108年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):工程數學 詳解
解:{→i=<1,0,0>→j=<0,1,0>→k=<0,0,1>⇒{→u=→i−4→j+3→k=<1,−4,3>→v=2→i−3→k=<2,0,−3>⇒2→u−→v=<2,−8,6>−<2,0,−3>=<0,−8,9>⇒(2→u−→v)⋅→u=<0,−8,9>⋅<1,−4,3>=0+32+27=59,故選:(C)
解:cosθ=→a⋅→b|→a||→b|=<2,3,−1>⋅<3,−1,2>√22+32+12√32+12+22=6−3−2√14√14=114,故選(A)
解:
(→a×→b)⋅→c=<3,−1,2>×<1,−1,2>⋅<2,1,3>=<0,−4,−2>⋅<2,1,3>=−4−6=−10,故選(C)
解:A=[010001100]⇒A2=[010001100][010001100]=[001100010],故選(A)
解:{A=[123231]B=[123]⇒{dim(A)=2×3dim(B)=3×1(A)×:{dim(AB)=2×1dim(B)=3×1⇒AB不能與B相加(B)×:{dim(AT)=3×2dim(B)=3×1⇒AT不能與B相乘(C)×:{dim(AAT)=2×2dim(BTB)=1×1⇒AAT不能與BTB相乘(D)◯:{dim(ATA)=3×3dim(BBT)=3×3⇒dim(ATA)=dim(BBT)⇒兩者可相加,故選(D)
解:rank(A)<3⇒det(A)=0⇒|t1−1−1t11−1t|=0⇒t3−1+1+t+t+t=0⇒t3+3t=0⇒t(t2+3)=0⇒t=0,故選(B)
解:|123231312|=6+6+6−27−8−1=−18,故選(A)
解:{x+2y−z=−32x+y+2z=93x+3y+z=t⇒[12−1−32129331t]−2r1+r2,−3r1+r3→[12−1−30−34150−349+t]⇒9+t=15⇒t=6,故選(B)
解:det(A)=t(t2−2t)−(t−2)=(t2−1)(t−2)≠0⇒t≠±1,t≠2⇒t=0,故選(B)
解:A恰有一特徵值⇒det(A−λI)=0有重根⇒|1−λbc3−λ|=0有重根⇒λ2−4λ+3−bc=0有重根⇒判別式=0⇒16−4(3−bc)=0⇒bc=−1,故選(D)
解:(y2+y2019)dx+(x2+x108)dy=0⇒1x2+x108dx=−1y2+y2019dy⇒可分離,故選(A)
解:(A)×:{∂∂y(2xy−tan−1y)=2x−11+y2∂∂x(x2+2019x)=2x+2019⇒兩者不相等(B)◯:{∂∂y(2xy−tan−1x)=2x∂∂x(x2+2019y)=2x⇒兩者相等(C)×:{∂∂y(2xy−cot−1x)=2x∂∂x(y2+2019y)=0⇒兩者不相等(D)×:{∂∂y(2xy−cot−1y)=2x+11+y2∂∂x(y2+2019x)=2019⇒兩者不相等,故選(B)
解:令{M(x,y)=20yN(x,y)=−19x⇒20ydx−19xdy=0≡Mdx+Ndy=0(A)×:{∂∂y(20x+17y)M=∂∂y(400xy+340y2)=400x+680y∂∂x(20x+17y)N=∂∂x(−380x2−323xy)=−760x−323y⇒兩者不相等(B)×:{∂∂y(x20+y17)M=∂∂y(20x20y+20y18)=20x20+360y17∂∂x(x20+y17)N=∂∂x(−19x21−19xy17)=−399x20−19y17⇒兩者不相等(C)◯:{∂∂y(−y18x21M)=∂∂y(−20y19x21)=−380y20x21∂∂x(−y18x21N)=∂∂x(19y18x20)=−380y18x21⇒兩者相等(D)×:{∂∂y(xyM)=∂∂y(20xy2)=40xy∂∂x(xyN)=∂∂x(−19x2y)=−38xy⇒兩者不相等,故選(C)
解:
y=emx適用於常係數微分方程,故選(D)
y=xm適用於柯西−歐拉方程式,即n階導函數的係數為anxn(an為常數),故選(A)
解:y=(Ax2+Bx)cos(5x)+(Cx2+Dx)sin(5x)⇒y′=(2Ax+B)cos(5x)−5(Ax2+Bx)sin(5x)+(2Cx+D)sin(5x)+5(Cx2+Dx)cos(5x)=(5Cx2+(5D+2A)x+B)cos(5x)+(−5Ax2+(−5B+2C)x+D)sin(5x)⇒y″
解:反拉普拉斯轉換為線性轉換\Rightarrow L^{-1}(F+G)= L^{-1}(F)+L^{-1}(G) \Rightarrow (A)與(B)錯誤\\ 又L\{e^{at}f(t)\}= \int e^{at}f(t)e^{-st}\;dt = \int f(t)e^{-(s-a)t}\;dt =F(s-a)\\ \Rightarrow L^{-1}(F(s-a))=e^{at}L^{-1}(F(s)),故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解:L(e^{2019t}\cos t\sin t) =L\left({1\over 2}e^{2019t}\sin (2t)\right) ={1\over 2}L(e^{2019t}\sin (2t)) = {1\over 2}\cdot {2 \over (s-2019)^2+2^2}\\ ={1 \over (s-2019)^2+4},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解:該傅立葉級數無項次\sin{2k\pi x\over P}\Rightarrow f(x)為偶函數,即f(-x)=f(x),僅有(A)符合此條件\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解:(A)及(C)的週期均為3,不符條件;又a_0={1\over 2}\int_{-1}^1f(x)\;dx ={1\over 2}\int_{2018}^{2020}f(x)\;dx ={1\over 2}\times 2=1\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解題僅供參考
老師好 第13題(B)的解 是否有誤? -323y^17這裡
回覆刪除謝謝,已修訂
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