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2020年6月17日 星期三

109年鐵路特考-工程數學詳解


109年特種考試
交 通 事 業 鐵 路 人 員 考 試 試 題
考 試 別: 鐵路人員考試
等 別: 高員三級考試
類 科 別: 電力工程、 電子工程
科 目: 工程數學
甲、申論題部分:(50分)


d2ydt2+3dydt+2y=δ(t1)L{d2ydt2}+3L{dydt}+2L{y}=L{δ(t1)}=s2Y(s)sy(0)y(0)+3(sY(s)y(0))+2Y(s)=ess2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=esY(s)=1s2+3s+2es=1(s+2)(s+1)es=(1s+11s+2)esy(t)=L1{(1s+11s+2)es}=L1{1s+1es}L1{1s+2es}=f(t1)u(t1)g(t1)u(t1),{L{f(t)}=1s+1L{g(t)}=1s+2u():unit step function=e(t1)u(t1)e2(t1)u(t1)=(e1te22t)u(t1)註:本題dydt=0應該是dydt(0)=0!!


f(z)=z1+z2=z(z+i)(zi)=g1(z)zi+g2(z)z+iRes(f(z))=g1(i)+g2(i)=i2i+i2i=1Cf(z)=2πi×Res(f(z))=2πi


a0=12πππf(x)dx=18πππx2dx=18π[13x3]|ππ=18π×23π3=112π2an=1πππf(x)cos(nx)dx=14πππx2cos(nx)dx=14π[x2nsin(nx)+2xn2cos(nx)2n3sin(nx)]|ππ=14π×4πn2(1)n=1n2(1)nbn=0(f(x))f(x)a0+n=1ancos(nx)=112π2+n=11n2(1)ncos(nx)



A=[1234]det(AλI)=0|1λ234λ|=0(λ+1)(λ+2)=0{λ1=1λ2=2λ1=1(Aλ1I)X=0[2233][x1x2]=0x1+x2=0,u1=[11]λ2=2(Aλ2I)X=0[3232][x1x2]=03x1+2x2=0,u2=[23]P=[u1u2]=[1213]P1=[3211]A=P[λ100λ2]P1{A7=P[λ7100λ72]P1=[1213][100128][3211]=[253254381382]A2=P[λ2100λ22]P1=[1213][1004][3211]=[56910]f(A)=[253254381382]2[56910]+[1234]2[1001]=[253254381382]+[10121820]+[1234]+[2002]=[262268402408]

乙、測驗題部分:(50分)

{u=(3,2,5)v=(1,4,4)w=(0,3,2)u(v×w)=(3,2,5)(1,4,4)×(0,3,2)=(3,2,5)(20,2,3)=60+415=49(A)


(D)u,v=∥u∥∥vcosθ(D)




(A)×:{A=[1100]B=[0101]{AB=[0200]BA=[0000]ABBA(B)×:(AB)T=BTATATBT(D)×:{A=[1000]B=[0001]A+B=[1001]{det(A+B)=1det(A)=0det(B)=0det(A+B)det(A)+det(B)(C)



(D)AT=A(D)



|4λ221λ|=0λ25λ+6=0(λ3)(λ2)=0λ=2,3(D)[2135]23(D)




()



1+i=2(12+12i)=2(cos(π4±2nπ)+isin(π4±2nπ))=2ei(π4±2nπ)(1+i)1i=e(1i)ln(1+i)=e(1i)(ln2+lnei(π4±2nπ))=e(1i)(ln2+i(π4±2nπ))=e(ln2+π4±2nπ)+i(π4ln2±2nπ)=2eπ4±2nπ(cos(π4ln2)+isin(π4ln2))(B)


f(z)=1z21=1(z+1)(z1)=g(z)z1Resz=1f(z)=g(1)=12Cf(z)dz=2πi×Resf(z)=2πi×12=πi(B)



f(z)=2izcos(z)z3+z=2izcos(z)z(z+i)(zi)=g(z)z+iResz=if(z)=g(i)=2cos(i)i(2i)=2cos(i)2=1+cos(i)2(C)




y(t)=t+t0y(τ)sin(tτ)dτL{y(t)}=L{t}+L{t0y(τ)sin(tτ)dτ}=L{t}+L{y(t)sin(t)}=L{t}+L{y(t)}×L{sin(t)}=1s2+L{y(t)}×11+s2L{y(t)}=1+s2s4=1s4+1s2y(t)=L1{1s4}+L1{1s2}=16t3+t(C)



y2(C)


y(4)y=0y=c1ex+c2ex+c3sinx+c4cosx=c1(sinhx+coshx)+c2(coshxsinhx)+c3sinx+c4cosx=(c1+c2)coshx+(c1c2)sinhx+c3sinx+c4cosx(D)


3y=5x33yx3xy+3y=5x4(3xy)=5x43xy=5x4dx+c=x5+cy=x43+c3x(A)



y(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+y(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+y


{-1 \over (s-1)(s-2)} ={1\over s-1}- {1\over s-2} \Rightarrow f(t)=L^{-1}\{{1\over s-1}\} -L^{-1}\{{1\over s-2}\} =e^t-e^{2t},故選\bbox[red,2pt]{(D)}



f(t)=|\sin(t)| 為一週期函數,其週期為\pi;\\因此\;L\{f(t)\} ={1\over 1-e^{-s\pi}}\times L\{f_1(t)\},其中f_1(t)=f(t)(u(t)-u(t-\pi)) =\sin(t)(u(t)-u(t-\pi)) \\ =\sin(t)u(t)- \sin(t)u(t-\pi) =\sin(t)u(t)+ \sin(t-\pi)u(t-\pi) \\ \Rightarrow L\{f_1(t)\} =L\{\sin(t)u(t)\}+L\{\sin(t-\pi)u(t-\pi)\} = {1\over 1+s^2}+ {e^{-\pi s} \over 1+s^2} \\ \Rightarrow L\{f(t)\}= {1\over 1-e^{-s\pi}}\times \left( {1\over 1+s^2}+ {e^{-\pi s} \over 1+s^2}\right) ={1+e^{-\pi s} \over 1-e^{-\pi s}}\cdot {1\over 1+s^2},故選\bbox[red,2pt]{(A)}


只有(A)正確,故選\bbox[red,2pt]{(A)}



72=2^3\times 3^2 \Rightarrow 正因數有(3+1)(2+1)=12個;其中大於15的正因數有72,36,24,18,共4個\\,因此機率為4/12=1/3,故選\bbox[red,2pt]{(A)}


P(X>Y) = f(3,0)+f(3,1)+f(3,2) +f(2,0)+f(2,1) +f(1,0) = (3+4+5+2+3+1)/30\\ =18/30=2/5,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。



\cases{f_X=\int_x^18xy\;dy =4x-4x^3 \\f_Y= \int_0^y8xy\;dx =4y^3} \Rightarrow \cases{EX =\int_0^1 x(4x-4x^3)\;dx =8/15\\ EY=\int _0^14y^4\;dy =4/5},故選\bbox[red,2pt]{(A)}

解題僅供參考~~

-- END --

4 則留言:

  1. 請問16題|sin(t)| 之週期為何是 拍 謝謝

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    1. sin(t)週期為2拍,圖形為上下上下,加了絕對值後,圖形由上下上下變成上上上上,週期變成1拍了

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  2. 請問第13題答案為什麼不會選(B)呢?
    在C為任意常數之下,(A)和(B)答案不是等價的嗎?
    謝謝~

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    1. 對! 我也是這麼認為,只是先看到(A)就選(A)了,只是考選部公布的答案沒有(B)!!!

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