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2021年7月9日 星期五

拿破崙三角形

任意三角形各邊長分別向外側作正三角形,則此三個正三角形的重心連線構成一個正三角形

證明ABD,ACEBCFc=¯AB,b=¯AC,c=¯ABG1,G2,G3{¯AG1=c/3¯AG2=b/3{G1AB=60÷2=30G2AC=60÷2=30{cosG1AG2=¯AG12+¯AG22¯G1G222ׯAG1ׯAG2=(b2+c2)/3¯G1G222bc/3cosG1AG2=cos(A+60)=(cosA3sinA)/2(b2+c2)/3¯G1G222bc/3=cosA3sinA213(b2+c2)¯G1G22=13bc(cosA3sinA)¯G1G22=13(b2+c2)13bc(cosA3sinA)=13(b2+c2)13bc(b2+c2a22bc3sinA)=13(b2+c2)16(b2+c2a2)+33bcsinA=16(a2+b2+c2)+233ABC¯G2G32=¯G3G12=¯G1G22=16(a2+b2+c2)+233ABCG1G2G3


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