高雄市 107 學年度市立高級中等學校
聯合教師甄選數學科試題
聯合教師甄選數學科試題
計算題:一律詳列過程; 1~12 題每題 7 分, 13~14 題每題 8 分
解:
◻◻◻◻◻◻◻◻◻◻◻◻◻=a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17a18a19a20a21a22a23a24a25符合要求的選取:首項在第1列:(a1,{a8,a10,a12,a14,a18,a20,a22,a24})→8個(a2,−),(a3,−),(a4,−),(a5,−),也是各8個,共5×8=40個首項在第2列:(a6,{a13,a15,a17,a19,a23,a25})→6個(a7,{a14,a16,a18,a20,a24})→5個(a8,−),(a10,−)各6個,(a9,−)5個,共3×6+2×5=28個首項在第3列:(a11,−),(a12,−),(a13,−),(a14,−),(a15,−)各4個,共4×5=20個首項在第4列:(a16,−),(a18,−),(a20,−)各2個,(a17,a24),(a19,a22),共3×2+2=8個總共有40+28+20+8=96個符合要求,機率為96C252=9625×12=825
f(x)=x107−2018x106+g(x),g(x)為105次實係數多項式⇒f(x2+x+1)=(x2+x+1)107−2018(x2+x+1)106+g(x2+x+1)⇒f(x2+x+1)為214次多項式且f(x2+x+1)=0所有根的和即為x213的係數再乘上(−1);而x213只出現在(x2+x+1)107內,其係數為107⇒f(x2+x+1)=0所有根的和=−107
解:
S={21,22,…,2201}={a1,a2,…,a201},取aiajak成等比數列,1≤i,j,k≤201數列數量a1a2a3,a2a3a4,…,a199a200a201199a1a3a5,a2a4a6,…,a197a199a201197a1a4a7,a2a5a8,…,a195a198a201195⋯⋯a1a101a2011⇒共有199+197+⋯+1=100∑k=1(2k−1)=10100−100=10000

解:
R=∫20x3dx=[14x4]|20=4;Un=2n((2n)3+(4n)3+(6n)3+⋯+(2nn)3)=(2n)4(13+23+⋯+n3)=(2n)4×(n(n+1)2)2=4(1+2n+1n2);⇒|Un−R|<1100⇒8n+4n2<1100⇒n2−800n−400>0令f(n)=n2−800n−400⇒{f(800)=−400<0f(801)=401>0⇒n≥801
g(x)=√x+a−b⇒{g(1)=0g′(1)=1/6⇒{√a+1=b12√a+1=16⇒(a,b)=(8,3)
解:
lim
解:
令\cases{A(a,0),a\ge 0\\ B(0,b)\\C(x,y) \\P(-3,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PB}=(3,b)\\ \overrightarrow{BA}=(a,-b) \\ \overrightarrow{BC}=(x,y-b)\\ \overrightarrow{CA}= (a-x,-y)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA}=3a-b^2=0 \\ 2\overrightarrow{BC}+ 3\overrightarrow{CA} =(3a-x,-y-2b)=(0,0)} \\ \Rightarrow \cases{ a=x/3\\ b=-y/2} \Rightarrow 3a-b^2 = x-(-y/2)^2 = x-y^2/4=0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y^2=4x}
解:
\cases{L_1:{x-4\over 1}= {y+3\over -1},z=0\\ L_2:{x-2\over 1}={y-2\over 1},z=1} \Rightarrow \cases{\vec u_1=(1,-1,0)\\ \vec u_2=(1,1,0)} \Rightarrow \vec n=\vec u_1\times \vec u_2 =(0,0,2)\\令\cases{在L_1上任取一點P(4,-3,0)\\ 在L_2上作取一點Q(2,2,1)} \Rightarrow \overrightarrow {PQ}=(-2,5,1) \\ \Rightarrow 兩歪斜線的距離d={|\overrightarrow{PQ} \cdot \vec n|\over |\vec n|}={2\over 2}=1\Rightarrow 稜邊長=\sqrt{2}d= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 2}
圓C:x^2+y^2-2x+3y=0 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+{3\over 2})^2= {13\over 4} \Rightarrow \cases{圓心O(1,-{3\over 2})\\ 半徑r={\sqrt{13}\over 2}} \\ 令L_1\bot L\Rightarrow L_1: 5x+4y=k,又L_1經過O,因此5-6=-1= k \Rightarrow L_1: 5x+4y+1=0 \\ \Rightarrow P在L_1上可表示成P(a,{-1-5a\over 4}),又\text{dist}(O,L) = \overline{OD} = {4+{15\over 2}-18\over \sqrt{5^2+4^2}} ={13\over 2\sqrt{41}};\\ 由於\cases{\angle AOP= \angle AOD\\ \angle OAP=90^\circ= \angle ODA} \Rightarrow \triangle OAP \sim \triangle ODA \Rightarrow \overline{OA}^2 = \overline{OD}\times \overline{OP}\\ \Rightarrow {13\over 4}= {13\over 2\sqrt{41}}\times \overline{OP} \Rightarrow \overline{OP}= {\sqrt{41} \over 2 } =\sqrt{(a-1)^2 + (-{3\over 2}+{5a+1 \over 4})^2} \\{41\over 4} ={41\over 16}(a-1)^2\Rightarrow a=3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{P(3,-4)}
解:
