國立臺南第二高級中學106學年度第1次教師甄選
一、填充題
解:{A(1,1,2)B(−1,0,3)C(3,8,1)⇒{→u=→AB=(−2,−1,1)→v=→AC=(2,7,−1)⇒△ABC面積=12√|→u|2|→v|2−(→u⋅→v)2=12√6⋅54−144=3√5;又→n=→u×→v=−6(1,0,2)⇒平面ABC方程式:(x−1)+2(z−2)=0⇒E:x+2z=5L:{2x+y−z=3x−y+7z=9⇒{x=4−2zy=5z−5⇒L上的點可表示成D(4−2t,5t−5,t),t∈R⇒dist(D,E)=|4−5|√5=1√5⇒四面體ABCDE體積=13×△ABC面積×dist(D,E)=13×3√5×1√5=1解:{¯AD=5¯AB=3¯BD=4⇒{△ABD為直角三角形∠ABD=90∘⇒斜邊上的高h=3×45=125⇒B繞Z軸旋轉所得圓Γ面積=h2π=14425π⇒底面Γ與D及A形成兩圓錐體,兩圓錐體體積和=13×144π25ׯAD=48π25×5=48π5
解:π2<x≤32π⇒−1≤cosx≤0⇒y=5cosx3−cosx=−5+153−cosx⇒−5+153−(−1)≤y≤−5+153−0⇒−5+153−(−1)≤y≤−5+153−0⇒−54≤y≤0
解:α=x+yi,其中x,y∈R⇒{β=(−1+i)α=(−x−y)+(x−y)i|α−3|=1⇒(x−3)2+y2=1⇒(x,y)=(cosθ+3,sinθ)⇒{→u=→OA=(x,y)→v=→OB=(−x−y,x−y)⇒△OAB面積=12√|→u|2|→v|2−(→u⋅→v)2=12√(x2+y2)(2(x2+y2))−(x2+y2)2=12(x2+y2)=12((cosθ+3)2+sin2θ))=12(10+6cosθ)⇒{θ=0∘時,有最大值8θ=180∘時,有最小值2⇒最大值+最小值=10
解:f(x)=√x+16+x−x2=√x+1−(x−3)(x+2)⇒{(x+1)(x−3)(x+2)≤0x≠3x≠−2⇒−1≤x<3或x<−2
解:7242409=703×101×102+103⇒(724240)10=10∑k=0C10k(703⋅101⋅102)k⋅(103)10−k≡(103)10mod(101⋅102);以下皆使用二項式求餘數;(103)10=(103⋅103)5=((102+1)⋅(101+2))5=(101⋅102+307)5≡3075mod(101⋅102)3075=(307⋅307)2⋅307=(9⋅101⋅102+1531)2⋅307≡15312⋅307mod(101⋅102)15312⋅307=(45⋅101⋅102+6427)⋅1531≡6427⋅1531mod(101⋅102)6427⋅1531=(63⋅102+1)(15⋅101+16)≡16⋅63⋅102+15⋅101+16mod(101⋅102)⇒16⋅63⋅102+15⋅101+16=10⋅101⋅102+1327≡1327mod(101⋅102)
解:f(x)=2x^6-3x^5+4x^4-3x^3+4x^2-3x+2\\ f(\pm 1)\ne 0,f(\pm 2)\ne 0,試x^3=\pm 1,可得x^2+x+1及x^2-x+1皆為f(x)之因式\\ \Rightarrow f(x)=(x^2+x+1) (x^2-x+1)(2x^2-3x+2)\\ 因此f(x)=0 \Rightarrow x={-1\pm \sqrt 3i\over 2},{ 1\pm \sqrt 3i\over 2}, {3\pm \sqrt 7i\over 4} \\ \Rightarrow 在第一象限的解為\bbox[red,2pt]{{ 1+ \sqrt 3i\over 2}, {3+ \sqrt 7i\over 4}}
解:答案是\bbox[red,2pt]{381654729},詳細說明可參考以下超連結\href{https://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=1024}{按這裡}
解:a_n=n^3+2n^2-200n = n((n+1)^2-201) \Rightarrow \cases{a_n < 0,\text{if }n\le 13\\ a_n > 0,\text{if }n\ge 14}; \\因此 \sum_{n=1}^{20}|a_n| =\sum_{n=1}^{13}(200n-2n^2-n^3)+ \sum_{n=14}^{20}(n^3+2n^2-200n)\\ =200\cdot {14\times 13\over 2}-2\cdot {13\times 14\times 27\over 6}-\left({14\times 13\over 2}\right)^2+ \left[\left({21\times 20\over 2}\right)^2 -\left({14\times 13\over 2}\right)^2\right]\\\qquad +2\left[{20\times 21\times 41\over 6}-{13\times 14\times 27\over 6} \right]-200\cdot {34\times 7\over 2} \\ =18200-1638-8281+35819 +2 \times 2051-23800 =\bbox[red,2pt]{24402}
