108年特種考試地方政府公務人員考試
等別：五等考試
類科 ：統計
科目：統計學大意
類科 ：統計
科目：統計學大意
1.某工廠向兩個供應商訂購零件，已知有 65%的零件是向甲供應商購買，35%的零件是向乙供應商購買。假設甲供應商提供正常零件的機率為 0.98，乙供應商提供的零件為故障的機率為 0.05。根據貝氏定理，若該工廠廠長隨機取出一零件發現是故障的，請問該故障的零件是來自於乙供應商的機率為何？
(A) 0.3162 (B) 0.4262 (C) 0.5738 (D) 0.6483
$${乙故障零件 \over 甲故障零件+乙故障零件}={0.35\times 0.05 \over 0.65\times 0.02+0.35\times 0.05} ={35\over 61}=0.57377，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
(A)介於 30 片到 70 片之間的機率剛好是 87.5% (B)介於 35 片到 65 片之間的機率最多為 90%
(C)介於 40 片到 60 片之間的機率最少為 75% (D)介於 45 片到 55 片之間的機率最多為 95%
解：
$$由柴比雪夫定理:P\left( |X-\mu|<k\sigma\right)\ge 1-\frac{1}{k^2} 所求之機率為「至少」，只有(C)符合條件；\\ 還是算算看: P(40\le X\le 60) = P(|X-50| \le 10) = P(|X-\mu| \le 2\sigma) \ge 1-{1\over 2^2}= 0.75\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
(A)性別 (B)身分證字號 (C)出生年月日 (D)薪資收入
解：$$只有薪資數字可以用來計算比例，故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$
(A)平均值與四分位數 (B)眾數與中位數 (C)相關係數與標準差 (D)全距與變異數
解：眾數與中位數與「位置」有關，與大小無關；故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A)當型 I 誤差增加時，型 II 誤差也會增加 (B)型 I 誤差跟型 II 誤差之和為 1
(C)型 I 誤差與型 II 誤差並不會相互影響 (D)統計檢定力（power）跟型 II 誤差成反比關係
解：誤差越大，統計檢定力越小，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) 1.75 萬元 (B) 3.5 萬元 (C) 7 萬元 (D) 14 萬元
解：$$95\%在2個標準差的範圍內 \Rightarrow P(57\le X\le 71)=P(|X-64|\le 7)=0.95 \Rightarrow 7=2\sigma \\\Rightarrow \sigma={7\over 2}=3.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
7. 某科技公司研究員研究生產產品原料包數需求量，令隨機變數 X 為生產時可以投入之原料包數，其機率質量函數 p(x)與函數(x +1)/(4 − x)，x=1, 2, 3 呈現常數倍數關係，請問生產時投入不超過 2 包原料的機率為何？
(A) 13/37 (B) 9/37 (C) 6/37 (D) 4/37
解：$$p(x)=k{x+1\over 4-x},x=1,2,3 \Rightarrow \sum_{x=1}^{3}{p(x)}=1 \Rightarrow k\left( {2 \over 3} + {3\over 2} +{4\over 1} \right)=1 \Rightarrow {37\over 6}k=1 \Rightarrow k={6\over 37}\\ 不超過2包的機率= \sum_{x=1}^{2}{p(x)}= k\left( {2 \over 3} + {3\over 2} \right)= {6\over 37}\times {13\over 6}={13\over 37}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
(A) 0.1115 (B) 0.2230 (C) 0.3345 (D) 0.4460
解：$$X\sim B(n,p) \Rightarrow \begin{cases}np = 6\\ np(1-p)=2.4\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n = 10\\ p=0.6\end{cases} \Rightarrow P(X=4)={10\choose 4}0.6^4\cdot 0.4^6 =0.111476\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
(A)變長 (B)變短 (C)不變 (D)可能變長、變短或是不變
解：$$信賴區間與標準差呈正比，因此變異數減小則信賴區間變短，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$
(A)最大值、變異數、偏度 (B)眾數、標準差、峰度
(C)平均數、中位數、變異數 (D)變異數、偏度、峰度
解：
$$最大值、眾數及中位數皆與位置相關，無法由動差估計，只能選(D)；\\ 由動差定義，峰態(四階動差)、偏態(三階動差)及變異數(二階動差)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A)估計量 S(X)對 θ 的偏誤（bias）指的是此估計量的期望值與估計母體參數 θ 的真值之差
(B)估計量 S(X)對 θ 具有一致性指的是當樣本數增加到無限大時，該估計量收斂到母體參數 θ 的真值的機率為 1
(C)估計量 S(X)對 θ 具有最小充分統計量之性質，指的是若 T(X)對 θ 之充分統計量，則 S(X)<T(X)
(D)估計量 S(X)比估計量 T(X)對 θ 具有較高的有效性，指的是 S(X)比 T(X)具有較小的標準誤
解：$$最小充分統計量指的是所需資料量的最小化，並非計算出來的統計值，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
H0: μ≤3,000 vs. Ha: μ>3,000，請問此假設檢定的型 I 誤差該如何解釋？
(A)實際平均總花費超過 3,000 元，但檢定結果卻給出沒超過 3,000 之結論
