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2021年6月16日 星期三

105年北一女教甄-數學詳解

臺北市立第一女子高級中學105學年度第二次教師甄選

一、 填充題 (每格 12 分, 共 72 分)

解答BAABECDCEDDEC8!FG7!×2FG8!7!×2BAECD8!7!×22×3=302406=5040
解答alog(x2+1)0<a<1logak8k(k5)0k8k(k5)1k8k2+5kk(k5)0k26k+8k(k5)0k(k5)(k4)(k2)0k52k4k8k(k5)>0k>80<k<5k>82k4
解答lim
解答

以F為旋轉中心,將P逆時鐘旋轉90度即為R;因此P(5\cos\theta, 3\sin \theta) 先平移(-4,0) \\\Rightarrow P'(5\cos\theta-4, 3\sin \theta) 再逆時鐘旋轉90度,即P''=\begin{bmatrix} 0& -1 \\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\cos\theta-4\\ 3\sin \theta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3\sin \theta\\ 5\cos\theta-4\\ \end{bmatrix}\\ 再平移(4,0) \Rightarrow R=(-3\sin \theta+4, 5\cos\theta-4),\\即\cases{x=-3\sin \theta+4\\ y=5\cos\theta-4} \Rightarrow ({x-4\over -3})^2 +({y+4\over 5})^2=1  \Rightarrow \bbox[red,2pt]{{(x-4)^2 \over 9}+ {(y+4)^2 \over 25}=1}
解答\cases{\triangle AFC \Rightarrow \overline{AF}=\overline{AC} \cos \angle A \\ \triangle ABE\Rightarrow \overline{AE}=\overline{AB} \cos \angle A} \Rightarrow \cases{\triangle ABC面積={1\over 2}\overline{AB} \cdot \overline{AC} \sin \angle A \\ \triangle AEF={1\over 2}\overline{AE}\cdot \overline{AF}\sin \angle A} \\ \Rightarrow   {\triangle AEF\over \triangle ABC} ={\overline{AB} \cdot \overline{AC} \cos^2 \angle A \over \overline{AB} \cdot \overline{AC} } =\cos^2 \angle A;同理可得 {\triangle BDF\over \triangle ABC}= \cos^2\angle B, {\triangle CDE\over \triangle ABC}=\cos^2 \angle C\\因此\triangle ADE:\triangle BDF: \triangle CDE =\cos^2 \angle A:\cos^2 \angle B:\cos^2 \angle C\\ 再由餘弦定理:\cases{\cos \angle A={16+36-25\over 48} ={9\over 16} \\\cos \angle B={16+25-36\over 40} ={1\over 8} \\\cos \angle C={25+36-16\over 60} ={3\over 4} } \\ \Rightarrow \triangle ADE:\triangle BDF: \triangle CDE ={81\over 256}: {1\over 64}: {9\over 16} = \bbox[red,2pt]{81:4:144}
解答x^2-2x+2=0的兩根為\cases{z_1=1+i\\ z_2=1-i} \Rightarrow \cases{A(z_1)=(1,1)\\ B(z_2)=(1,-1)} \Rightarrow \overline{AB}的中垂線L:y=0\\ x^2+2mx+1=0的兩根為\cases{z_3=-m+\sqrt{m^2-1} \\ z_4=-m-\sqrt{m^2-1}}\\若  相異實根\Rightarrow C(z_3)與D(z_4)的中垂線L':x=-m與L的交點O(-m,0)需滿足\overline{AO}=\overline{CO} \\\qquad \Rightarrow (m+1)^2+1 = m^2-1 \Rightarrow m=-3/2 (亦符合m^2-1 \gt 0)\\ 若共軛複根\Rightarrow C(z_3)與D(z_4)的中垂線L'=L:y=0且ABCD為一等腰梯形,一定在同一圓上,\\\qquad 因此只要m^2-1 \lt 0 \Rightarrow -1\lt m\lt 1,即符合四點共圓\\ 因此\bbox[red,2pt]{m=-{3\over 2}或-1\lt m\lt 1},則四點共圓;\\註:依題意「四個不同根」,因此不用考慮重根!
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 解題僅供參考,其他教甄試題及詳解

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