方法一
Cn4:將n個人任取4人的組合數;假設n個人中有一個叫派大星的,因此取4人可以分成有選到派大星及沒有選到派大星的組合數。
派大星必選:n個人中,先將派大星選出,在剩下的n−1人任選3人,組合數為Cn−13;
不選派大星:n個人中,先將派大星剔出,在剩下的n−1人任選4人,組合數為Cn−14;
因此,將n個人任取4人的組合數=Cn−13+Cn−14,即Cn4=Cn−13+Cn−14。
同理Cn−14=Cn−23+Cn−24=Cn−23+Cn−33+Cn−34=⋯=Cn−23+Cn−33+⋯+C33,因此Cn4=∑n−1k=3Ck3。
方法二Cn4=n!4!(n−4)!=nn−4⋅(n−1)!4!(n−5)!=nn−4Cn−14=(1+4n−4)Cn−14=Cn−14+4n−4Cn−14=Cn−14+4n−4⋅(n−1)!4!(n−5)!=Cn−14+(n−1)!3!(n−4)!=Cn−14+Cn−13⇒Cn4=Cn−14+Cn−13同理,依此類推Cn4=Cn−13+Cn−14=Cn−13+Cn−23+Cn−24=Cn−13+Cn−23+⋯+C33
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