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2021年3月9日 星期二

106年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學106年第一次教師甄選

一、填充題A部分 

1. 設x,y,zR,已知{x+y+z=3xy+yz+zx=9,求 x 的最大值與最小值。

解答 {x+y+z=3(1)xy+yz+zx=9(2)(1):y+z=3x(2)x(y+z)+yz=9x(3x)+yz=9yz=x23x9(yz)2=(y+z)24yz=(3x)24(x23x9)=3(x5)(x+3)02x5{x=5x=2

2. 從 5,6,7,8 這四種數字中選出四個寫成四位數(數字可重複使用); 若 5 的右邊不能緊接著 6,且 5 的右邊不能緊接著 7; 則這樣的四位數共有幾個?

解答 4555551355558155851585516855532555868358581586853685583685853686855915586868968586896868589686868527568686868811+6+22+54+81=164

3. 某人擲兩顆骰子,若擲出之點數和為 9 時,可得 200 元,並可繼續投擲,若第二回又擲出點數和為 9,則又再得200 元,並可繼續投擲。重複此法直到點數和非 9 時,求此人所得的期望值。

解答 9(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)44/36=1/9200×19+200×192+200×193+=200×1/911/9=200×18=25

4. 設直線 L 與函數f(x)=x3+2x5的圖形交於相異三點 A、 B 、 C 。若 A、 B 、 C 三點的 x 坐標成等差數列,且¯AC=45,則直線L的方程式為 ______

解答 L:y=mx+b{y=f(x)=x3+2x5y=mx+bx3+2x5=mx+bx3+(m2)x+b+5=0α,βγ(α<β<γ)α+β+γ=0α+γ=2βα+β+γ=3β=0β=0(0,f(0))=(0,5)b=5x3+(m2)x=0{α=2mβ=0γ=2m{A(2m,m2m5)B(0,5)C(2m,m2m5)¯AC=454(2m)+4m2(2m)=(45)2m32m2+m+18=0(m+2)(m24m+9)=0m=2L:y=2x5

5. 已知空間中兩點 A(7,6,3),B(5,1,2) 與直線L:x12=y=z32,若 P為直線L上的動點,求¯PA+¯PB有最小值時的P點座標。

解答 {A(7,6,3)B(5,1,2)L:x12=y=z32LP(2t+1,t,2t+3)AB¯PA+¯PB=(2t6)2+(t6)2+(2t)2+(2t4)2+(t+1)2+(2t+1)2=9t236t+72+9t218t+18=3((t2)2+(02)2+(t1)2+(0(1))2)=3(¯QS+¯QT){Q(t,0)S(2,2)T(1,1)¯STQ¯STxt121=0+12+1t=43P(113,43,13)

6. 求limn(12+22++n2)(15+25++n5)(13+23++n3)(14+24++n4)=

解答 limn(12+22++n2)(15+25++n5)(13+23++n3)(14+24++n4)=n2((1n)2+(2n)2++(nn)2)n5((1n)5+(2n)5++(nn)5))n3((1n)3+(2n)3++(nn)3)((1n)4+(2n)4++(nn)4)=(nk=1(kn)2)(nk=1(kn)5)(nk=1(kn)3)(nk=1(kn)4)=(1nnk=1(kn)2)(1nnk=1(kn)5)(1nnk=1(kn)3)(1nnk=1(kn)4)=(10x2dx)(10x5dx)(10x3dx)(10x4dx)=13×1614×15=2018=109

7. ABC中,C=135¯BC=4,點D¯BC中點,則tanBAD的最大值為 _______

解答 

¯AE¯DE¯AF¯BFEFACC=135ECD=45ECDFCB{¯CE=¯EF=2¯BF=22;¯AC=atanBAD=tan(BAFDAE)=tanBAFtanDAE1+tanBAFtanDAE=f(a)=22a+222a+21+22a+22×2a+2=2aa2+32a+8f(a)=02a2+82(a2+32a+8)2=0a=22(22,a>0)tanBAD=f(22)=48+12+8=428=17

二、填充題B部分

1. 求20162019+20182019 除以20172的餘數

解答 20162019+20182019=(20171)2019+(2017+1)2019=2019k=0C2019k(2017k(1)2019k+2017k)=21010k=1C20192k120172k12C201912017mod201722×2019×2017mod201722×(2017+2)×2017mod201724×2017mod20172=8068

2. 若方程式x4+8x32x2+kx5=0的四個實根分別為abcd,而方程式 1xa+1xb+1xc+1xd=0的實根為 6,1,1,則k = _______

解答 f(x)=x4+8x32x2+kx5=(xa)(xb)(xc)(xd)f(x)=4x3+24x24x+k=(xa)(xb)(xc)+(xb)(xc)(xd)+(xa)(xc)(xd)+(xa)(xb)(xd)1xa+1xb+1xc+1xd=0(xa)(xb)(xc)(xd)(xa)(xb)(xc)+(xb)(xc)(xd)+(xa)(xc)(xd)+(xa)(xb)(xd)=0f(x)=06,1,1f(x)=4(x+6)(x+1)(x1)k=f(0)=24

3. 當f(t)=|t2(1)|+t420t24t+145有最小值時,此時的t值為何?