(B)實際平均總花費超過 3,000 元，且檢定結果卻給出超過 3,000 之結論
(C)實際平均總花費沒超過 3,000 元，但檢定結果卻給出超過 3,000 之結論
(D)實際平均總花費沒超過 3,000 元，且檢定結果卻給出沒超過 3,000 之結論
解：$$型 I 誤差: H_0正確，但推論錯誤，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
(A)該檢定的統計量為 2.89
(B)此檢定所使用之自由度為 25 與 26
(C)該檢定使用卡方分布
(D)拒絕虛無假設之意思為車齡高之汽車保養費用較車齡低之汽車少
解：$$檢定統計量F=S_1^2/S_2^2=17000^2/10000^2=2.89，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 攝氏50度 &攝氏60度 &攝氏70度 \\\hline
34 & 30 & 23 \\\hline
24 & 31 & 28 \\\hline
26 & 34 & 28 \\\hline
29 & 23 & 30 \\\hline
32 & 27 & 31 \\\hline
\end{array}$$若已知處理（treatment）平方和 SSTR=70，誤差（Error）平方和 SSE=236，下列何者正確？
(A) MSTR=25, MSE=19.67，F=1.27 (B) MSTR=35, MSE=19.67，F=1.78
(C) MSTR=22.67, MSE=12.3，F=1.84 (D) MSTR=38.19, MSE=19.67，F=1.93
(A)(3, 6) (B)(3, 10) (C)(2, 6) (D)(2, 10)
解：$$\begin{cases}k=3\\ m=6\end{cases} \Rightarrow F_{k-1,(m-1)(k-1)} =F_{2,10}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A)-0.9501 (B)-0.9027 (C) 0.9027 (D) 0.9501
解：$$r^2={SSR \over SST} ={SST-SSE \over SST} ={15730-1530 \over 15730}={14200 \over 15730} \Rightarrow r=\pm \sqrt{1420\over 1573} =\pm 0.9501\\ 迴歸直線斜率為-4.23<0 \Rightarrow r<0\Rightarrow r=-0.9501，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
迴歸方程式Yˆ = 20.0 + 7.21X
變異數分析表
$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \text{來源(source)} &自由度(DF) &方差(SS) \\\hline
\text{迴歸(Regression)} & 1 & 41587.3 \\\hline
\text{殘差 (Residual Error)}& 7 & \\\hline
\text{總和(Total)} & & 51984.1 \\\hline
\end{array}$$
下列敘述何者正確？
(A)收集到的資料來自於 8 種零食，且增加 1 單位廣告次數，銷售量會增加 7.21 單位
(B)迴歸方程式之截距為 20.0，而變異數分析表裡誤差平方和（sum of squares due to error）為 11386.8
(C)迴歸均方（mean square regression）為 41587.3，且 F 統計量為 26
(D)變異數分析表裡的總和(Total)的自由度為 8，而誤差均方（mean square error）為 1485.3
解：
$$(A)\times: 總和自由度為7+1=8 \Rightarrow 有8+1=9種零食\\
(B)\times: SSE = SST-SSR = 51984.1-41587.3=10496.8\\
(C)\times: F=MSSR/MSSE = (41587.3/1) / (10396.8/7)= 41587.3/1485.3 = 28\\
(D)\bigcirc: 總和自由度為7+1=8,誤差均方=10396.8/7 =1485.257\\
，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A) \(E[y_i]=\mu\) (B)\(Var(y_i)=\sigma^2\)
(C) 共變數\(Cov[y_i,y_j]=2\sigma^2\) (D) \(\bar y=\cfrac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}\)是\(\mu\)的最小平方估計量
解：$$\text{Cov}(y_i,y_j)= \text{Cov}(y_i,y_i)+\text{Cov}_{i\ne j}(y_i,y_j) =Var(y_i)+0=\sigma^2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$(C) 共變數\(Cov[y_i,y_j]=2\sigma^2\) (D) \(\bar y=\cfrac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}\)是\(\mu\)的最小平方估計量
$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline &只有一次婚姻 &有超過一次婚姻 &總和 \\\hline
\text{完成高等教育} & 550 & &611\\\hline
\text{未完成高等教育}& &144 &825\\\hline
\text{總和} & &205 &\\\hline\end{array}$$下列敘述何者正確？
解：$$將資料表格完成，如下\\\begin{array}{|l|c|c|}\hline &只有一次婚姻 &有超過一次婚姻 &總和 \\\hline\text{完成高等教育} & 550 & &611\\\hline
\text{未完成高等教育}& &144 &825\\\hline
\text{總和} & &205 &\\\hline\end{array}$$下列敘述何者正確？
(A)只有一次婚姻的人數為 1231 人 (B)使用獨立性檢定下，其自由度為 2
(C)只有一次婚姻的人數占總人數的 82% (D)未完成高等教育且只有一次婚姻的人數為 581 人
