110年高中學力鑑定-數學詳解

110 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

一、 選擇題：（ 12 題，每題 5 分，共 60 分）

解答：$$(\sqrt 2)^2=2為有理數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\sum_{k=1}^4(3k+2) =\sum_{k=1}^4(3k)+ \sum_{k=1}^4(2) = (3+6+9+ 12) +( 2+ 2 + 2+ 2) =30+ 8=38，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$每個選項可選可不選，有2種可能，共有2^5=32種可能，需扣除不作答，即32-1=31\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$首項係數的絕對值越大開口越小，|-7|\gt 5\gt |-3|\gt 2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$a^0=1 \Rightarrow 圖形通過(0,1)並非(1,0)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$f(3)=81-216+225-90+8 =8=a+b+c+d +e，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: \displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x) \lt \lim_{x\to 2^-}f(x) \Rightarrow \lim_{x\to 2}f(x)不存在\\(B)\times: \cases{f(3)=5\\ \displaystyle \lim_{x\to 3^+}f(x) = \lim_{x\to 3^-}f(x)=3 \Rightarrow \lim_{x\to 3}f(x)=3} \Rightarrow \lim_{x\to 3}f(x)\ne f(3)\\(3)\times: \displaystyle\lim_{x\to 3^+}f(x) = \lim_{x\to 3^-}f(x)=3 \Rightarrow \lim_{x\to 3}f(x)=3存在\\ (D)\times: \displaystyle\lim_{x\to 5}f(x) = f(5)=1存在\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$擲骰子一次，出現偶數的機率與出現奇數的機率皆為{1\over 2}\\，因此擲骰子一次的期望值為{1\over 2}(6-2)=2，擲骰子三次的期望值=2\times 3=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$x^2+y^2+4x-6y+13=0 \Rightarrow (x^2+4x+4)+ (y^2-6y+9)+13-4-9=0\\ \Rightarrow (x+2)^2+ (y-3)^2=0 \Rightarrow (x,y)=(-2,3)為一點，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(A)\times: 第一式與第二相同，因此有無限多解\\ (B)\times: 第二式是第一式的2倍，因此有無限多解\\(D)\times: \cases{第1式乘2減去第2式可得z=4 \\第1式乘3減去第3式可得2z=7 \Rightarrow z=7/2}，兩者矛盾，故無解\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\displaystyle \lim_{n\to \infty}{3n^2+5\over 2n}=\infty，其他極限值皆為0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$去掉C點，其他三點A、B、D幾乎在一直線上，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

二、填充題：（ 10 題，每題 4 分，共 40 分）

解答：$$f(x)=x^{80}+ax^{50}+5x-3 = p(x)(x-1)+4 \Rightarrow f(1)=1+a+5-3=4 \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{1} $$

解答：$$細菌原來有a個\Rightarrow \cases{2天後變為ak^2=6.25\times 10^4 \\5天後變為ak^5=4\times 10^6}，兩式相除\Rightarrow {1\over k^3}={6.25\over 4}\times 10^{-2} ={6.25\over 400}\\ \Rightarrow k^3={400\over 6.25}=64 \Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{4} $$

解答：$$\cases{a=-8\\ r=1/2} \Rightarrow a_{10}=ar^9=(-8)\times ({1\over 2})^9 =-{1\over 2^6}=\bbox[red,2pt]{-{1\over 64}}$$

解答：$$\overline{AP}: \overline{PB}=2:3 \Rightarrow P=(3A+2B)\div 5 =((18,-9,3)+(2,-16,22))\div 5\\ =(20,-25,25)\div 5 =\bbox[red, 2pt]{(4,-5,5)}$$

解答：$$\cases{\sin \theta=4/5\\ \tan\theta \lt 0} \Rightarrow \cos\theta =-{3\over 5} \Rightarrow {4\cos\theta +1\over 3-2\sin \theta} ={-12/5+1 \over 3-8/5} ={-7/5\over 7/5}= \bbox[red, 2pt]{-1}$$

解答：$$A=((A+B)+(A-B))\div 2 ={1\over 2}\left(\begin{bmatrix}1& -2\\ 3& 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3 & 4\\ -1 & 1\end{bmatrix}\right) ={1\over 2} \begin{bmatrix}4 & 2\\ 2 & 2 \end{bmatrix} =\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$

解答：$$\cases{A(2,1)\\ B(4,3)\\ C(1,5)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB}=(2,2)\\ \overrightarrow{AC} =(-1,4)} \Rightarrow \triangle ABC={1\over 2}\begin{Vmatrix}2 & 2\\ -1& 4 \end{Vmatrix}={1\over 2}|8+2|=\bbox[red, 2pt]{5}$$

解答：$$令P\in L \Rightarrow P(2t,-t+1,2t-1)代入E \Rightarrow 3(2t)+2(-t+1)+(2t-1)=13\\ \Rightarrow 6t=12 \Rightarrow t=2 \Rightarrow P(4,-2+1,4-1)=\bbox[red, 2pt]{(4,-1,3)}$$

解答：$${第I類病患以甲藥治癒的比例\over 第I類病患以甲藥治癒的比例+第II類病患以甲藥治癒的比例}\\={0.8\times 0.8\over 0.8\times 0.8+ 0.2\times 0.4}={0.64\over 0.72}= \bbox[red, 2pt]{8\over 9}$$

解答：$$f(x)=(x-1)^2(x-2)^3(x-3) \lt 0 \Rightarrow (x-2)^3(x-3) \lt 0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{2\lt x\lt 3}$$

============= 解題僅供參考，其他學力鑑定考試及詳解============