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2021年1月16日 星期六

106年臺北市麗山高中教師甄選-數學詳解

臺北市立麗山高級中學106學年度第1次教師甄選

一、填充題

1. 下圖為某班的教室座位配置圖,現將甲、乙、丙等 30 位同學隨機安排入坐,每格恰坐 1 位,則甲、乙、丙三人彼此皆不相鄰的機率為_____。(前後相鄰或左右相鄰都算相鄰)

30格任選3格有C303=4060選法;

上下相鄰的矩形有6×4=24個,左右相鄰的矩形有5×5=25個;

因此30個格子取3格,其中有2格相鄰(左右相鄰或上下相鄰)的有28(24+25)=1372種選法,其中第三個格子在剩下28格中任選; 

3個格子相鄰的有垂直形的矩形3×6=18個、水平形的矩形4×5=20個,及缺角正方形有5×4=20個;缺角正方形缺角可能出現在右上、左上、左下、右下4個方向,所以缺角正方形有20×4=80種;

因此相鄰的情形有1372182080=1254 不相鄰的機率為112544060=14032030

2. 已知10=23+2可用二進位表示為(1010)2,是二進位中的 4 位數;100=26+25+22可用二進位表示為(1100100)2,是二進位中的 7 位數。請問10100是二進位中的___位數。(log2=0.3010)

log210100=100log10log2=100log2332.210100332+1=333

3. 如圖,13 個小正方形排列,若要塗上紅、黃、藍三種顏色,並規定每個小正方形恰塗一色,相鄰不同色,則有___________種塗法。



1536+96+768+1536=3936

4. 四邊形ABCD中,¯BC=¯CDABC=114BCD=144BAC=30,則ADC=_____ 。

 


¯CB=¯CD=aCBD=CDB=(180144)÷2=18DBA=11418=96BDA=θCDA=1809630θ=54θ:{ABCasin30=¯ACsin114ACDasin(54θ)=¯ACsin(18+θ)¯AC=2asin114=sin(18+θ)sin(54θ)a2sin114=2cos24=sin(18+θ)sin(54θ)2cos24sin(54θ)=sin(18+θ)sin(78θ)+sin(30θ)=sin(18+θ)θ=30ADC=18+θ=48

5. 若limx21x=L,則x與2的距離|x2|小於等於何值時,其函數值與L的差|1xL|最多是110000?____ 。


L=12|1xL|110000121100001x12+1100004999100001x500110000100005001x10000499925001x224999|x2|25001|1xL|110000 

6. 設a=(5,5,2),b=(2,1,2),c=(2,2,1),則|a+tb+sc|的最小值=_________。 

{a=(5,5,2)b=(2,1,2)c=(2,2,1)|a+tb+sc|=|(5+2t+2s,5+t2s,22t+s)|=(5+2t+2s)2+(5+t2s)2+(22t+s)2=9(t+1)2+9(s+2)2+99=3

7. 若x213x+1=0,則x4+x4的個位數字=__________。


 

x213x+1=0α,β{αβ=1α+β=13{α=xβ=1xx+1x=13x2+1x2=(x+1x)22=1322=167A=x4+1x4=(x2+1x2)22=16722A92=7

8. 已知一雙曲線上任一點P(x,y)滿足到直線4x+y=24xy=0的距離乘積為定值 2,則該雙曲線的焦點到中心的距離為_________

:{2=a2b2a2+b2(1)4xy=0=4=ba(2)(2)b=4a(1)34a2=16a4a2=3416a=344b=4a=34c2=a2+b2=3416+34=34×1716c=1724

9. 求不等式3<[|x1|6]<3的解為________。([x]表不大於 x 之最大整數 )

3<[|x1|6]<3[|x1|6]=2,1,0,1,22|x1|6<34|x1|<9{4x1<99<x14{5x<108<x3

10. 設二階方陣[x+1xx5+1x5x27+1x27|x|]=[3abc],則序對(a,b,c)=________。

[x+1xx5+1x5x27+1x27|x|]=[3abc]{x+1x=3(1)x5+1x5=ax27+1x27=b|x|=c(1)x2+3x+1=0x=3±i2=cos5π6±isin5π6=e±i5π6,{x=ei5π6x1=ei5π6{a=x5+x5=ei25π6+ei25π6=eiπ6+eiπ6=3b=x27+x27=ei135π6+ei135π6=eiπ2+eiπ2=0c=|x|=|ei5π6|=1(a,b,c)=(3,0,1)

