95年大學指考數學甲詳解

95學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題
一、單選題

解：

$$x^2+x+1 = (x+{1\over 2})^2+{3\over 4} > 0 \Rightarrow (x^2+x+1)^3 +1 > 0 \Rightarrow (x^2+x+1)^3 +1 = 0 無實數解 \\，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

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解：

$$\log_3 10 = {1\over \log 3} \Rightarrow x=\log_3 10 \Rightarrow y=2+x-x^2 = 2+\log_3 10-(\log_3 10)^2 =2 + {1\over \log 3}- {1 \over (\log 3)^2} \\ = \cfrac{2(\log 3)^2 +\log 3-1}{(\log 3)^2} = \cfrac{(2\log 3+1)(\log 3-1)}{(\log 3)^2} < 0 (\because \log 3<1) \Rightarrow P在第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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解：

$$\cases{\overline{AB}= \sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=5 \\ \triangle PAB面積=10 \\ \triangle PAB周長=15} \Rightarrow \cases{{1\over 2}\times \overline{AB}\times h=10\\ \overline{PA}+\overline{PB}=15-\overline{AB}} \Rightarrow \cases{h=4 \Rightarrow 兩直線 \\ \overline{PA}+ \overline{PB}= 10 \Rightarrow 橢圓} \\ \Rightarrow 橢圓與兩直線的交點為四個點，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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二、多選題

解：$$\cases{a_n= C^4_n({1\over 2})^4 \\ b_n= C^8_n({1\over 2})^8}\\ (1) \times: a_2=C^4_2\times {1\over 16}= {6\over 16} ={3\over 8} \ne {1\over 2} \\(2) \times: \cases{a_2=3/8 \\ b_4= C^8_4 \times {1 \over 256} = {70\over 256} ={35\over 128}} \Rightarrow a_2\ne b_4 \\(3) \bigcirc: \cases{b_2=C^8_2\times {1\over 256} \\ b_6=C^8_6\times {1\over 256}} \Rightarrow b_2=b_6 (\because C^8_2 =C^8_6) \\(4) \bigcirc: \cases{a_3 = C^4_3/16 = 1/4 \\ b_3 = C^8_3 / 256 = 56/256={56/64 \over 4}} \Rightarrow a_3>b_4 \\(5) \bigcirc: C^8_4=70 >(C^8_3=C^8_5=56) > (C^8_2=C^8_6=28) > (C^8_1=C^8_7=8) > (C^8_8=C^8_0=1)\\，故選\bbox[red,2pt]{(3,4,5)}$$

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解：$$(1) \times: 縮放\\ (2) \bigcirc: 上下顛倒，相當於旋轉180度 \\ (3) \bigcirc: 兩圖形對稱於直線x=y，相當於以原點為固定旋轉 \\(4) \bigcirc: y=x^2+4x+3 \Rightarrow y+1=(x+2)^2，相當於\Gamma 頂點(0,0)平移至(-2,-1) \\ (5)\times: \cases{y\to x+y \\ x\to x-y}此轉換非平移及旋轉可達成\\故選\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$$

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解：
$$(1) \times: \lim_{k\to \infty}\cfrac{f(k)}{f(k+100)} = \lim_{k\to \infty}\cfrac{k^5}{(k+100)^5} =1 \\ (2)\bigcirc: \lim_{k \to 1}\cfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) =5 +8 -3-10 =0 \\ (3) \times: f'(x)=5x^4 +8x^3-3x^2-10x = x(5x^3+8x^2-3x-10) =x(x-1)(5x^2+13x+10)\\ \qquad \Rightarrow f''(x)= 20x^3+24x^2-6x-10 \Rightarrow \cases{f''(0)= -10<0 \\ f''(1) = 28>0 } \Rightarrow \cases{f(0)為極大值\\ f(1)為極小值} \\ \qquad \Rightarrow 當x\in[0,1],f為遞減 \Rightarrow 當x\in [{1\over 2},1], f為遞減 \\(4) \bigcirc: \cases{f(0)=3為極大值\\ f(1)為極小值} \Rightarrow \begin{cases}f遞減& x\in [0,1] \\f遞增 & x\in [1,\infty] \end{cases} \Rightarrow f(x)\ge 0, x\in[0,\infty)\\ (5)\bigcirc: \cases{f(0)=3為極大值\\ f(1)為極小值} \Rightarrow \begin{cases} f遞增& x\in(-\infty, 0] \\f遞減& x\in [0,1] \\f遞增 & x\in [1,\infty] \end{cases} \Rightarrow f(x)=3有兩個交點(一個在x=0,另一個在x>1)\\故選\bbox[red,2pt]{(2,4,5)}$$

