109學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(S)補考詳解
解:¯AB=√32+(5−a)2=5⇒a2−10a+9=0⇒(a−1)(a−9)=0⇒a=1或9,故選(A)
解:該直線方程式為y−2=2(x+1),即2x−y+4=0⇒與坐標軸交於(−2,0)及(0,4)⇒△面積=2×4÷2=4,故選(C)。
解:|2−3x|<6⇒|3x−2|<6⇒−6<3x−2<6⇒−4<3x<8⇒−43<x<83⇒x=−1,0,1,2,共四個整數解,故選(C)。
解:假設計程車行駛a公里⇒85+5×a−1.50.25=155⇒a=(155−85)÷20+1.5=5,故選(C)。
解:
利用正弦定理:¯BCsin∠A=¯ACsin∠B⇒¯BC1/3=61/4⇒¯BC=8,故選(A)。
解:{(A)log1214=log214log212=−2−1=2(B)log121=0(C)log122=log22log212=1−1=−1(D)log124=log24log212=2−1=−2⇒(A)最大,故選(A)。
解:
利用長除法(見上圖)可得商式為4x2+x+1,故選(A)。
解:
三直線{y=2x+2y=−3x+7y=0的交點為{A(1,4)B(−1,0)C(7/3,0)⇒△ABC面積=12ׯBC×dist(A,¯BC)=12×103×4=203,故選(B)。
解:asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R⇒{a=2Rsin∠Ab=2Rsin∠Bc=2Rsin∠C⇒1asin∠A+1bsin∠B+1csin∠C=1⇒sin∠A2Rsin∠A+sin∠B2Rsin∠B+sin∠C2Rsin∠C=32R=1⇒R=3/2,故選(B)。
解:
{→a=(3,2)→b=(−2,1)⇒{→a+→b=(1,3)→a+α→b=(3−2α,2+α)⇒(→a+→b)⋅(→a+α→b)=0⇒3−2α+6+3α=0⇒α=−9,故選(D)。
解:
令¯AB=a⇒¯AC=√3a⇒¯AD=√32a⇒¯BD=√a2+3a2/4=√72a⇒sin∠ABD=(√3a/2)/(√7a/2)=√3√7,故選(D)。
解:
令圓心A,半徑r,見上圖,則直角△AED⇒r2=(r−36)2+722⇒r=90,故選(D)
解:
圓C:x2+y2=4⇒{圓心O(0,0)半徑r=2⇒dist(O,L)=5√32+42=1<r⇒L與C交二點,即D與E(見上圖);令與直線L平行的兩直線L′與L″
解:a_k= C^n_k \Rightarrow {a_4\over a_{n-2}} =6 \Rightarrow {C^n_4 \over C^n_{n-2}}= 6 \Rightarrow {2!\times n(n-1)(n-2)(n-3) \over 4!\times n(n-1)} ={(n-2)(n-3) \over 12}=6\\ \Rightarrow n^2-5n-66=0 \Rightarrow (n-11)(n+6)=0 \Rightarrow n=11,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
解:三個3、兩個6與一個9的排列數為\cfrac{6!}{3!2!}=60,因此機率為1/60,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
解:每人成績加5分,中位數也增加5,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
圓心O(1,1)至直線L:5x+12y=0的距離\text{dist}(O,L)={5+12 \over \sqrt{5^2+12^2}} ={17\over 13} > 圓半徑r=1\\ \Rightarrow 圓至L的最遠距離={17\over 13}+r={30\over 13},故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
此題相當於求兩圖形\cases{y=\cos x \\ y=\log_{10}x} 的交點數;\\\cases{y=\cos x的週期為2\pi且當x=2n\pi(n為整數)時,y=1 \\ y=\log_{10}x為一遞增函數,且過(1,0),圖形僅在一、四象限};\\又 \cases{\cos 2\pi=1 > \log_{10}2\pi \\ \cos 4\pi=1 < \log_{10}4\pi } \Rightarrow \log_{10} x> \cos x, \forall x \ge 2\pi \Rightarrow 兩圖形交於三點(見上圖),故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
1645\times {997 \over 1000}-(500000-1645)\times {3\over 1000} =1645\times {997 \over 1000}+1645\times {3\over 1000}- 500000\times { 3\over 1000} \\ =1645-1500 =145,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
一場比賽有兩人對戰,無論輸贏或平分,兩人得分總和為10;\\假設共有n人參賽 \Rightarrow 共有C^n_2場比賽 \Rightarrow 總得分10C^n_2 =8200 \\\Rightarrow {n(n-1) \over 2}=820 \Rightarrow n^2-n-1640=0 \\ \Rightarrow (n-41)(n+40)=0 \Rightarrow n=41,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解:4^{n-1} > 100000 \Rightarrow (n-1)\log 4>\log 100000=5 \Rightarrow n={5\over \log 4}+1 ={5\over 2\log 2}+1 \\= {5\over 2\times 0.301}+1 \approx 9.3,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:3\sin x+ 4\cos x = 5({3\over 5} \sin x+{4\over 5}\cos x) =5(\cos \theta\sin x +\sin \theta\cos x) =5\sin(\theta+x) \\\Rightarrow \cases{最小值=-5 \\ 最大值=5},故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:
對同弧的圓周角有相同的角度 \Rightarrow \cases{\angle DBC=\angle DAC= 60^\circ \\ \angle BDC= \angle BAC=45^\circ};\\ 在\triangle BCD中,利用正弦定理:{\overline{BC} \over \sin \angle BDC} ={\overline{CD} \over \sin \angle DBC} \Rightarrow {6 \over \sin 45^\circ} ={\overline{CD} \over \sin 60^\circ} \\\Rightarrow \overline{CD} = 6\times {\sin 60^\circ \over \sin 45^\circ} =6 \times {\sqrt 3\over \sqrt 2} =3\sqrt 6,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:
該封閉區域各頂點坐標分別為\cases{A(0,0) \\ B(3,0) \\C(3,2) \\D(2,3) \\E(0,1)} \Rightarrow \cases{f(A)=-5 \\f(B)=-2 \\f(C)=2 \\f(D) =3 \\f(E)=-3} \Rightarrow 最大值為3,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。
解:
假設2x^2+10x+k=0的兩根分別為\alpha及\alpha+1 \Rightarrow \cases{\alpha+(\alpha+1)= -10/2 \cdots(1)\\ \alpha(\alpha+1)= k/2 \cdots(2)};\\ 由(1)知\alpha=-3 代入(2) \Rightarrow k/2=(-3)(-3+1)=6 \Rightarrow k=12,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
因應新冠病毒,109年加考一次統測
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