
解:
解:
(一){X1∼N(μ1,σ21=1)X2∼N(μ2,σ22=4)⇒¯X1−¯X2∼N(μ1−μ2,1n1+4n2)⇒P(−z0.05/2≤(¯X1−¯X2)−(μ1−μ2)√1n1+4n2≤z0.05/2)=0.95⇒P(−z0.025⋅√1n1+4n2≤(¯X1−¯X2)−(μ1−μ2)≤z0.025⋅√1n1+4n2)=0.95⇒P((¯X1−¯X2)−z0.025⋅√1n1+4n2≤μ1−μ2≤(¯X1−¯X2)+z0.025⋅√1n1+4n2)=0.95⇒μ1−μ2的95%信賴區間為((¯X1−¯X2)−z0.025⋅√1n1+4n2,(¯X1−¯X2)+z0.025⋅√1n1+4n2)=(¯X1−¯X2)±1.96⋅√1n1+4n2)(二)信賴區間最短⇒1n1+4n2最小,且滿足n1+n2=100利用 Lagrange Multiplier 求解, 即令{f(n1,n2)=1n1+4n2g(n1,n2)=n1+n2−100⇒{∂f∂n1=λ∂g∂n1∂f∂n2=λ∂g∂n2g=0⇒{−1n21=λ−4n22=λn1+n2=100⇒{4n21=n22⇒n2=2n1n1+n2=100⇒n1+2n1=100⇒{n1=100/3n2=200/3取整數→{n1=33n2=67
解:
(一)E(X)=∫xf(x)dx=∫θ2θ1xθ2−θ1dx=[x22(θ2−θ1)]|θ2θ1=θ22−θ212(θ2−θ1)=12(θ1+θ2)E(X2)=∫x2f(x)dx=∫θ2θ1x2θ2−θ1dx=[x33(θ2−θ1)]|θ2θ1=θ32−θ313(θ2−θ1)=13(θ21+θ1θ2+θ22)⇒Var(X)=E(X2)−(E(X))2=13(θ21+θ1θ2+θ22)−(12(θ1+θ2))2=112θ21−16θ1θ2+112θ22=112(θ2−θ1)2⇒{E(X)=12(θ1+θ2)V(X)=112(θ2−θ1)2(二){E(X)=12(θ1+θ2)=X1+X2+⋯+Xnn=∑Xi/n=ˉX⋯(1)E(X2)=13(θ21+θ1θ2+θ22)=X21+X22+⋯+X2nn=∑X2i/n⋯(2)式(1)⇒θ1=2ˉX−θ2代入式(2)⇒(2ˉX−θ2)2+(2ˉX−θ2)θ2+θ22=3n∑X2i⇒4ˉX2−2ˉXθ2+θ22=3n∑X2i⇒ˉX2−2ˉXθ2+θ22=3n∑X2i−3ˉX2⇒(θ2−ˉX)2=3n∑X2i−3ˉX2=3n(∑X2i−nˉX2)=3n∑(Xi−ˉX)2=3(n−1)n⋅∑(Xi−ˉX)2n−1=3(n−1)n⋅s2X⇒θ2=ˉX+3(n−1)n⋅s2X同理,式(1)⇒θ2=2ˉX−θ1代入式(2)⇒θ1=ˉX−3(n−1)n⋅s2X因此θ1的估計值^θ1及θ2的估計值^θ2為{^θ1=ˉX−3(n−1)n⋅s2X^θ2=ˉX+3(n−1)n⋅s2X,其中s2X=∑(Xi−ˉX)2n−1(三)L(X1,X2,…,Xn∣θ1,θ2)=1(θ2−θ1)nL要最大化⇒θ2−θ1要最小化且滿足Xi∈[θ1,θ2],for i=1−n⇒{^θ1=min{X1,X2,…,Xn}^θ2=max{X1,X2,…,Xn}
解:\bar{x} =(1.9+2.4+4.2+3.5+3.0)\div 5= 15\div 5=3\\ s^2=((1.9-3)^2+((2.4-3)^2+(4.2-3)^2 +(3.5-3)^2+(3-3)^2)\div (5-1)\\ = 3.26\div 4=0.815 \\ {(n-1)s^2\over \sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2 \Rightarrow P\left(\chi_{0.975}^2(n-1) \le {(n-1)s^2\over \sigma^2}\le \chi_{0.025}^2(n-1)\right)=0.95 \\ \Rightarrow P\left(\chi_{0.975}^2(4) \le {4s^2\over \sigma^2}\le \chi_{0.025}^2(4)\right)=0.95 \Rightarrow P\left({4s^2\over \chi_{0.025}^2(4)} \le \sigma^2\le {4s^2 \over \chi_{0.975}^2(4)}\right)=0.95 \\ \sigma 的95\%信賴區間為\left(\sqrt{4s^2\over \chi_{0.025}^2(4)}, \sqrt{4s^2 \over \chi_{0.975}^2(4)}\right) =\left(\sqrt{4\times 0.815\over 11.14}, \sqrt{4\times 0.815 \over 0.48}\right)=(0.54,2.61) \\\begin{cases} H_0:\sigma=1 \\ H_1:\sigma\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \sigma=1 落在\sigma 的95\%信賴區間內\Rightarrow 不能拒絕 H_0 \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{相信}該公司的宣稱
解:
考選部未公布答案,解題僅供參考
沒有留言:
張貼留言