臺北市立華江高中106學年度正式教師甄選數學科試題
全部-三數字相同-三數字全不同=900−9−9⋅9⋅8=900−9−648=243
解:
{A(4,0)B(10,15)C(16,12)⇒{L1=↔AB:5x−2y=20L2=↔AC:−x+y=−4L3=↔AB:x+2y=40L′3:2x+y=44⇒{L′3與L2交於C(16,12)L′3與L1交於B′(12,20)又{f(C)=96f(A)=12⇒{16p+12q=964p=12⇒{p=3q=4⇒f(x,y)=3x+4y;⇒{f(A)=12f(B′)=116f(C)=96⇒最大值為116
解:
令{∠A=2θ¯CD=1¯BD=k,又cos∠A=4√37⇒sin∠A=17在△DAB中,ksinθ=¯ADsin30∘⇒¯AD=k2sinθ⋯(1);△ACD:¯CDsinθ=¯ADsin∠C⇒1sinθ=¯ADsin(150∘−∠A)⇒¯AD=sin(150∘−∠A)sinθ⋯(2)(1)=(2)⇒k=2sin(150∘−∠A)=2(sin150∘cos∠A−sin∠Acos150∘)=2(12⋅4√37−17⋅(−√32))=5√37
解:
(x2+y2−4x)(y2−x−7)=0⇒{x2+y2−4x=0y2−x−7=0⇒{(x−2)2+y2=22y2=x+7,其中(x−2)2+y2=22為一圓,圓心O(2,0),半徑r=2;x=2代入y2=x+7=9⇒y=±3⇒該圓完全在拋物線內,如上圖;又直線L:mx−y+4−2m=0⇒y=m(x−2)+4⇒L過P(2,4);因此L與拋物線與圓有四個交點,代表L介於P於圓的兩切線之間;L為切線⇒dist(O,L)=r⇒4√m2+1=2⇒m=±√3⇒m>√3或m<−√3有4個相異交點
解:cosC=a2+b2−c22ab=a2+b2−13(a2+b2)2ab=a2+b23ab≥2ab3ab=23⇒cosC≥23⇒sinC≤√1−(23)2=√53
解:假設{a:選到水餃的機率b:選到便當的機率c:選到湯麵的機率⇒{an=0⋅an−1+14bn−1+13cn−1bn=25an−1+0⋅bn−1+23cn−1cn=35an−1+34bn−1+0⋅cn−1⇒[01/41/32/502/33/53/40][abc]=[abc]⇒[01/41/32/502/33/53/40][ab1−a−b]=[ab1−a−b]⇒{a=5/22b=4/11⇒選到便當的機率為4/11⇒選到排骨便當的機率為211
解:x216−y212=1⇒{a=4b=2√3⇒c=√16+12=2√7⇒{F1(−2√7,0)F2(2√7,0)令{¯PF2=m¯QF2=n⇒{¯PF1=m+2a=m+8¯QF1=n+2a=n+8△PF1F2:cos∠F1PF2=cos60∘=12=(m+8)2+m2−(4√7)22m(m+8)⇒m=4△PQF1:cos∠F1PF2=12=(m+8)2+(m+n)2−(n+8)22(m+n)(m+8)=144+(n+4)2−(n+8)224(n+4)⇒n=125⇒△PQF1周長=(m+8)+m+n+(n+8)=2(m+n)+16=645+16=1445
解:{A=7=∫03f′(x)dx=f(0)−f(3)=10−f(3)⇒f(3)=3B=6=∫36f′(x)dx=f(3)−f(6)=3−f(6)⇒f(6)=−3C=4=∫76f′(x)dx=f(7)−f(6)=f(7)+3⇒f(7)=1切點(7,g(7))的切線方程式:y=g′(7)(x−7)+g(7)=ddx[f(7)]2(x−7)+[f(7)]2=2f(7)f′(7)(x−7)+f(7)=2⋅1⋅2(x−7)+1=4x−27⇒切線方程式:y=4x−27
解:正弦定理:¯ACsin∠B=¯BCsin∠A⇒3sin∠B=¯BCsin2∠B⇒¯BC=3sin2∠Bsin∠B=6cos∠B餘弦定理:cos∠B=¯AB2+¯BC2−¯AC22⋅¯AB⋅¯BC=25+36cos2∠B−960cos∠B⇒cos∠B=√63⇒¯BC=6cos∠B=2√6⇒S=(¯AB+¯BC+¯CA)÷2=4+√6△ABC面積=√S(S−¯AB)(S−¯BC)(S−¯CA)=√(4+√6)(4−√6)(√6+1)(√6−1)=√50=5√2=12r(¯AB+¯BC+¯CA)=r(4+√6)⇒r=5√24+√6=2√2−√3
解:
解:2節體育課可選(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),有6種排法;若音樂課與美術課都與體育課同一天:2種排法;若音樂課與美術課都不與體育課同一天:3×3=9種排法;若音樂課與體育課同一天,但美術課不與體育課同一天:3×2=6種排法若美術課與體育課同一天,但音樂課不與體育課同一天:3×2=6種排法共有6(2+9+6+6)=138種排法解:{⇀a×⇀b=(−2,2,1)⇀a×⇀c=(2,1,2)⇒(−2,2,1)×(2,1,2)=(3,6,−6)⇒⇀a=(k,2k,−2k)又|⇀a|=6⇒√k2+4k2+4k2=6⇒k2=4平行四邊形面積=√|⇀a|2|⇀u|2−(⇀a⋅⇀u)2=√36⋅14−81k2=√504−324=6√5
解:{y=log2(kx2)+3x4y=2|x|+3x4,交集⇒log2(kx2)+3x4=2|x|+3x4⇒log2(kx2)=2|x|,相當於求兩圖形{y=log2(kx2)y=2|x|的交點;由於兩圖形皆對稱Y軸,因此可令兩交點為{A(x,log2(kx2)+3x4)B(−x,log2(kx2)−3x4)¯AB=10⇒√(2x)2+(3x2)2=10⇒x2=16⇒x=±4⇒log2(16k)=24⇒4+log2k=16⇒k=212=4096
