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2019年8月10日 星期六

107年高考三級-經建-統計學-詳解


107年公務人員高等考試三級考試
類 科 :經建行政、工業行政、農業行政、交通技術
科 目:統計學


(一)2500×P(X>360)=47P(X>360)=472500P(Xμσ>360μσ)=472500P(Z>360256σ)=P(Z>104σ)=0.0188P(Z<2.08)=0.0188P(Z>2.08)=0.0188104σ=2.08σ=1042.08=50

(二)P(Xa)=1772500P(Zaμσ)=0.0708P(Za25650)=0.0708P(Z<1.47)=0.0708P(Z>1.47)=0.0708a25650=1.47a=50×1.47+256=329.5
(三)P(X327)=P(Z327μσ)=P(Z32725650)=P(Z1.42)P(Z<1.42)=0.0778P(Z1.42)=0.07782500×0.0778=194.5177<194.5<(177+25)




(一)fY(y)=f(x,y)dx=06(x+y+1)4dx=2(y+1)3fX|Y(xy)=f(x,y)fY(y)=6(x+y+1)42(y+1)3=3(y+1)3(x+y+1)4fX|Y(xy)={3(y+1)3(x+y+1)4,0<x,0<y0,(二)P(0X1Y=1)=10fX|Y(xy=1)dx=103(1+1)3(x+1+1)4dx=24101(x+2)4dx=24[13(x+2)3]|10=24(181124)=1927




(一){X1N(μ1,σ21=1)X2N(μ2,σ22=4)¯X1¯X2N(μ1μ2,1n1+4n2)P(z0.05/2(¯X1¯X2)(μ1μ2)1n1+4n2z0.05/2)=0.95P(z0.0251n1+4n2(¯X1¯X2)(μ1μ2)z0.0251n1+4n2)=0.95P((¯X1¯X2)z0.0251n1+4n2μ1μ2(¯X1¯X2)+z0.0251n1+4n2)=0.95μ1μ295%((¯X1¯X2)z0.0251n1+4n2,(¯X1¯X2)+z0.0251n1+4n2)=(¯X1¯X2)±1.961n1+4n2)(二)1n1+4n2滿n1+n2=100利用 Lagrange Multiplier 求解, 即令{f(n1,n2)=1n1+4n2g(n1,n2)=n1+n2100{fn1=λgn1fn2=λgn2g=0{1n21=λ4n22=λn1+n2=100{4n21=n22n2=2n1n1+n2=100n1+2n1=100{n1=100/3n2=200/3{n1=33n2=67



(一)E(X)=xf(x)dx=θ2θ1xθ2θ1dx=[x22(θ2θ1)]|θ2θ1=θ22θ212(θ2θ1)=12(θ1+θ2)E(X2)=x2f(x)dx=θ2θ1x2θ2θ1dx=[x33(θ2θ1)]|θ2θ1=θ32θ313(θ2θ1)=13(θ21+θ1θ2+θ22)Var(X)=E(X2)(E(X))2=13(θ21+θ1θ2+θ22)(12(θ1+θ2))2=112θ2116θ1θ2+112θ22=112(θ2θ1)2{E(X)=12(θ1+θ2)V(X)=112(θ2θ1)2(二){E(X)=12(θ1+θ2)=X1+X2++Xnn=Xi/n=ˉX(1)E(X2)=13(θ21+θ1θ2+θ22)=X21+X22++X2nn=X2i/n(2)(1)θ1=2ˉXθ2(2)(2ˉXθ2)2+(2ˉXθ2)θ2+θ22=3nX2i4ˉX22ˉXθ2+θ22=3nX2iˉX22ˉXθ2+θ22=3nX2i3ˉX2(θ2ˉX)2=3nX2i3ˉX2=3n(X2inˉX2)=3n(XiˉX)2=3(n1)n(XiˉX)2n1=3(n1)ns2Xθ2=ˉX+3(n1)ns2X,(1)θ2=2ˉXθ1(2)θ1=ˉX3(n1)ns2Xθ1^θ1θ2^θ2{^θ1=ˉX3(n1)ns2X^θ2=ˉX+3(n1)ns2X,s2X=(XiˉX)2n1(三)L(X1,X2,,Xnθ1,θ2)=1(θ2θ1)nLθ2θ1滿Xi[θ1,θ2],for i=1n{^θ1=min{X1,X2,,Xn}^θ2=max{X1,X2,,Xn}


解:\bar{x} =(1.9+2.4+4.2+3.5+3.0)\div 5= 15\div 5=3\\ s^2=((1.9-3)^2+((2.4-3)^2+(4.2-3)^2 +(3.5-3)^2+(3-3)^2)\div (5-1)\\ = 3.26\div 4=0.815 \\ {(n-1)s^2\over \sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2 \Rightarrow P\left(\chi_{0.975}^2(n-1) \le {(n-1)s^2\over \sigma^2}\le \chi_{0.025}^2(n-1)\right)=0.95 \\ \Rightarrow  P\left(\chi_{0.975}^2(4) \le {4s^2\over \sigma^2}\le \chi_{0.025}^2(4)\right)=0.95  \Rightarrow  P\left({4s^2\over \chi_{0.025}^2(4)} \le \sigma^2\le {4s^2 \over \chi_{0.975}^2(4)}\right)=0.95 \\ \sigma 的95\%信賴區間為\left(\sqrt{4s^2\over \chi_{0.025}^2(4)}, \sqrt{4s^2 \over \chi_{0.975}^2(4)}\right) =\left(\sqrt{4\times 0.815\over 11.14}, \sqrt{4\times 0.815 \over 0.48}\right)=(0.54,2.61) \\\begin{cases} H_0:\sigma=1  \\ H_1:\sigma\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \sigma=1 落在\sigma 的95\%信賴區間內\Rightarrow 不能拒絕 H_0 \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{相信}該公司的宣稱



解:
(一)可使用\bbox[red, 2pt]{卡方檢定}(二)每一個號碼出現次數的理論值為{1\over 10}\times 4\times 30=12\\ \Rightarrow \begin{array}{c|ccccccccc} 數字& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\\hline 觀察值o_i&11 &12 &10 &9 & 9 & 10 &15 & 14 & 17 &13\\\hline 理論值e_i&12 &12 &12 &12 &12 &12 &12 &12 &12 &12 \end{array} \\ \Rightarrow \chi^2=(1^2+0^2+2^2+3^2+3^2+2^2 +3^2+2^2+5^2+1^2)\div 12=5.5\\ \begin{cases} H_0:資料服從均勻分配\\H_1: 資料不服從均勻分配\end{cases} \\\Rightarrow 拒絕區域R=\{\chi^2 \mid \chi^2>\chi_{0.05}^2(9)= 16.92(查表)\} \Rightarrow 5.5 \notin R \\\Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow 各數字被搖出的\bbox[red, 2pt]{機率相等}


考選部未公布答案,解題僅供參考

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