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三、選填題

解：$$令|\vec u|=2|\vec v|= |2\vec u+3\vec v|= a \Rightarrow |\vec v|={1\over 2}a \Rightarrow (2\vec u+3\vec v) \cdot (2\vec u+3\vec v) = |(2\vec u+3\vec v)|^2 \\ \Rightarrow 4|\vec u|^2 + 12(\vec u\cdot \vec v)+ 9|\vec v|^2 = a^2 \Rightarrow 4a^2+ 12(\vec u\cdot \vec v)+ {9\over 4}a^2 = a^2 \Rightarrow \vec u\cdot \vec v= -{7\over 16}a^2 \\ \Rightarrow \cos \theta = \cfrac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u||\vec v|} = \cfrac{-7a^2/16}{a^2/2} = \bbox[red, 2pt]{-\cfrac{7}{8}}$$

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解：

$$\cases{圓心C(2,3,0) \\圓半徑r=\sqrt {13}} \Rightarrow \cases{球心B(2,3,t) \\ 球半徑R \\ 球上一點A(6,6,6)} \Rightarrow R =\overline{AB} = \overline{BD} \Rightarrow \overline{AB}^2 = \overline{BD}^2 = \overline{BC}^2 + r^2 \\ \Rightarrow (6-2)^2+(6-3)^2 +(6-t)^2 =t^2 + (\sqrt{13})^2 \Rightarrow t^2-12t+61 = t^2+13 \Rightarrow 12t=48 \Rightarrow t=4 \\ \Rightarrow R=\sqrt{t^2+13} = \bbox[red,2pt]{\sqrt{29}}$$

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解：

$$\cases{A\pmatrix{7\\ 3}= \pmatrix{2\\ 1} \\ A\pmatrix{9\\ 4}= \pmatrix{1\\ 5}} \Rightarrow A\pmatrix{7& 9 \\ 3 & 4}= \pmatrix{2 & 1\\ 1 & 5} \Rightarrow A= \pmatrix{2 & 1\\ 1 & 5} \pmatrix{7& 9 \\ 3 & 4}^{-1} \\ \det \pmatrix{7& 9 \\ 3 & 4}=28-27=1 \Rightarrow \pmatrix{7& 9 \\ 3 & 4}^{-1} =\pmatrix{4 & -9 \\ -3 & 7} \Rightarrow  A= \pmatrix{2 & 1\\ 1 & 5}\pmatrix{4 & -9 \\ -3 & 7} \\ \Rightarrow \pmatrix{2 & 1\\ 1 & 5}\pmatrix{4 & -9 \\ -3 & 7} = \pmatrix{2 & 1\\ 1 & 5}\pmatrix{a & c \\ b & d} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=4\\ b=-3 \\c=-9 \\d=7 }}$$

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解：

$$偶數=\cases{偶數+偶數\\ 奇數+奇數} \Rightarrow P(n+1) = {4\over 9}P(n)+ {5\over 9}(1-P(n)) = {5\over 9}-{1\over 9}P(n) \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases {r=5/9\\ s=-1/9}}$$

