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2021年3月30日 星期二

105年新北市立高中聯合教甄-數學詳解

新北市立高級中等學校105學年度教師聯合甄選

一、選擇題

1. 若αβγ 都是銳角,且tanα=12tanβ=15tanγ=18,則 α+β+γ=
(A)3π4 (B)π2 (C)π3 (D)π4

解答 tan(β+γ)=tanβ+tanγ1tanβtanγ=151811518=13tan(α+(β+γ))=tanα+tan(β+γ)1tanαtan(β+γ)=12+1311213=1α+β+γ=π4(D)

2. 不等式 a2x2<2x+a(a>0)的解集合為何?
(A)(0,a] (B)(a,a) (C)(,45a)(0,) (D)空集合

解答 a2x2<2x+a{a2x202x+a>0a2x2<(2x+a)2{axax>a/2x(5x+4a)>0{a/2<xax>0x<4a/50<xa(A)

3. 設ABC是一個面積為5的直角三角形,B=90DE 分別在 ¯BC¯AB 上且 ¯BD:¯DC=4:3¯AE:¯EB=2:5,求¯DE之最小值為何?
(A)207 (B)127 (C)167 (D)187

解答

{¯BD:¯DC=4:3¯AE:¯EB=2:5{¯AE=2n¯EB=5n¯BD=4m¯DC=3mABC=12ׯABׯBC5=12×7m×7nmn=1049¯DE2=¯EB2+¯BD2=25n2+16m2225n2×16m2=40mn=40×1049=40049¯DE40049=207(A)

4. 若已知 x2+y2+z2=11+272x+y+z=3+72 ,試求(x+y)(y+z)(z+x)+xyz之值為何?
(A)14 (B)15 (C)15 (D)14

解答 a=x+y+za2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)xy+yz+zx=12(a2(x2+y2+z2))(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=(az)(ax)(ay)+xyz=a3a2(x+y+z)+a(xy+yz+zx)=a(xy+yz+zx)=3+72×12((3+72)2(11+272))=3+74×6+274=416=14(D)

5. 圓內接 ABC 為正三角形,在劣弧BC 有一點 P。若弦¯AP¯BC 交於點 D,且 ¯BP=21¯PC=28,則¯PD=
(A)14 (B)13 (C)12 (D)11

解答 

{B=CPA=60C=APB=60BPC=60+60=120cosBPC=cos120=12=¯PC2+¯PB2¯BC22ׯPBׯPC=282+212¯BC22×28×21¯BC=737¯PDBPC¯CD:¯DB=¯PC:¯PB¯CD=737×2849=437ABDCPD(AAA)¯DP¯DB=¯PC¯AB¯DP337=28737¯DP=12(C)

二、填充題

1. 某個箱子中裝有紅、白、黃三種顏色的球,已知黃球的個數至多是白球個數的 12,且黃球的個數至少是紅球個數的13。若箱子中白球與黃球的個數和不大於104,則箱子中至多有____ 個紅球

解答 {R1W1Y1{Y12WW2YW+Y3Y(1)Y13R3YR(2)W+Y104(3)R3YW+Y104R104{R=104Y13RY=35W2Y=70W+Y=105此題主要的癥結在於球數是整數值,題意的不等式有分數計算,影響欲求的整數值!

2. 令P= 1!\times 2! \times 3!\times 4!\times 5!\times 6! \times 7! \times 8!\times 9!\times 10!,請問P的因數有 _______ 個是完全平方數。

解答 P=1!\times 2! \times 3!\times 4!\times 5!\times 6! \times 7! \times 8!\times 9!\times 10! \\ =2^9 \times 3^8\times 4^7 \times 5^6\times 6^5\times 7^4\times 8^3\times 9^2 \times 10^1 \\ =2^9 \times 3^8\times 2^{14} \times 5^6\times (2^5\times 3^5) \times 7^4\times 2^9\times 3^4 \times (2\times 5) \\= 2^{38}\times 3^{17} \times 5^7 \times 7^4\\ P是完全平方數 \Rightarrow P=(2^a\cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d)^2 \Rightarrow \cases{0\le a\le 19\\ 0\le b\le 8\\ 0\le c\le 3\\ 0\le d\le 2} \\ \Rightarrow 共有(19+1) \times (8+1)\times (3+1) \times (2+1) =\bbox[red,2pt]{2160}個

