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2020年6月18日 星期四

109年消防警察-微積分詳解


109年一般警察人員考試
考 試 別: 一般警察人員考試
等 別: 三等考試
類 科 別: 消防警察人員
科 目: 微積分



limx0(1sinx21x2)=limx0x2sinx2x2sinx2=limx0(x2sinx2)(x2sinx2)=limx02x2xcosx22xsinx2+2x3cosx2=limx01cosx2sinx2+x2cosx2=limx0(1cosx2)(sinx2+x2cosx2)=limx02xsinx22xcosx2+2xcosx22x3sinx2=limx0sinx22cosx2x2sinx2=02=0


h=f(g)+fgf+gh=f(g)g+fg+fgf+gfg(f+g)(f+g)2h(1)=f(g(1))g(1)+f(1)g(1)+f(1)g(1)f(1)+g(1)f(1)g(1)(f(1)+g(1))(f(1)+g(1))2=f(1)×2+2+221(2+2)22=4+21=5


F(x)=2x33x212x+18F(x)=6x26x12F



G(x)=\int_0^{1-x^2} \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t \right)dt \Rightarrow G(1)=\int_0^{0} \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t \right)dt=0\\ \Rightarrow G'(x)=\left(\sqrt{2-x^2}\sin (1-x^2) + \sqrt{x^2}\cos (1-x^2) \right)(-2x) \Rightarrow G'(1)=-2\\ 因此該切線經過(1,0),且斜率為-2 \Rightarrow 方程式:y=-2(x-1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2x+y=2}



\cases{u=e^{3x}\\ v'=\cos(3x)} \Rightarrow \cases{u'=3e^{3x} \\ v={1\over 3}\sin(3x) } \Rightarrow \int e^{3x}\cos(3x)\;dx ={1\over 3}e^{3x}\sin(3x) -\int e^{3x}\sin(3x)\;dx\\ \cases{u=e^{3x}\\ v'=\sin(3x)} \Rightarrow \cases{u'=3e^{3x} \\ v=-{1\over 3}\cos(3x) } \Rightarrow \int e^{3x} \sin(3x)\;dx=-{1\over 3}e^{3x}\cos(3x)+ \int e^{3x}\cos (3x)\;dx\\ 因此\int e^{3x}\cos(3x)\;dx ={1\over 3}e^{3x}\sin(3x) +{1\over 3}e^{3x}\cos(3x)- \int e^{3x}\cos (3x)\;dx \\ \Rightarrow \int e^{3x}\cos(3x)\;dx = {1\over 6}e^{3x}\left(\sin(3x)+\cos(3x)\right);\\ 同理\cases{u=x^2 \\ v'=e^{2x}} \Rightarrow \cases{u'=2x \\ v={1\over 2}e^{2x}} \Rightarrow \int x^2e^{2x}\;dx= {1\over 2} x^2 e^{2x}-\int xe^{2x}\;dx \\ \cases{u=x \\ v'=e^{2x}} \Rightarrow \cases{u'=1 \\ v={1\over 2}e^{2x}} \Rightarrow \int xe^{2x}\;dx= {1\over 2}xe^{2x} -{1\over 2}\int e^{2x}\;dx= {1\over 2}xe^{2x} -{1\over 4}e^{2x}\\ 因此\int x^2e^{2x}\;dx=  {1\over 2} x^2 e^{2x}-\left({1\over 2}xe^{2x} -{1\over 4}e^{2x} \right) ={1\over 2} x^2 e^{2x}-{1\over 2}xe^{2x} +{1\over 4}e^{2x} ={1\over 4}e^{2x} \left( 2x^2-2x+1\right)\\ 最後 \int (e^{3x}\cos(3x)+x^2e^{2x})dx = \bbox[red,2pt]{{1\over 6}e^{3x}\left(\sin(3x)+\cos(3x)\right)+ {1\over 4}e^{2x} \left( 2x^2-2x+1\right)+C}


y={2\over 3}x^{3/2} \Rightarrow y'=x^{1/2} \Rightarrow 曲線長=\int_0^3 \sqrt{1+(y')^2}\;dx = \int_0^3 \sqrt{1+x}\;dx \\ =\left. \left[ {2\over 3}(1+x)^{3/2}\right] \right|_0^3 ={2\over 3}(4^{3/2}-1) = \bbox[red, 2pt]{14\over 3}





\cases{R=x (迴繞半徑)\\ h=(1-(x/3)^2)-(1-x/3)= x/3-x^2/9} \Rightarrow V=2\pi\int_0^3 x\left({x\over 3} -{x^2\over 9}\right)dx \\= 2\pi \left. \left[{1\over 9}x^3-{1\over 36}x^4 \right]\right|_0^3  =2\pi \times (3-{9\over 4}) = \bbox[red, 2pt]{{3\over 2}\pi}

解題僅供參考~~

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