109年消防警察-微積分詳解

109年一般警察人員考試

考 試 別： 一般警察人員考試

等 別： 三等考試

類 科 別： 消防警察人員

科 目： 微積分

解：$$\lim_{x\to 0} \left({1\over \sin x^2}-{1\over x^2} \right) =\lim_{x\to 0} {x^2-\sin x^2\over x^2\sin x^2} = \lim_{x\to 0} {(x^2-\sin x^2)'\over (x^2\sin x^2)'}=\lim_{x\to 0} {2x-2x\cos x^2\over 2x\sin x^2 +2x^3\cos x^2} \\ = \lim_{x\to 0} {1-\cos x^2\over \sin x^2 +x^2\cos x^2} =\lim_{x\to 0} {(1-\cos x^2)'\over (\sin x^2 +x^2\cos x^2)'} = \lim_{x\to 0} {2x\sin x^2\over 2x\cos x^2 +2x\cos x^2-2x^3\sin x^2} \\ =\lim_{x\to 0} {\sin x^2\over 2\cos x^2 -x^2\sin x^2} ={0\over 2}= \bbox[red, 2pt]{0}$$

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解：$$h=f(g)+{fg\over f+g} \Rightarrow h'=f'(g)g' +{f'g+fg'\over f+g} -{fg(f'+g')\over (f+g)^2} \\ \Rightarrow h'(1)=f'(g(1))g'(1) +{f'(1)g(1)+f(1)g'(1) \over f(1)+g(1)} -{f(1)g(1)(f'(1)+g'(1))\over (f(1)+g(1))^2} \\=f'(1)\times 2+{ 2+2\over 2}-{1(2+2)\over 2^2} =4+2-1=\bbox[red, 2pt]{5}$$

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解：$$F(x)=2x^3-3x^2-12x+18 \Rightarrow F'(x)=6x^2-6x-12 \Rightarrow F''(x)=12x-6;\\ 令F'(x)=0 \Rightarrow 6(x^2-x-2)=0 \Rightarrow 6(x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,2 \\\Rightarrow \cases{F''(-1)=-18 < 0\\ F''(2)=18 >0} \Rightarrow \cases{F(-1)=25為極大值\\ F(2)=-2為極小值};\\由於-1,2均在區間[-2,3]內，因此\bbox[red, 2pt]{最大值25,最小值-2};$$

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解：
$$G(x)=\int_0^{1-x^2} \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t \right)dt \Rightarrow G(1)=\int_0^{0} \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t \right)dt=0\\ \Rightarrow G'(x)=\left(\sqrt{2-x^2}\sin (1-x^2) + \sqrt{x^2}\cos (1-x^2) \right)(-2x) \Rightarrow G'(1)=-2\\ 因此該切線經過(1,0)，且斜率為-2 \Rightarrow 方程式:y=-2(x-1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2x+y=2}$$

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解：$$\cases{u=e^{3x}\\ v'=\cos(3x)} \Rightarrow \cases{u'=3e^{3x} \\ v={1\over 3}\sin(3x) } \Rightarrow \int e^{3x}\cos(3x)\;dx ={1\over 3}e^{3x}\sin(3x) -\int e^{3x}\sin(3x)\;dx\\
\cases{u=e^{3x}\\ v'=\sin(3x)} \Rightarrow \cases{u'=3e^{3x} \\ v=-{1\over 3}\cos(3x) } \Rightarrow \int e^{3x} \sin(3x)\;dx=-{1\over 3}e^{3x}\cos(3x)+ \int e^{3x}\cos (3x)\;dx\\
因此\int e^{3x}\cos(3x)\;dx ={1\over 3}e^{3x}\sin(3x) +{1\over 3}e^{3x}\cos(3x)- \int e^{3x}\cos (3x)\;dx \\ \Rightarrow \int e^{3x}\cos(3x)\;dx = {1\over 6}e^{3x}\left(\sin(3x)+\cos(3x)\right);\\
同理\cases{u=x^2 \\ v'=e^{2x}} \Rightarrow \cases{u'=2x \\ v={1\over 2}e^{2x}} \Rightarrow \int x^2e^{2x}\;dx= {1\over 2} x^2 e^{2x}-\int xe^{2x}\;dx \\
\cases{u=x \\ v'=e^{2x}} \Rightarrow \cases{u'=1 \\ v={1\over 2}e^{2x}} \Rightarrow \int xe^{2x}\;dx= {1\over 2}xe^{2x} -{1\over 2}\int e^{2x}\;dx= {1\over 2}xe^{2x} -{1\over 4}e^{2x}\\
因此\int x^2e^{2x}\;dx=  {1\over 2} x^2 e^{2x}-\left({1\over 2}xe^{2x} -{1\over 4}e^{2x} \right) ={1\over 2} x^2 e^{2x}-{1\over 2}xe^{2x} +{1\over 4}e^{2x} ={1\over 4}e^{2x} \left( 2x^2-2x+1\right)\\
最後 \int (e^{3x}\cos(3x)+x^2e^{2x})dx = \bbox[red,2pt]{{1\over 6}e^{3x}\left(\sin(3x)+\cos(3x)\right)+ {1\over 4}e^{2x} \left( 2x^2-2x+1\right)+C}$$

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解：$$y={2\over 3}x^{3/2} \Rightarrow y'=x^{1/2} \Rightarrow 曲線長=\int_0^3 \sqrt{1+(y')^2}\;dx = \int_0^3 \sqrt{1+x}\;dx \\ =\left. \left[ {2\over 3}(1+x)^{3/2}\right] \right|_0^3 ={2\over 3}(4^{3/2}-1) = \bbox[red, 2pt]{14\over 3}$$

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解：

$$\cases{R=x (迴繞半徑)\\ h=(1-(x/3)^2)-(1-x/3)= x/3-x^2/9} \Rightarrow V=2\pi\int_0^3 x\left({x\over 3} -{x^2\over 9}\right)dx \\= 2\pi \left. \left[{1\over 9}x^3-{1\over 36}x^4 \right]\right|_0^3  =2\pi \times (3-{9\over 4}) = \bbox[red, 2pt]{{3\over 2}\pi}$$

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解題僅供參考~~

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