解:cosC=a2+b2−c22ab=a2+b2−13(a2+b2)2ab=a2+b23ab≥2ab3ab=23⇒cosC≥23⇒sinC≤√1−(23)2=√53
解:假設{a:選到水餃的機率b:選到便當的機率c:選到湯麵的機率⇒{an=0⋅an−1+14bn−1+13cn−1bn=25an−1+0⋅bn−1+23cn−1cn=35an−1+34bn−1+0⋅cn−1⇒[01/41/32/502/33/53/40][abc]=[abc]⇒[01/41/32/502/33/53/40][ab1−a−b]=[ab1−a−b]⇒{a=5/22b=4/11⇒選到便當的機率為4/11⇒選到排骨便當的機率為211
解:x216−y212=1⇒{a=4b=2√3⇒c=√16+12=2√7⇒{F1(−2√7,0)F2(2√7,0)令{¯PF2=m¯QF2=n⇒{¯PF1=m+2a=m+8¯QF1=n+2a=n+8△PF1F2:cos∠F1PF2=cos60∘=12=(m+8)2+m2−(4√7)22m(m+8)⇒m=4△PQF1:cos∠F1PF2=12=(m+8)2+(m+n)2−(n+8)22(m+n)(m+8)=144+(n+4)2−(n+8)224(n+4)⇒n=125⇒△PQF1周長=(m+8)+m+n+(n+8)=2(m+n)+16=645+16=1445
解:{A=7=∫03f′(x)dx=f(0)−f(3)=10−f(3)⇒f(3)=3B=6=∫36f′(x)dx=f(3)−f(6)=3−f(6)⇒f(6)=−3C=4=∫76f′(x)dx=f(7)−f(6)=f(7)+3⇒f(7)=1切點(7,g(7))的切線方程式:y=g′(7)(x−7)+g(7)=ddx[f(7)]2(x−7)+[f(7)]2=2f(7)f′(7)(x−7)+f(7)=2⋅1⋅2(x−7)+1=4x−27⇒切線方程式:y=4x−27
解:正弦定理:¯ACsin∠B=¯BCsin∠A⇒3sin∠B=¯BCsin2∠B⇒¯BC=3sin2∠Bsin∠B=6cos∠B餘弦定理:cos∠B=¯AB2+¯BC2−¯AC22⋅¯AB⋅¯BC=25+36cos2∠B−960cos∠B⇒cos∠B=√63⇒¯BC=6cos∠B=2√6⇒S=(¯AB+¯BC+¯CA)÷2=4+√6△ABC面積=√S(S−¯AB)(S−¯BC)(S−¯CA)=√(4+√6)(4−√6)(√6+1)(√6−1)=√50=5√2=12r(¯AB+¯BC+¯CA)=r(4+√6)⇒r=5√24+√6=2√2−√3
解:
此題相當求a+b+c+d+e≤10的非負整數解的個數,又相當於a+b+c+d+e+f=10的非負整數解的個數;也就是H610=C1510=3003;需扣除(a,b,c,d,e)=(0,0,0,0,0),(10,0,0,0,0),(0,10,0,0,0),(0,0,10,0,0),(0,0,0,10,0),(0,0,0,0,10)六組解,再加上六位數100000這一組解,即n=3003−6+1=2998
解:2節體育課可選(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),有6種排法;若音樂課與美術課都與體育課同一天:2種排法;若音樂課與美術課都不與體育課同一天:3×3=9種排法;若音樂課與體育課同一天,但美術課不與體育課同一天:3×2=6種排法若美術課與體育課同一天,但音樂課不與體育課同一天:3×2=6種排法共有6(2+9+6+6)=138種排法解:{⇀a×⇀b=(−2,2,1)⇀a×⇀c=(2,1,2)⇒(−2,2,1)×(2,1,2)=(3,6,−6)⇒⇀a=(k,2k,−2k)又|⇀a|=6⇒√k2+4k2+4k2=6⇒k2=4平行四邊形面積=√|⇀a|2|⇀u|2−(⇀a⋅⇀u)2=√36⋅14−81k2=√504−324=6√5
解:{y=log2(kx2)+3x4y=2|x|+3x4,交集⇒log2(kx2)+3x4=2|x|+3x4⇒log2(kx2)=2|x|,相當於求兩圖形{y=log2(kx2)y=2|x|的交點;由於兩圖形皆對稱Y軸,因此可令兩交點為{A(x,log2(kx2)+3x4)B(−x,log2(kx2)−3x4)¯AB=10⇒√(2x)2+(3x2)2=10⇒x2=16⇒x=±4⇒log2(16k)=24⇒4+log2k=16⇒k=212=4096
解:√x4−15x2−4x+68−√x4−3x2−2x+5=√(x4−16x2+64)+(x2−4x+4)−√(x4−4x2+4)+(x2−2x+1)=√(x2−8)2+(x−2)2−√(x2−2)2+(x−1)2=¯PA−¯PB,其中{P(x,x2)A(2,8)B(1,2)P(x,x2)代表拋物線Γ:y=x2上的點,因此最大值發生在P為↔AB與Γ的交點;直線L:↔AB方程式y=6(x−1)+2⇒y=6x−4⇒{y=x2y=6x−4的交點(3±√5,14±6√5)若P(3+√5,14+6√5),則¯PA−¯PB<0;故取P(3−√5,14−6√5),因此x=3−√5
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