3. 從[0,1] 中任取兩數 a、b,並令c=a+b。若A、B、C 分別表示最接近a、b、c的整數,則 A+B=C的機率為____

解答 

令R(x)=最接近x的整數,則依C值分類(C=0:黃、C=1:藍、C=2:紅):\\\cases{C= R(c)=0\Rightarrow \cases{ 0\le c\lt 0.5\\A=R(a)=0 \Rightarrow 0\le a\lt 0.5\\ B= R(b)=0 \Rightarrow 0\le b \lt 0.5} \\ C=R(c)=1 \Rightarrow \cases{\cases{0.5\le c \lt 1.5 \\ A=R(a)=1 \Rightarrow 0.5\le a\lt 1.5\\ B=R(b)=0 \Rightarrow 0\le b\lt 0.5}\\ \cases{0.5\le c\lt 1.5\\ A=R(a)=0 \Rightarrow 0\le a\lt 0.5\\ B=R(b)=1 \Rightarrow 0.5\le b\lt 1.5}}\\ C=R(c)=2 \Rightarrow \cases{1.5\le c\le 2\\ A=R(a)=1 \Rightarrow 0.5\le a\lt 1.5\\ B=R(b)=1 \Rightarrow 0.5\le b\lt 1.5}}\\ 因此機率={色塊\over 全部}={6\over 8} =\bbox[red,2pt]{3\over 4}

4. 某遊樂園有一些遊客要乘坐遊園火車,已知遊園火車車廂的座位數可以調整,但每節車廂最多只可乘坐40人,且遊樂園規定每節車廂的人數都要相同。如果每節車廂只乘坐30人,則有一人無法上車;如果減少一節車廂,則在調整座位後所有遊客正好能平均分到各節車廂。試問原來要乘坐遊園火車的遊客總共有 _______ 人。

解答 假設遊客總數P \Rightarrow \cases{P=30a+1\\ P=(a-1)b},其中\cases{a為火車節數\\ b:當火車節數為a-1節時,每節車廂人數} \\ \Rightarrow 30a+1=(a-1)b \Rightarrow ab-b-30a=1 \Rightarrow a(b-30)-(b-30)=31\\ \Rightarrow (a-1)(b-30)=31,由於31為質數,且b\ge 31,只能取\cases{a-1=31\\ b-30=1} \\ \Rightarrow a=32 \Rightarrow P=30\times 32+1 =\bbox[red,2pt]{961}

5. 令 M=\{-2,0,1\}、N=\{1,2,3,4,5\}。若規定函數 f:M\to N 必須滿足對於每個 x\in M,x+f(x) +xf(x) 均為奇數,則符合這種規定的函數f 共有___ 個。

解答 三數相加為奇數,可分為三奇數及二偶一奇兩類;\\三奇數: x=1,f(1)=1,3,5、xf(x)=1,3,5,則有f(1)=1,f(1)=3,f(1)=3,3種函數;\\二偶一奇: x=-2,f(-2)=1,3,5,xf(x)=-2,-6,-10,也有3種函數;\\\qquad \qquad x=0,f(0)=1,3,5,xf(x)=0,也有3種函數\\ \qquad \qquad x=1,f(1)=2,4,xf(x)=2,4,有2種函數\\綜合上述,共有\#f(1)\times \#f(0) \times \#f(2)=(3+2)\times 3\times 3= \bbox[red,2pt]{45}個函數

6. 有三個小圓 A、B、C彼此外切, 且均內切於大圓 O;已知圓B與圓C的半徑相等,且圓A的半徑長為2。若圓A恰通過大圓O的圓心,則圓B的半徑長為___。

解答


假設\cases{圓B、圓C的圓心為點B及點C,半徑均為r\\ 圓A圓心為點A\\ 大圓圓心為點O}\qquad,如上圖;\\圓B與圓C有相同半徑,因此A及O均在\overline{BC}的中垂線上,因此大圓半徑\overline{OE}=圓A的直徑=4;\\令\overline{OD}=a,則\cases{\triangle ODB: (4-r)^2=a^2+r^2\\ \triangle ADB: (2+r)^2 = (2+a)^2 +r^2} \Rightarrow \cases{r=(16-a^2)/8 \cdots(1)\\ 4r=a^2+4a \cdots(2)} \\ 將(1)代入(2) \Rightarrow a={4\over 3} \Rightarrow r= \bbox[red,2pt]{16\over 9}