\text{完成高等教育} & 550 &\color{red}{611-550=61} &611\\\hline
\text{未完成高等教育}& \color{red}{825-144=681} &144 &825\\\hline
\text{總和} &\color{red}{550+681= 1231} &205 & \color{red}{611+825=1436}\\\hline\end{array}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$卡方檢定統計量=\sum {(觀察值-期望值)^2 \over 期望值}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：
$$f(x_i)=\theta e^{-\theta x_i} \Rightarrow L(\theta)=\Pi_{i=1}^nf(x_i) = \theta^n e^{-\theta\sum_{i=1}^n x_i} \Rightarrow \ln L(\theta) =n\ln \theta-\theta \sum_{i=1}^nx_i\\ \Rightarrow {\partial\over \partial\theta}\ln L(\theta)={n\over \theta}-\sum_{i=1}^n x_i =0 \Rightarrow \hat \theta = \cfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
(A)卡方分布 (B)均勻分布 (C)指數分布 (D)常態分布
解：$$依中央極限定理，故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$(A)P(A∩B) = 0 (B) P(A)+P(B)=1
(C) P(A B) = P(B) (D)P(A∪B) = P(A)+ P(B)− P(A)*P(B)
解：$$ A、B 兩事件為獨立 \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B) \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$
(A)比率尺度 (B)區間尺度 (C)名目尺度 (D)順序尺度
解：
$$1至5有大小順序意義，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A) 78.8；5 (B) 78.8；9 (C) 46.8；5 (D) 46.8；9
解：$$Y={9\over 5}X+32 \Rightarrow \begin{cases}E(Y)=E({{9\over 5}X+32})= {9\over 5}E(X)+32= {9\over 5}\times 26+32 = 78.8 \\ \sigma(Y) =\sigma({9\over 5}X+32)={9\over 5}\sigma(X) ={9\over 5}\times 5=9\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
(A)是在說明普查的結果 (B)是在說明一個隨機變數的機率分配
(C)是一種統計推論 (D)是一種敘述統計
解：
學校的說法來自400個樣本，並推論至全校學生，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) 1,760 至 1,956 KWH (B) 1,776 至 1,940 KWH
(C) 1,847 至 1,869 KWH (D) 1,863 至 1,853 KWH
解：$$P\left(\left|{\bar X-\mu \over \sigma/\sqrt n} \right|\le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha \Rightarrow \mu\in [\bar X\pm z_{\alpha/2}\times {\sigma\over \sqrt n}] =[1858\pm 1.96\times {450\over \sqrt 9}] =[1858\pm 98]\\ =[1760, 1956]，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：
$$p:未接種疫苗兩天內痊癒比率，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：
$$令f(x_1,x_2)=30+0.7x_1+3x_2\\
(A)\bigcirc: 女性收入f(x_1,1)-男性收入f(x_1,0)=3\to 3000元\\
(B)\bigcirc: f(24,1)=30+0.7\times 24+3=49.8\to 49800元\\
(C)\bigcirc: 複判定係數R^2=1-{SSE\over SST} =1-{384\over 1200}=1-0.32=0.68\\
(D)\times: F= MSR/MSE = (SSR/(p-1))/(SSE/(n-p)) ={(1200-384)(30-3) \over 384(3-1)}= 28.6875\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：
$$偏好咖啡人數\times {成年人數 \over 總人數} =250\times {600\over 600+400}=250\times {6\over 10}=150， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
(A) 62.5，有證據顯示青少年與成人對飲料有不同偏好
(B) 8.4，無證據顯示青少年與成人對飲料有不同偏好
(C) 8.4，無證據顯示青少年與成人對飲料有相同偏好
(D) 62.5，有證據顯示青少年與成人對飲料有相同偏好
解：$$期望值表格如下:\\ \begin{array}{}
&青少年 &成年\\\hline
咖啡& 250\times{4\over 10}=100& 250-100=150\\
茶& 250\times{4\over 10}=100& 250-100=150\\
冷飲& 400\times{4\over 10}=160& 400-160=240\\
其他& 100\times{4\over 10}=40& 100-40=60\\\hline