解:\cases{A:萬位數字\\B:千位數字\\C:百位數字\\D:十位數字\\ E:個位數字} \Rightarrow A+B+C+D+E \le 10且A,B,C,D,E \in \{0,..,9\} \\ \Rightarrow A+B+C+D+E +F= 10且A,B,C,D,E,F \in \{0,..,9\} \\ \Rightarrow 共有H^6_{10}= C^{15}_{10}=3003 組解,但需扣除A=10,B=10,...,F=10,共6組\\,再加上十萬數字100000這1組;因此k=3003-6+1 = \bbox[red,2pt]{2998}
解:令G為重心\Rightarrow \overrightarrow{GH}= 2\overrightarrow{OG} \Rightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AH}= 2(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AG}) \Rightarrow \overrightarrow{AH}= -2 \overrightarrow{AO}+3 \overrightarrow{AG} \\ =-2({2\over 5} \overrightarrow{AB}+{1\over 4} \overrightarrow{AC})+3\cdot {2\over 3}({1\over 2} \overrightarrow{AB}+{1\over 2} \overrightarrow{AC}) ={1\over 5} \overrightarrow{AB}+{1\over 2} \overrightarrow{AC} \Rightarrow (x,y)= \bbox[red,2pt]{({1\over 5},{1\over 2})}

解:x+\log_2(kx^2) = x+2^{|x|} \Rightarrow \log_2(kx^2) = 2^{|x|},相當於求兩圖形\cases{y=f(x)=\log_2(kx^2) \\y =g(x)=2^{|x|}}的交點;\\由於兩圖形皆對稱於y軸,即\cases{f(x)=f(-x)\\ g(x)=g(-x)},因此交點也對稱y軸;\\令原函數交點為\cases{A(a, a+ \log_2(ka^2))\\ B(-a,-a+\log_2(ka^2))} \Rightarrow \overline{AB}= \sqrt{4a^2+4a^2} =6\sqrt 2 \Rightarrow 8a^2=72 \\ \Rightarrow a^2=9 \Rightarrow A(3,3+\log_2(9k))代入另一函數\Rightarrow 3+\log_2(9k)=3+2^{|3|} \\ \Rightarrow \log_2(9k) = 8 \Rightarrow k={2^8\over 9} =\bbox[red,2pt]{256\over 9}
解:a_n ={(2n)^2\over (2n-1)(2n+1)} ={4n^2 \over 4n^2-1} =1+{1\over 4n^2-1}=1+{1\over 2}({1\over 2n-1}-{1\over 2n+1})\\ \Rightarrow S= \sum_{n=1}^{1008}\left(1+{1\over 2}({1\over 2n-1}-{1\over 2n+1}) \right) \Rightarrow 2S= \sum_{n=1}^{1008} \left(2+ {1\over 2n-1}-{1\over 2n+1} \right) \\=2\times 1008+{1\over 1}-{1\over 3} +{1\over 3}-{1\over 5}+ \cdots + {1\over 2015} -{1\over 2017} =2016+1-{1\over 2017} \approx\bbox[red,2pt]{2017}
二、計算與證明題
解:
解:(1)\cases{a_3=4\times 3\times 2=24\\ a_4= 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2+ 4\cdot 3\cdot 3\cdot 1=84} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a_3=24\\ a_4=84}}(2)a_n+a_{n-1} =k(k-1)^{n-1} = 4\cdot 3^{n-1} \Rightarrow a_n=(k-1)^n+ (-1)^n(k-1)=3^n+3(-1)^n\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{a_n= 3^n+3(-1)^n,n\ge 3}
您好:請問第12題的交點對稱y軸,那是不是這兩個交點的y座標要一樣呢?可是跟假設不合,請問為什麼呢?謝謝
回覆刪除原來的兩圖形y1,y2並沒對稱y軸,只有A、B的x坐標對稱y軸,但y坐標各異;只是求原兩圖形的交點,相當於求兩個對稱y軸圖形的交點,依此特性來斷定A(a,y1(a)), B(-a,y2(-a)).
刪除好的,謝謝您
刪除