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2021年1月20日 星期三

nC4= (n-1)C3 + (n-2)C3 +.... + 3C3

Cn4=n1k=3Ck3
證明
方法一
Cn4:n個人任取4人的組合數;假設n個人中有一個叫派大星的,因此取4人可以分成有選到派大星及沒有選到派大星的組合數。
派大星必選:n個人中,先將派大星選出,在剩下的n1人任選3人,組合數為Cn13
不選派大星:n個人中,先將派大星剔出,在剩下的n1人任選4人,組合數為Cn14
因此,n個人任取4人的組合數=Cn13+Cn14,即Cn4=Cn13+Cn14
同理Cn14=Cn23+Cn24=Cn23+Cn33+Cn34==Cn23+Cn33++C33,因此Cn4=n1k=3Ck3

方法二Cn4=n!4!(n4)!=nn4(n1)!4!(n5)!=nn4Cn14=(1+4n4)Cn14=Cn14+4n4Cn14=Cn14+4n4(n1)!4!(n5)!=Cn14+(n1)!3!(n4)!=Cn14+Cn13Cn4=Cn14+Cn13Cn4=Cn13+Cn14=Cn13+Cn23+Cn24=Cn13+Cn23++C33

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