解答 

f(t)=|t2(1)|+t420t24t+145=|t2(1)|+(t212)2+(2t1)2=¯PQ+(Py=1){P(2t,t2)Px2=4yQ(1,12)P{x=1x2=4yf(t)2t=1t=12

4. 設 0<x<π2, 若 tanx=m 時,函數 f(x)=16sin6x+81cos6x有最小值為n,求數對(m,n) 之值

解答 f(x)=16sin6x+81cos6xf(x)=016cosxsin7x=81sinxcos7x16cos8x=81sin8xtan8x=1681tanx=23{sinx=2/5cosx=3/5f(tan123)=168/53+8127/53=253+353=54=625tanx=23f(x)625(m,n)=(23,625)

5. 袋中有 2 顆紅球、 2 顆黃球與 1 顆綠球。袋中每球被取出的機率相同。從袋中每次取出一球,取後不放回。若取出的球未滿三色則繼續取球;若取出的球累積到三色都至少有一顆即停止取球。則取球次數的期望值為何?

解答 3RYG3!3!×25×24×13=254(RRY)G33×25142312=110(YYR)G33×25142312=110(RRG)Y33×25141322=110(YYG)R33×25141322=1105(RRYY)G4!2!2!=66×2514231211=15=3×25+4×410+5×15=195

6. 若 f(x) 為二次實係數多項式函數,且滿足 {1f(2013)53f(2014)132f(2015)8,則 f(2017)的最大值為何?

解答 f(x)=ax2+bx+c{f(2013)=a20132+b2013+cf(2014)=a20142+b2014+cf(2015)=a20152+b2015+cf(2017)=a20172+b2017+cf(2017)=pf(2013)+qf(2014)+rf(2015){p20132+q20142+r20152=20172(1)2013p+2014q+2015r=2017(2)p+q+r=1(3),{(1)2013×(2)2014q+20152r=20174(4)(2)2013×(3)q+2r=4(5)(4)2014×(5)2r=34=12r=6(5)q+12=4q=8{q=8r=6(3)p8+6=1p=3{1f(2013)53f(2014)132f(2015)8p(2017)3×58×3+6×8=39

7. 將多項式 (a+b+c)2017+(abc)2017 展開並合併同類項,試問化簡後共有幾項?

解答 {(a+(b+C))2017=2017k=0(2017k)a2017k(b+c)k(a(b+C))2017=2017k=0(2017k)a2017k(1)k(b+c)k(a+(b+C))2017+(a(b+C))2017=21008k=0(20172k)a20172k(b+c)2k1008k=0(2k+1)=1009×1+2×1008×1009÷2=1018081

8. 將 (1,2,3,4,5,6,7) 重新排列成(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7),若重排呈現a1+a2+a3a5+a6+a7,則稱此重排是「前重」的,例如(3,4,5,6,7,1,2)、 (7,3,1,6,5,4,2)均為「前重」的重排。依此定義能排出「前重」的重排的機率為___

解答 1+2++7=8×7÷2=28a4a4=2==13:=(3,4,6)=(1,5,7)a4=4==12:=(1,5,6)=(2,3,7)a4=6==11:=(1,3,7)=(2,4,5)3!×3!×2=7272×3=216p=2167!=3701p=6770>(1p)/2=p+1p2=1+p2=73140

三、計算題

1. 請以各種不同的解題方法求點到直線距離。

題目:求點 P(8,7) 到直線 L:4x3y+19=0 的距離。

說明 1:請於每種方法概述該法的主要解題結構,再列出解題過程。

說明 2: 每種方法得 3 分,本題上限 12 分。

解答 :|3221+19|42+32=6:(8,7)(t,(4t+19)/3):LQ(0,19/3)PQL...:LQRPQR=12¯QR×hhPL

2. 數列 an 滿足 {a1=6an=2an14n+13,n2,則a50是幾位數?(已知log20.3010,log30.4771,log70.8451)

解答 an=2an14n+13an4n=2(an14(n1))+5bn=2bn1+5{b1=a14=64=2bn=an4n,n2b50=2b49+5=2(2b48+5)+5=249b1+5(1+2+22++248)=250+5(2491)=72495a50=b50+4×50=7249+150log(7249)=log7+49×log2=0.8451+49×0.301=15.5941a5016

3. 空間座標中,聯立不等式 {x2+y21y2+z21 的所有點所形成的體積為何?

解答 163R3R=1163

4. 證明: 115<C100502100<110

解答 p=C100502100=10099981((502)(492)(482)(12))2=10099981(10098962)2=999795110098962q=1009896210199971r=98969429997951pq=1101,pr=1100p<qp2<pq=1101<1100p2<1100p<110(1)p=999795110098962=12×999795110098964>12×98969429997951=12rp2>12pr=1200>1225p>1225=115(2)(1)(2):115<p<110

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