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2019年11月12日 星期二

108年專科學力鑑定考試--工程數學-詳解


108年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):工程數學 詳解

{i=<1,0,0>j=<0,1,0>k=<0,0,1>{u=i4j+3k=<1,4,3>v=2i3k=<2,0,3>2uv=<2,8,6><2,0,3>=<0,8,9>(2uv)u=<0,8,9><1,4,3>=0+32+27=59(C)


cosθ=ab|a||b|=<2,3,1><3,1,2>22+32+1232+12+22=6321414=114(A)



(a×b)c=<3,1,2>×<1,1,2><2,1,3>=<0,4,2><2,1,3>=46=10(C)


A=[010001100]A2=[010001100][010001100]=[001100010](A)



{A=[123231]B=[123]{dim(A)=2×3dim(B)=3×1(A)×:{dim(AB)=2×1dim(B)=3×1ABB(B)×:{dim(AT)=3×2dim(B)=3×1ATB(C)×:{dim(AAT)=2×2dim(BTB)=1×1AATBTB(D):{dim(ATA)=3×3dim(BBT)=3×3dim(ATA)=dim(BBT)(D)



rank(A)<3det(A)=0|t111t111t|=0t31+1+t+t+t=0t3+3t=0t(t2+3)=0t=0(B)


|123231312|=6+6+62781=18(A)


{x+2yz=32x+y+2z=93x+3y+z=t[12132129331t]2r1+r2,3r1+r3[1213034150349+t]9+t=15t=6(B)


det(A)=t(t22t)(t2)=(t21)(t2)0t±1,t2t=0(B)


Adet(AλI)=0|1λbc3λ|=0λ24λ+3bc=0=0164(3bc)=0bc=1(D)


(y2+y2019)dx+(x2+x108)dy=01x2+x108dx=1y2+y2019dy(A)


(A)×:{y(2xytan1y)=2x11+y2x(x2+2019x)=2x+2019(B):{y(2xytan1x)=2xx(x2+2019y)=2x(C)×:{y(2xycot1x)=2xx(y2+2019y)=0(D)×:{y(2xycot1y)=2x+11+y2x(y2+2019x)=2019(B)



{M(x,y)=20yN(x,y)=19x20ydx19xdy=0Mdx+Ndy=0(A)×:{y(20x+17y)M=y(400xy+340y2)=400x+680yx(20x+17y)N=x(380x2323xy)=760x323y(B)×:{y(x20+y17)M=y(20x20y+20y18)=20x20+360y17x(x20+y17)N=x(19x2119xy17)=399x2019y17(C):{y(y18x21M)=y(20y19x21)=380y20x21x(y18x21N)=x(19y18x20)=380y18x21(D)×:{y(xyM)=y(20xy2)=40xyx(xyN)=x(19x2y)=38xy(C)



y=emx(D)



y=xm西nanxn(an)(A)



y=(Ax2+Bx)cos(5x)+(Cx2+Dx)sin(5x)y=(2Ax+B)cos(5x)5(Ax2+Bx)sin(5x)+(2Cx+D)sin(5x)+5(Cx2+Dx)cos(5x)=(5Cx2+(5D+2A)x+B)cos(5x)+(5Ax2+(5B+2C)x+D)sin(5x)y


反拉普拉斯轉換為線性轉換\Rightarrow L^{-1}(F+G)= L^{-1}(F)+L^{-1}(G) \Rightarrow (A)與(B)錯誤\\ 又L\{e^{at}f(t)\}= \int e^{at}f(t)e^{-st}\;dt = \int f(t)e^{-(s-a)t}\;dt =F(s-a)\\ \Rightarrow L^{-1}(F(s-a))=e^{at}L^{-1}(F(s)),故選\bbox[red,2pt]{(C)}


L(e^{2019t}\cos t\sin t) =L\left({1\over 2}e^{2019t}\sin (2t)\right) ={1\over 2}L(e^{2019t}\sin (2t)) = {1\over 2}\cdot {2 \over (s-2019)^2+2^2}\\ ={1 \over (s-2019)^2+4},故選\bbox[red,2pt]{(D)}




該傅立葉級數無項次\sin{2k\pi x\over P}\Rightarrow f(x)為偶函數,即f(-x)=f(x),僅有(A)符合此條件\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}


(A)及(C)的週期均為3,不符條件;又a_0={1\over 2}\int_{-1}^1f(x)\;dx ={1\over 2}\int_{2018}^{2020}f(x)\;dx ={1\over 2}\times 2=1\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}

解題僅供參考

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