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2021年1月20日 星期三

nC4= (n-1)C3 + (n-2)C3 +.... + 3C3

$$證明C^n_4 = \sum_{k=3}^{n-1}C^k_3$$
證明
方法一
\(C^n_4:\)將\(n\)個人任取4人的組合數;假設\(n\)個人中有一個叫派大星的,因此取4人可以分成有選到派大星及沒有選到派大星的組合數。
派大星必選:\(n\)個人中,先將派大星選出,在剩下的\(n-1\)人任選3人,組合數為\(C^{n-1}_3\);
不選派大星:\(n\)個人中,先將派大星剔出,在剩下的\(n-1\)人任選4人,組合數為\(C^{n-1}_4\);
因此,將\(n\)個人任取4人的組合數=\(C^{n-1}_3+C^{n-1}_4\),即\(C^n_4 =C^{n-1}_3+C^{n-1}_4\)。
同理\(C^{n-1}_4= C^{n-2}_3+C^{n-2}_4 =C^{n-2}_3+C^{n-3}_3+ C^{n-3}_4 = \cdots = C^{n-2}_3+C^{n-3}_3+\cdots +C^3_3\),因此\(C^n_4 = \sum_{k=3}^{n-1}C^k_3\)。

方法二$$C^n_4={n!\over 4!(n-4)!} ={n\over n-4 }\cdot {(n-1)!\over 4!(n-5)!} ={n\over n-4 }C^{n-1}_4 = \left( 1+{4\over n-4}\right)C^{n-1}_4 =C^{n-1}_4 +{4\over n-4}C^{n-1}_4 \\ =C^{n-1}_4 +{4\over n-4}\cdot {(n-1)! \over 4!(n-5)!} =C^{n-1}_4 + {(n-1)! \over 3!(n-4)!} =C^{n-1}_4+ C^{n-1}_3 \\ \Rightarrow C^n_4=C^{n-1}_4+ C^{n-1}_3\\ 同理,依此類推C^n_4=C^{n-1}_3 + C^{n-1}_4  = C^{n-1}_3+ C^{n-2}_3 +C^{n-2}_4 =C^{n-1}_3+ C^{n-2}_3 +\cdots +C^3_3$$

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