\end{array}\\由觀察值o_{ij}及期望值e_{ij},i=1,2;j=1-4;計算統計量\chi^2=\sum_{j=1}^4\sum_{i=1}^2{(o_{ij}-e_{ij})^2 \over e_{ij}}\\ ={(50-100)^2\over 100} +{(200-150)^2\over 150} +{(100-100)^2\over 100} +{(150-150)^2\over 150} +\\{(200-160)^2\over 160} +{(200-240)^2\over 240} +{(50-40)^2\over 40} +{(50-60)^2\over 60} \\= 25+{50\over 3} +0+0+10 +{20\over 3}+ {5\over 2}+{5\over 3}=62.5>\chi^2(v=7,\alpha=0.05)=14.067 \\\Rightarrow 達顯著差異，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$\hat x_{2019}=202+1.1x_{2018} -0.48x_{2017}+0.17x_{2016} = 202+1.1\times 951 -0.48\times 923+0.17\times 867\\=952.45 \Rightarrow x_{2020}=202+1.1x_{2019} -0.48x_{2018}+0.17x_{2017} \\= 202+1.1\times 952.45 -0.48\times 951+0.17\times 923=950.125，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$\begin{array}{c|ccc|ccc}
&2016&2017&2018&季總和&季平均&季節指數\\\hline
第1季&170&180&190&540&180&0.9\\
第2季&111&96&120&327&109&0.545\\
第3季&270&280&290&840&280&1.4\\
第4季&250&220&223&693&231&1.155\\\hline
合計& & & &2400
\end{array}\\
三年之總季平均為2400/(3\times 4)=200 \Rightarrow 季節指數={季平均 \over 總季平均}\\ \Rightarrow \begin{cases}第1季之季節指數 =180/200=0.9\\ 第2季之季節指數 =109/ 200=0.545 \\ 第3季之季節指數 =280/200=1.4 \\ 第4季之季節指數 =231/200=1.155\end{cases} ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$p=1/2 \Rightarrow P(X\le 3)={10\choose 0}(1-p)^{10}+ {10\choose 1}p(1-p)^{9}+ {10\choose 2}p^2(1-p)^{8}+ {10\choose 3}p^3(1-p)^{7}\\ =0.172，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$p=1/4 \Rightarrow P(X\le 3)={10\choose 0}(1-p)^{10}+ {10\choose 1}p(1-p)^{9}+ {10\choose 2}p^2(1-p)^{8}+ {10\choose 3}p^3(1-p)^{7}\\ =0.776，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解：$$檢定統計量\chi^2={(n-1)S^2 \over \sigma_0^2} ={(26-1)0.06^2 \over 0.003}=30\\查表\chi^2_{0.05}(25)=37.652 \Rightarrow \chi^2<\chi^2_{0.05}(25) \Rightarrow 不能拒絕H_0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$ \begin{cases}Var(\hat \theta_1) = Var(0.1X_1+0.4X_2 +0.4X_3+0.1X_4) =(0.1^2+0.4^2+0.4^2+ 0.1^2)\sigma^2 =0.34\sigma^2\\ Var(\hat \theta_2) = Var(0.2X_1+0.3X_2 +0.3X_3+0.2X_4) =(0.2^2+0.3^2+0.3^2+ 0.2^2)\sigma^2 =0.26\sigma^2\end{cases} \\ \Rightarrow Var(\hat \theta_1) >Var(\hat \theta_2) ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
(A)必須假設母體為常態分配 (B)必須使用 t 分配
(C)必須使用樣本標準差估計母體標準差σ (D)樣本必須為常態分配
解：$$ 由中央極限定理可知: 無需假設樣本為常態，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A) 0.1991 (B) 0.4232 (C) 0.6472 (D) 0.8153
解：$$E(X)=\mu=np=60\times 0.05=3 \Rightarrow 查表P(X\le 4)=0.8153，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A) 0.918 (B) 0.697 (C) 0.616 (D) 0.524
解：$$p_0=0.15 \Rightarrow \sigma= \sqrt{p_0(1-p_0) \over n} =\sqrt{0.15\times 0.85 \over 150} =0.029 \\\Rightarrow P(|\bar p-p_0|\le 0.03)=P\left(\left|{\bar p-p_0 \over \sigma} \right| \le {0.03 \over 0.029} \right)=P(|Z|\le 1.029) \approx 2z_{1.03}-1=2\times 0.8485-1 \\ =0.697，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
請問 顯著水準α+檢定力(1-β)會等於1嗎
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