\angle A_1OA_{12}=360^\circ \div 12=30^\circ \Rightarrow \cases{\overline{QA_{12}}= {1\over 2}r =1\\ \overline{OQ}= {\sqrt 3\over 2}r =\sqrt 3} \\\Rightarrow \cases{矩形A_2A_{12}A8A_6面積= \overline{A_2A_{12}}\times \overline{A_{12}A_8} =2 \overline{QA_{12}} \times 2 \overline{OQ}=4\sqrt 3; \\正方形ABCD面積= \overline{A_2A_{12}}^2=4};\\ \Rightarrow 陰影面積=2\times 矩形A_2A_{12}A8A_6面積-正方形ABCD面積 =2\times 4\sqrt 3-4= \bbox[red, 2pt]{8\sqrt 3-4}
解:
f(x)= \sqrt{2^{2x}+\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2^x-4\right)^2+\left(x-1\right)^2}\\ \Rightarrow f'(x)=\dfrac{\ln\left(2\right){\cdot}2^{2x+1}+2\left(x-1\right)}{2\sqrt{2^{2x}+\left(x-1\right)^2}}+\dfrac{\ln\left(2\right)\left(2^x-4\right){\cdot}2^{x+1}+2\left(x-1\right)}{2\sqrt{\left(2^x-4\right)^2+\left(x-1\right)^2}}\\ f'(x)=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow f(1)=2+2= \bbox[red, 2pt]{4}
解:
{x^2 \over 144}-{y^2\over 25}=1 \Rightarrow \cases{a=12\\ b=5 } \Rightarrow c=13;\\現在\cases{ \overline{PF_1}:\overline{PF_2} =1:3 \\\overline{PF_2}-\overline{PF_1}= 2a=24} \Rightarrow \cases{\overline{PF_1}=12 \\ \overline{PF_2}=36} \\\Rightarrow \cos \angle F_1PF_2 = {\overline{PF_1}^2 +\overline{PF_2}^2-\overline{F_2F_2}^2 \over 2\times \overline{PF_1}\times \overline{PF_2}} ={12^2+36^2-26^2 \over 2\times 12\times 36} =\bbox[red, 2pt]{191\over 216}
正弦定理: {\overline{S_1S_2} \over \sin \angle S_1BS_2} = {\overline{BS_1} \over \sin \angle BS_2S_1} \Rightarrow {r \over \sin(180^\circ-\varphi-\theta)} = {\overline{BS_1} \over \sin \theta} \Rightarrow \overline{BS_1}= {r\sin \theta \over \sin (\varphi+\theta)} \\ \Rightarrow \overline{AB}= \overline{BS_1}\tan \angle AS_1B ={r\sin \theta \tan \phi\over \sin (\varphi+\theta)}\Rightarrow \overline{AB}= {r\sin \theta \tan \phi\over \sin (\varphi+\theta)},\bbox[red, 2pt]{故得證}
解:
\lim_{\theta \to 0}{\tan \theta-\sin \theta \over \theta^3} =\lim_{\theta \to 0}{(\tan \theta-\sin \theta)' \over (\theta^3)'} =\lim_{\theta \to 0}{{1\over \cos^2 \theta}-\cos \theta \over 3\theta^2} =\lim_{\theta \to 0}{\left({1\over \cos^2 \theta}-\cos \theta\right)' \over (3\theta^2)'} \\=\lim_{\theta \to 0}{{2\sin \theta \over \cos^3 \theta}+\sin \theta \over 6\theta} =\lim_{\theta \to 0}{\left({2\sin \theta \over \cos^3 \theta}+\sin \theta\right)' \over (6\theta) '}=\lim_{\theta \to 0}{{2 \over \cos^2 \theta} +{6\sin^2 \theta \over \cos^4 \theta}+\cos \theta \over 6} = {2+0+1\over 6} ={1\over 2}\\,\bbox[red, 2pt]{故得證}
-- END (僅供參考) --
您好:想請問一下第8題,為什麼兩歪斜線的根號2倍就是稜長呢?謝謝
回覆刪除因為它是正四面體
刪除我的意思是兩歪斜線的距離為什麼和正四面體有關呢?或是說這兩歪斜線的距離是在這正四面體的什麼位置呢?
回覆刪除你畫一個正四面體時
刪除不相鄰的兩邊就是一組歪斜線唷
您好
回覆刪除請問第二題的
106次項係數為何是「+2018」
而不是「-2018」?
雖然不影響答案
但這個不太懂?
對! 應該是-2018, 已修訂,謝謝!!
刪除謝謝您
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回覆刪除抱歉,我不知道會重複發言
刪除造成困擾,請見諒
請問第四題的最後,為什麼n大於等於801?
回覆刪除解答多寫一行字,希望有助理解!!
刪除哇,謝謝您,了解了
刪除請問第十一題
回覆刪除是否可以看成P點在y=2^x上,A(1,0),B(1,4)
PA+PB最小值
畫圖可知
最小值就是x=1時,長度為AB線段=4
這樣解釋可以嗎?
可以, 很多人這樣算, 別題我也是用「距離」這個技巧來求解。只是偶而換換口味, 尤其是希望找到「通解」而不是特例! 不然,總是有人說:「誰想得到這樣解啊?」
刪除原來如此
刪除謝謝您,我也學到另一種解法了😄