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解：

$$\cases{O(0,0) \\A(4,3) \\ B(x,0)} \Rightarrow \cases{\overline{OA}=\sqrt{4^2+3^2}=5 \\ \overline{OB}=x\\ \overline{AB} =\ell(x)} \Rightarrow 正弦定理:\cfrac{x}{\sin \angle A} = \cfrac{\ell(x)}{ \sin \angle O =3/5} \\\Rightarrow \cfrac{x}{\ell(x)} = \cfrac{5}{3}\sin \angle A  \Rightarrow \cfrac{x}{\ell(x)}最大值為\bbox[red, 2pt]{\cfrac{5}{3}}$$

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第貳部份：非選擇題

一 . (1) (3 分 ) 將 48510 分 解 成 質 因 數 的 乘 積 。

       (2) (7 分 ) 寫 出 在 1 和 250 之 間 且 與 48510 互 質 的 所 有 合 數 (合 數 就 是 比 1 大而 不 是 質 數 的 整 數 )。

解：

$$(1) 經由因數分解(如上圖)，\bbox[red, 2pt]{4851= 2\times 3^2 \times 5\times 7^2\times 11 }\\ (2) 令S=\{2,3,5,7,11\}，則小於250又不在S中的質數集合R=\{13, 17, 19, 23, 29, 31...\};\\ 此題相當於在R中任挑2數(可重複)相乘小於250的數字有多少個？由於13\times 23=299 > 250，\\ 所以此可簡化成在T=\{13,17,19\} 任挑2數(可重複)的乘積小於250有哪些？\\\ 13\times 13=169, 13 \times 17= 221, 13 \times 19=247 \Rightarrow 符合條件的合數為 \bbox[red, 2pt]{169, 221及247}$$

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二、 傳 說 中 孫 悟 空 的 「 如 意 金 箍 棒 」 是 由 「 定 海 神 針 」 變 形 得 來 的 。 這 定 海 神 針在 變 形 時 永 遠 保 持 為 圓 柱 體，其 底 圓 半 徑 原 為 12 公 分 且 以 每 秒 1 公 分 的 等 速率 縮 短，而 長 度 以 每 秒 20 公 分 的 等 速 率 增 長。已 知 神 針 之 底 圓 半 徑 只 能 從 12公 分 縮 到 4 公 分 為 止 ， 且 知 在 這 段 變 形 過 程 中 ， 當 底 圓 半 徑 為 10 公 分 時 其 體積 最 大 。

(1) (2 分 ) 試 問 神 針 在 變 形 開 始 幾 秒 時 其 體 積 最 大 ？

(2) (6 分 ) 試 求 定 海 神 針 原 來 的 長 度 。

(3) (5 分 ) 假 設 孫 悟 空 將 神 針 體 積 最 小 時 定 形 成 金 箍 棒， 試 求 金 箍 棒 的 長 度 。

解：

$$ 假設神針原始尺寸為\cases{底圓半徑r_0=12 \\ 長度h_0},經過k秒後變為\cases{r=12-k,0\le k\le 8 \\ h=h_0+20k};\\
(1) 當底圓半徑為10公分時體積最大,即r=12-k=10 \Rightarrow r=2,也就是開始\bbox[red, 2pt]{2}秒後；\\(2)圓柱體體積V(k)=r^2h\pi = (12-k)^2(h_0+20k)\pi \Rightarrow V'(k)=-2(12-k)(h_0+20k)\pi +20(12-k)^2\pi \\由題意知 V(2)有極大值 \Rightarrow V'(2)=0 \Rightarrow -20\times (h_0+40)+2000=0 \Rightarrow h_0=60 \Rightarrow 原長度為\bbox[red, 2pt]{60公分}\\ (3)V'(k)=-2(12-k)(h_0+20k)\pi +20(12-k)^2\pi = 60\pi(k-12)(k-2) \Rightarrow \cases{V(2)為極大值\\ V(12)為極小值} \\ \Rightarrow V(8)為最小值, k\in [0,8],此時長度 h=h_0+20k=60+20\times 8= \bbox[red, 2pt]{220}公分$$

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-- END   (僅供參考)  --