7. 不等式{4x^2 \over (1-\sqrt{1+2x})^2}\lt 2x+9 的解為_____。

解答 {4x^2 \over (1-\sqrt{1+2x})^2} \Rightarrow \cases{1+2x \ge 0\\ 1-\sqrt{1+2x} \ne 0} \Rightarrow \cases{x\ge -1/2 \\ x\ne 0}\cdots(1);\\{4x^2 \over (1-\sqrt{1+2x})^2} \lt 2x+9 \\\Rightarrow {4x^2 \over (2x+2)-2\sqrt{1+2x}} \lt 2x+9 \Rightarrow 4x^2 \lt (2x+2)(2x+9)-2(2x+9)\sqrt{2x+1} \\ \Rightarrow 4x^2 \lt 4x^2+22x+ 18-2(2x+9)\sqrt{2x+1} \Rightarrow (2x+9)\sqrt{2x+1} \lt 11x+9 \\ \Rightarrow (2x+9)^2(2x+1) \lt (11x+9)^2 \Rightarrow 8x^3 -45x^2 \lt 0 \Rightarrow x^2(8x-45) \lt 0\\ \Rightarrow x \lt {45\over 8} \cdots(2)\\ (1)\cap (2) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{-{1\over 2} \le x \lt {45\over 8}且x\ne 0}

8. 已知 y={105^x-105^{-x} \over 105}y={a \over 105^x+ 105^{-x}} 相交於兩點 A、B,若 \overline{AB} =1 ,求a=______。

解答 兩圖形\cases{y=f(x)={105^x+105^{-x} \over 105} \\y=g(x)= {a\over 105^x +105^{-x}}}皆對稱y軸,因此兩圖形交點可設為\cases{A(k, f(k)=g(k))\\ B(-k,f(k)=g(k))} ;\\ \overline{AB}=1 \Rightarrow k=1/2 \Rightarrow f(1/2)=g(1/2) \Rightarrow {105^{1/2}+105^{-1/2} \over 105} ={a\over 105^{1/2}+105^{-1/2}}\\ \Rightarrow a={105^2 +211 \over 105^2} =\bbox[red, 2pt]{1{211\over 105^2}}

 9. 某項工程,若由甲、乙兩家工程公司承包,需{12\over 5} 天完成,要付 180000 元;由乙、丙兩家工程公司承包,需{15\over 4} 天完成,要付 150000 元;由甲、丙兩家工程公司承包,需{20\over 7} 天完成,要付 160000 元。現在若在工程必須在一週內完成的前提下,由一家公司獨自承包此工程,則由 _____ 工程公司承包最省錢。

解答 假設\cases{由甲獨自承包需要x天,每天工程費為a元\\由乙獨自承包需要y天,每天工程費為b元\\由丙獨自承包需要z天,每天工程費為c元},則 \cases{{1\over {1/x+1/y}}={12\over 5} \\  {1\over {1/y+1/z}}={15\over 4} \\{1\over {1/x+1/z}}={20\over 7} } \Rightarrow \cases{{1\over x} +{1\over y}={5\over 12 } \cdots(1)\\ {1\over y} +{1\over z}={4\over 15 } \cdots(2)\\{1\over z} +{1\over x}={7\over 20 }  \cdots(3)} \\(1)-(2) \Rightarrow {1\over x}-{1\over z}={3\over 20}\cdots(4),(3)+(4) \Rightarrow x=4 \Rightarrow \cases{y=6\\ z=10};\\ 再由\cases{{12\over 5}(a+b)=180000\\ {15\over 4}(b+c) = 150000\\ {20\over 7 }(c+a)=160000} \Rightarrow \cases{a+b = 75000 \\ b+c =40000 \\ c+a= 56000 } \Rightarrow \cases{a= 45500\\ b=29500 \\ c=10500} \\ \Rightarrow \cases{由甲獨自承包需要4\times 45500=182000元\\由乙獨自承包需要6\times 29500=177000 元\\由丙獨自承包需要10\times 10500=105000元} \Rightarrow 丙獨自承作最便宜,但工期超過一星期\\,因此\bbox[red,2pt]{乙}承作最省錢;

