110年身障生升大學-數學乙詳解

110 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：大學組數學乙

解答：$$假設移動a次，則8-(\sqrt 3 a-1) \lt 0.5 \Rightarrow {8.5\over \sqrt 3}\lt a \Rightarrow a \gt 4.9 \Rightarrow a=5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$假設全班\cases{國文成績\langle a_i\rangle，國文平均為\bar a \\英文成績\langle b_i\rangle，英文平均為\bar b \\數學成績\langle c_i\rangle，數學平均為\bar c}，某生\cases{國文成績a_i\\ 英文成績b_i\\ 數學成績c_i}，則\cases{a_i=\bar a+3\\ b_i=\bar b+1 \\ c_i=\bar c-5}\\ 因此某生三科總分為a_i+b_i+c_i =(\bar a+\bar b+\bar c)-1，為全班三科平均總和還少一分，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$垂直線無斜率，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$取\begin{vmatrix} 8 & -1\\ 4 & 6\end{vmatrix} =48+4=52，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{g(1)=1,g(2)=2,g(3)=3\\ h(1)=2,h(2)=4,h(3)=6} \Rightarrow \cases{取p(x)=g(x)-x\\ 取q(x)=h(x)-2x} \Rightarrow \cases{x=1,2,3為q(x)=0之三根 \\x=1,2,3為p(x)=0之三根 } \\ \Rightarrow \cases{p(x)=g(x)-x=a(x-1)(x-2)(x-3),a為常數\\ q(x)=h(x)-2x=b(x-1)(x-2)(x-3),b為常數} \\ \Rightarrow \cases{g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+x\\ h(x)=b(x-1)(x-2)(x-3)+2x}  \\\Rightarrow f(x)=g(x)(x-1)-h(x)(x-2) \\=a(x-1)^2(x-2)(x-3)+x(x-1)-b(x-1)(x-2)^2(x-3)-2x(x-2)\\ =a(x-1)^2(x-2)(x-3)-b(x-1)(x-2)^2(x-3)+x^2-x-2x^2+4x\\ =a(x-1)^2(x-2)(x-3)-b(x-1)(x-2)^2(x-3)-x^2+3x\\ =a(x-1)^2(x-2)(x-3)-b(x-1)(x-2)^2(x-3)-x(x-3)\\ \Rightarrow x-3為f(x)之因式，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\log a=m+k\\ \log b=n+k},m\gt n\gt 0,且m,n\in Z，0\lt k\lt 1；\Rightarrow \cases{a=10^{m+k}\\ b=10^{n+k}}\\(A)\bigcirc: {b\over a}=10^{m-n} \gt 1 \Rightarrow b就是a與b的公因數 \\(B)\times: ab=10^{m+n+2k}，m+n不一定是偶數\Rightarrow ab不一定完全平方數\\ (C)\times: 若\cases{m=2\\n=1} \Rightarrow a+b= 10^{2+k}+10^{1+k} = 10(10^{1+k}+10^k)，\\\qquad 由於10^k不一定是整數，所以a+b不一定是10的倍數\\(D)\times: 例子同(C) \Rightarrow a-b=10(10^{1+k}-10^k)，理由同(C)\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{\sqrt{11} \in X\\ \sqrt{11} \not \in Y\\ \sqrt{11} \not \in Z}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$向量(1,1)與L方向向量垂直，三向量\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}與(1,1)的內積值相當於原點至L的距離\\，因此a=b=c，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$(|x|-12)(|x|-20)\lt 20 \Rightarrow 12 \lt |x|\lt 20 \Rightarrow |x|=13,14,\dots,19\\ \Rightarrow x=\pm 13,\pm 14,\dots,\pm 19，共14個，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{A: \log_2 2^{\log 4} =\log 4\times \log_2 2= \log 4 =2\log 2 \approx 0.602\\ B:\log_2 (2\times 2^{\log 2}) = \log_2 2+ \log_2 2^{\log 2} =1+ \log 2=1.301\\ C:\log_2 4^{{1\over 2}\log 2} =\log_2 2^{\log 2} =\log 2=0.301\\ D:\log_2 4^{\sqrt{\log 2}} = \log_2 2^{2\sqrt{\log 2}} =2\sqrt{\log 2}=a \Rightarrow a^2=4\log 2=1.204 \Rightarrow a \lt 1.2}\\ \Rightarrow B最大，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$點數和為2的倍數: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6)\\(5,1), (5,3),(5,5), (6,2),(6,4),(6,6)，共有18種，機率a={1\over 36}={1\over 2}\\點數和為3的倍數: (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),   (6,3), (6,6)\\共有12種，機率b={12\over 36}={1\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(A)\times: \cases{M_1=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} \\M_2=\begin{bmatrix} c & d\\ a & b\end{bmatrix}} \Rightarrow 將M_1第1列與第2列互換就是M_2，但det(M_1)\ne det(M_2)\\ (B)\times:\cases{\cases{2x+3y=10\\ 2x+3y=8} 無解\\ \cases{2x+3y=10\\ 2x+3y=10}無窮多組解} \\(D)\times: 例子同(B)\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$L:\cases{x=2-3t\\ y=3+4t} \Rightarrow 方向向量為(-3,4)；\\只有(D)的方向向量也是(-3,4)，兩者平行，但沒有交點，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$假設販售燃油車x台及販售電動車y台，則在此條件下\cases{x+y=1800\\ 0\le x\le 700\\ 0\le y\\ y\ge 2x}，\\ 求f(x,y)=10x+8y的最大值；由於直線x+y=1800與y=2x的交點為(600,1200)及(0,1800)\\因此\cases{f(600,1200)= 15600\\ f(0,1800)=14400} \Rightarrow f(x,y)最大值為15600萬元=1.56億元，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$(男,女)=(2,1),(2,1),(1,2)，共有C^5_2C^3_1C^3_2C^2_1C^1_1C^2_2 =10\times 3\times 3\times 2=180，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$甲乙兩組數據只差在第1與第2筆不同，其它都一樣；而甲組數據完全符合x越大則y越大；\\而乙組的(20,20)不符合x越大則y越大；因此r_1\gt r_2且m_1\gt m_2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(B)\cases{\vec u= \vec a-10\vec b\\ \vec v=\vec b} \Rightarrow \cases{|\vec u|^2=|\vec a|^2-20\vec a\cdot \vec b+100|\vec b|^2 \\ |\vec v|^2 =|\vec b|^2\\ \vec u\cdot \vec v=\vec a\cdot \vec b-10|\vec b|^2} \\ \Rightarrow |\vec u|^2|\vec v|^2 -(\vec u\cdot \vec v)^2 =|\vec a|^2|\vec b|^2-20\vec a\cdot \vec b|\vec b|^2+100|\vec b|^4 -((\vec a\cdot \vec b)^2-20\vec a\cdot \vec b|\vec b|^2+100|\vec b|^4)\\ =|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2 \Rightarrow 兩者所張面積相等，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$原期望值=3000\times {1\over 100}+1000\times {2\over 100} +500\times {2\over 100}+ 300\times {10\over 100} +100\times {85\over 100}= 175\\(A)\times: 獎金變少，機率及名額不變，則期望值變低\\(B)\times:\cases{原二獎、三獎及普狀期望值= (2\times 500+10\times 300+85\times 100)\div 97=12500\div 97\\改變後期望值=(3\times 500+8\times 300+ 86\times 100)\div 97=12500\div 97} \Rightarrow 沒變\\(C)\times: \cases{原特獎及普獎期望值=(3000+85\times 100)\div 86=11500\div 86\\ 改變後期望值=(5000+85\times 50)\div 86 =92500\div 86} \Rightarrow 變少\\ (D)\bigcirc:\cases{原三獎及普獎期望值=(10\times 300+85\times 100)\div 96=11500\div 95\\ 改變後期望值=(10\times 150+85\times 150)\div 95= 14250\div 95} \Rightarrow 變多\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$令g(x)=(2x+3)f(x)+1，由題意知:g(a)=0 \Rightarrow (2a+3)f(a)+1=0 \Rightarrow f(a)=-{1\over 2a+3}\\又f(0)=2 \Rightarrow f(x)=xp(x)+f(0) \Rightarrow f(a)=ap(a)+f(0) \Rightarrow a \mid f(a)-f(0) \\ \Rightarrow a \mid \left(-{1\over 2a+3}-2\right) \Rightarrow a\mid -{4a+7 \over 2a+3} \Rightarrow a=-1 (a=-2 \Rightarrow -2\mid -1 矛盾)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}\\簡單來說:g(x)的常數項為7，g(a=-2)不可能是0$$

解答：$$假設\cases{大型車a輛\\ 小型車b輛\\ 機車c輛}，則1.5a+b+0.5c=10,a,b,c\in \mathbb{Z} \Rightarrow 3a+2b+c=20 \\ \Rightarrow \begin{array}{} a & b& c & 數量\\\hline 6 & 1-0 & - & 2 \\\hdashline 5 & 2-0 & -& 3\\\hdashline 4 & 4-0 & - & 5\\\hdashline 3 &5-0 & - & 6\\\hdashline 2& 7 -0& - & 8\\\hdashline 1 & 8-0& -  & 9\\\hdashline 0 & 10-0 & - & 11\\\hline \end{array} \Rightarrow 共有2+3+5+6+8+9+11=44\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$