11. 設0θ<2π,不等式 sinθ+sin2θ>0的解為________。

sinθ+sin2θ=sinθ+2sinθcosθ=sinθ(1+2cosθ)>0{sinθ>0(1+2cosθ)>0sinθ<0(1+2cosθ)<0{0<θ<2π/3π<θ<4π/3

12. 設a,b,c,dR,abcd0,且a+b+c+d=0,則a(1b+1c+1d)+b(1c+1d+1a)+c(1d+1a+1b) +d(1a+1b+1c)之值為________。

a(1b+1c+1d)+b(1c+1d+1a)+c(1d+1a+1b)+d(1a+1b+1c)=(b+c+d)(1b+1c+1d)(a+c+d)(1c+1d+1a)(a+b+d)(1d+1a+1b)(a+b+c)(1a+1b+1c)=1a(3a+2(b+c+d))1b(3b+2(a+c+d))1c(3c+2(a+b+d))1d(3d+2(a+b+c))=1a(3a2a)1b(3b2b)1c(3c2c)1d(3d2d)=1111=4

13. 設f(x)=4x4x+2,試求 f(12017)+f(22017)+f(32017)+f(20162017)=________。

f(x)=4x4x+2=124x+2f(1x)=1241x+2=124x4+24x=14x4x+2f(x)+f(1x)=1f(12017)+f(22017)+f(32017)++f(20162017)=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]++[f(10082017)+f(10092017)]=[f(12017)+f(112017)]+[f(22017)+f(122017)]++[f(10082017)+f(110082017)]=1+1++1=1008

14. 已知0<θ<90,i=1O為原點,若複數平面上 z=cosθ+isinθ所在的位置為點Pz4所在的位置為點Qiz所在的位置為點Rθ,POQ,QOR三個角度依序成等比數列,則θ=________。

{P(z)=P(eiθ)Q(z4)=Q(ei4θ)R(iz)=R(ei(π2+θ)){POQ=4θθ=3θQOR=π2+θ4θ=π23θθ,3θ,(π23θ)(3θ)2=θ(π23θ)θ(12θπ2)=0θ=π24(θ=0,

15. 空間中O為原點,已知A(1,-1,-2),B(3,2,-1),C(1,-2,1),若由 {1\over 2^n}\overrightarrow{OA}{1\over 3^n}\overrightarrow{OB}{1\over 4^n}\overrightarrow{OC}所決定的平行六面體體積記為V_n,則 \sum_{n=1}^\infty V_n=________。

\cases{A(1,-1,-2) \\ B(3,2,-1)\\ C(1,-2,1)} \Rightarrow \cases{{1\over 2^n}\overrightarrow{OA}= (1/2^n,-1/2^n,-2/2^n) \\ {1\over 3^n}\overrightarrow{OB}= (3/3^n,2/3^n,-1/3^n) \\ {1\over 4^n}\overrightarrow{OC}= (1/4^n,-2/4^n,1/4^n) } \\ \Rightarrow V_n= {1\over 2^n} \cdot {1\over 3^n} \cdot {1\over 4^n}  \begin{Vmatrix}1 & -1 & -2\\ 3 & 2 & -1\\ 1 & -2 & 1\end{Vmatrix} ={1\over 24^n}\times 20 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty V_n= 20\left({1/24\over 1-1/24} \right) = \bbox[red,2pt]{20\over 23}

二、計算題、申論題

1. 設六個正數a、b、c、x、y、z,滿足 a+b+c=x+y+z,求證:{2a^2\over a+x}+ {2b^2\over b+y}+ {2c^2\over c+z}\ge a+b+c

{2a^2\over a+x} +{2b^2\over b+y} +{2c^2\over c+z} \\={a^2\over (\sqrt{a+x})^2}+{a^2\over (\sqrt{a+x})^2} +{b^2\over (\sqrt{b+y})^2}+ {b^2\over (\sqrt{b+y})^2} +{c^2\over (\sqrt{c+z})^2} +{c^2\over (\sqrt{c+z})^2} \\ \Rightarrow \left({a^2\over (\sqrt{a+x})^2}+{a^2\over (\sqrt{a+x})^2} +{b^2\over (\sqrt{b+y})^2}+ {b^2\over (\sqrt{b+y})^2} +{c^2\over (\sqrt{c+z})^2} +{c^2\over (\sqrt{c+z})^2}\right)\\\qquad\left((\sqrt{a+x})^2+(\sqrt{a+x})^2 +(\sqrt{b+y})^2+ (\sqrt{b+y})^2 +(\sqrt{c+z})^2 +(\sqrt{c+z})^2\right) \\ \qquad\ge (a+a+b+b +c+c)^2\\ \Rightarrow \left( {2a^2\over a+x} +{2b^2\over b+y} +{2c^2\over c+z}\right) \cdot 2(a+b+c+x+y+z) \ge 4(a+b+c)^2 \\ \Rightarrow \left( {2a^2\over a+x} +{2b^2\over b+y} +{2c^2\over c+z}\right) \cdot 4(a+b+c ) \ge 4(a+b+c)^2\\ \Rightarrow \left( {2a^2\over a+x} +{2b^2\over b+y} +{2c^2\over c+z}\right)  \ge  a+b+c,\bbox[red,2pt]{故得證}