10. 考慮方程式 x^2+2ax+b^2=0,若 a是從[0,3] 中任取一數,b 是從 [0,2] 中任取一數 ,則方程式有實數根的機率為 ___

解答

x^2+2ax+b^2=0有實根\Rightarrow 4a^2-4b^2 \ge 0 \Rightarrow (a+b)(a-b)\ge 0 \\ \Rightarrow P\left({a\ge b\;\cap\; a\in [0,3]\;\cap\; b\in[0,2]\over a\in [0,3]\;\cap \;b\in[0,2]}\right) ={ABCD面積\over ABCE面積} ={2\times 3-(2\times 2)\div 2\over 2\times 3} ={4\over 6} =\bbox[red,2pt]{2\over 3}

11. 若 (1+x+x^2)^{1000} 的展開式為a_0+ a_1x+ a_2x^2 + \cdots +a_{2000}x^{2000},則a_0+a_3 +a_6 +a_9 +\cdots +a_{1998} 之值為____。

解答 x^3-1=0之三根為\cases{e^{i2\pi/3} =\omega\\ e^{i4\pi/3} =\omega^2\\ e^{i2\pi} =1 },則\omega及\omega^2為x^2+x+1=0之二根\\ f(x)=(1+x+x^2)^{1000} = \sum_{k=0}^{2000}a_kx^k \Rightarrow \cases{f(1)=3^{1000}= \sum_{k=0}^{2000}a_k \\f(\omega) =0 =\sum_{k=0}^{2000}a_k\omega^k \\ f(\omega^2)=0 =\sum_{k=0}^{2000}a_k\omega^{2k}} \\ \Rightarrow f(1)+f(\omega)+ f(\omega^2)=3^{1000} =(1+1+1)a_0 + (1+\omega+\omega^2)a_1 +(1+\omega^2+\omega )a_2 \\ \qquad+(1+1+1) a_3 +(1+\omega+\omega^2)a_4+ (1+\omega^2+\omega)a_5+\cdots (1+\omega^2+\omega)a_{2000} \\ \qquad =3(a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{1998})\\ \Rightarrow a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{1998}=3^{1000}\div 3  = \bbox[red,2pt]{3^{999}}

12. 設 a \lt 0,則方程式 (a-1) (\sin 2x +\cos x) + (a+1) (\sin x-\cos 2x)=0在區間 (-\pi ,\pi) 內有____個解

解答 (a-1)(\sin(2x) + \cos x)+(a+1)(\sin x-\cos (2x))=0 \\\Rightarrow a={\sin(2x)-\sin x+\cos (2x)+\cos x\over \sin(2x)+ \sin x + \cos x-\cos (2x)} = {2\sin x\cos x-\sin x+2\cos^2 x-1+\cos x\over 2\sin x\cos x+ \sin x + \cos x-2\cos^2 x+1}\\ = {\sin x(2\cos x-1)+ \cos x(2\cos  x-1)+2\cos x-1\over \sin x(2\cos x+ 1) -\cos x(2\cos x+1)+2\cos x+1} = {\sin x(2\cos x-1)+ (\cos x+1)(2\cos  x-1) \over \sin x(2\cos x+ 1)+ (2\cos x+1)(1-\cos x)} \\ ={(2\cos x-1)(\sin x+\cos x+1) \over (2\cos x+1)(\sin x-\cos x+1)}\cdots(1)\\ 將\cases{\sin x=\cfrac{2\tan (x/2)}{1+\tan^2 (x/2)} \\\cos x=\cfrac{1-\tan^2 (x/2)}{1+\tan^2 (x/2)}} 代入\cfrac{ \sin x+\cos x+1}{ \sin x-\cos x+1} = \cfrac{2\tan(x/2)+2}{2\tan^2 (x/2)+2\tan(x/2)} =\cfrac{1}{\tan(x/2)}\\ =\cot(x/2);因此(1) \Rightarrow a=\cfrac{2\cos x-1}{2\cos x+1}\cdot \cot(x/2) \Rightarrow a\tan(x/2) = \cfrac{2\cos x-1}{2\cos x+1}\cdots(2)\\令t=\tan(x/2),則\cfrac{2\cos x-1}{2\cos x+1}=  \cfrac{2 \cdot\cfrac{1-t^2}{1+t^2}-1}{2 \cdot\cfrac{1-t^2}{1+t^2}+1} =\cfrac{1-3t^2}{3-t^2} 代回(2) \Rightarrow at=\cfrac{1-3t^2}{3-t^2}\\ 此題相當於求兩圖形\cases{y=f(t)=at\\ y=g(t)=\cfrac{1-3t^2}{3-t^2}}有幾個交點 

先來看y=f(t)=at,為一條直線,且斜率a\lt 1,因此該直線通過二、四象限;\\再來是y=g(t)=\cfrac{1-3t^2 }{3-t^2} \Rightarrow \lim_{t\to \pm \infty} g(t)=3及分母為0的直線t=\pm \sqrt 3;\\因此y=g(t)有三條漸近線\cases{y=3\\ t=\sqrt 3\\ t=-\sqrt 3},又g(-t)=g(t),即圖形對稱y軸且通過(0,1/3)\\,其圖形如上圖,因此兩圖形有3個交點;\\最後考慮式(1)分母為0的情形,即\cases{2\cos x+1=0 \\ \sin x-\cos x+1=0} \Rightarrow \cases{x=\pm 2\pi/3\\ x=0,-\pi/2}代回原式\\,只有x=-\pi/2符合原式,即t=\tan(-{\pi\over 4})=-1(不含在原三個交點內),因此共\bbox[red,2pt]{4}個交點

三、計算題:

1. 已知橢圓 {x^2\over 3} +{y^2 \over 2}=1 的左、右焦點分別為 F_1F_2,過焦點F_1的直線交橢圓於B、D兩點,過焦點 F_2 的直線交橢圓於A、C兩點,且\overleftrightarrow{AC} \bot \overleftrightarrow{BD},垂足為點P。則四邊形ABCD 面積的最小值為____?

解答: 




{x^2\over 3} +{y^2 \over 2}=1 \Rightarrow \cases{a=\sqrt 3\\ b=\sqrt 2} \Rightarrow c=1 \Rightarrow \cases{F_1(-1,0)\\ F_2(1,0)};並 假設\cases{A(x_a,y_a)\\ B(x_b,y_b)\\ C(x_c,y_c)\\ D(x_d,y_d)},見上圖;\\ 假設\cases{L_1= \overleftrightarrow{BD},斜率為m \\ L_2=\overleftrightarrow{AC},斜率為-1/m} \Rightarrow \cases{L_1: y=m(x+1)\\ L_2: y=-{1\over m}(x-1)} 代回原橢圓方程式,\\可得\cases{{x^2\over 3}+{m^2(x+1)^2 \over 2}=1 \\ {x^2\over 3} +{(x-1)^2 \over 2m^2} =1} \Rightarrow \cases{(3m^2+2)x^2 +6m^2x+3m^2-6=0 \\ (2m^2+3)x^2 -6x+3-6m^2=0}\\ \Rightarrow \cases{x_b+x_d=-{6m^2\over 3m^2+2}, x_bx_d={3m^2-6 \over 3m^2+2} \\ x_a+x_c={6\over 2m^2+3}, x_ax_c= {3-6m^2\over 2m^2+3}}\\ \Rightarrow \cases{(x_b-x_d)^2 = (x_b+x_d)^2- 4x_bx_d = {48m^2+48 \over (3m^2+2)^2} \\ (x_a-x_c)^2 = (x_a+x_c)^2-4x_ax_c = {48m^4+48m^2  \over (2m^2+3)^2}} \Rightarrow \cases{|x_b-x_d| ={4\sqrt 3\sqrt{m^2+1} \over 3m^2+2} \\ |x_a-x_c| ={ 4\sqrt 3 \sqrt{m^2(m^2+1)}\over 2m^2+3}} \\ \Rightarrow \cases{\overline{BD} =\sqrt{m^2+1}|x_b-x_d| ={4\sqrt 3(m^2+1)\over 3m^2+2}\\ \overline{AC} =\sqrt{m^2+1\over m^2} |x_a-x_c| ={4\sqrt 3(m^2+1)\over 2m^2+3}} \\ \Rightarrow ABCD 面積={1\over 2}\times \overline{BC}\times \overline{AD} ={24(m^2+1)^2 \over (3m^2+2)(2m^2+3)} \ge {24(m^2+1)^2 \over [((3m^2+2)+(2m^2+3)) \div 2]^2}\\ ={24(m^2+1)^2 \over {25\over 4}(m^2+1)^2}  =\bbox[red,2pt]{96 \over 25}

2 則留言:

  1. 請問選擇題第4題是題目有誤嗎?(x+y)(y+z)(z-x)+xyz=?還是?(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=?謝謝

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