2. 設p,q為大於 1 的正整數,若 p\gt q,x\gt 0;試證:{x^p-1\over p} \ge {x^q -1\over q}

f(x)={x^p-1\over p}-{x^q-1\over q} \Rightarrow f'(x)=x^{p-1}-x^{q-1} \Rightarrow \begin{cases} f'(x)\gt 0 & \text{if }x\gt 1,\\ f'(x)=0 & \text{if }x=1,\\ f'(x) < 0 &\text{if } x< 1;\end{cases} \\ \Rightarrow f(1)=0 為極小值 \Rightarrow f(x) \ge 0,即{x^p-1\over p}\ge {x^q-1\over q},\bbox[red,2pt]{故得證}

3. 如下圖所示,扇形AOB的圓心角 \angle AOB=\theta,\overline{OA}=1,圓O_1\overline{OA},\overline{OB},AB均相切,圓O_{n+1}的半徑比圓O_n小且與圓O_n外切,並與\overline{OA},\overline{OB}均相切,則圓O_n的面積為a_nn=1,2,3,\dots試求極限\lim_{\theta\to 0}{\sum_{k=1}^\infty a_k\over \theta}

本題未給圖形,無法作答


4. (1) 某金融卡的提款密碼規定為四碼,每一碼可以選用數字或英文字母,但密碼不能全部都只有英文字母(不區分大小寫)或全部都只有數字,請問共有幾組不同密碼可以選用?
(2) 請詳述您針對(1)小題的課程概念,讓學生正確學習相關數學觀念。

全部-全數字-全英文=36^4-10^4-26^4 =(10+26)^4 -10^4-26^4\\=(10^4+4\cdot 10^3\cdot 26 + 6\cdot 10^2\cdot 26^2 + 4\cdot 10\cdot 26^3+ 26^4)-10^4-26^4\\ =4\cdot 10^3\cdot 26 + 6\cdot 10^2\cdot 26^2 + 4\cdot 10\cdot 26^3 =2\cdot 10\cdot 26(2\cdot 10^2+ 3\cdot 10\cdot 26 + 2\cdot 26^2)\\ =520(200 + 780+1352) = 520\times 2332 = \bbox[red,2pt]{1212640}

5. (1)\triangle ABC中,\overline{AB}=10,\overline{AC}=9,\cos \angle BAC={3\over 8},設P、Q分別在\overline{AB}、\overline{AC}上,且滿足\triangle APQ面積為\triangle ABC面積之一半,求\overline{PQ}之最小值?
(2) 請詳述您針對(1)小題的課程概念,讓學生正確學習相關數學觀念。

令\cases{\overline{AP}=a\\ \overline{AQ}=b\\ \overline{PQ}=x} \Rightarrow \cases{\cos \theta = {a^2+b^2-x^2 \over 2ab}={3\over 8} \\ {\triangle APQ \over \triangle ABC} ={ab\over 10\times 9}={1\over 2}} \Rightarrow \cases{x^2=a^2+b^2 -{3\over 4}ab \cdots(1)\\ab=45 \cdots(2)}\\ 將(2)代入(1) \Rightarrow x^2=a^2+b^2-{135\over 4} \ge 2\sqrt{a^2b^2}-{135\over 4} =90-{135\over 4}= {225\over 4}\\ \Rightarrow x\ge \sqrt{225 \over 4} ={15\over 2} \Rightarrow \overline{PQ}的最小值為\bbox[red,2pt]{15 \over 2}

解題僅供參考

4 則留言:

  1. 請教老師計算5,我的作法是a^2+b^2大於等於2ab=90,最後的結果和老師不同,請問我是否有哪個條件考慮不周,謝謝。

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    1. 經過電腦繪圖驗算,答案的確有誤,謝謝提醒,已修訂!!

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  2. 請問第一題的4x6=24是不是應該改成4x5=20?

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