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2021年11月28日 星期日

105年專技高考-電子工程技師-工程數學詳解

 105年專門職業及技術人員高等考試

等 別: 高等考試
類 科: 電子工程技師
科 目: 工程數學(包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率)

解答W={(a,b,b)a,bR}W={(0,c,c)cR}u1W,u2Wu1u2=0u1u2v=(3,2,6)=(3,4,4)+(0,2,2)(3,4,4)W,(0,2,2)W

解答
(一)T(x,y)=(2x,x+y)=[2011][xy](二)B={(2,3),(1,1)}=[2131]=P[3132003+132]P1
解答y+4y=0λ2+4=0λ=±2iyh=c1cos(2x)+c2sin(2x)yp=Ax+Byp+4yp=0+4Ax+4B=4x+8{A=1B=2yp=x+2y=yh+yp=c1cos(2x)+c2sin(2x)+x+2y=2c2sin(2x)+2c2cos(2x)+1{y(0)=4y(0)=1{c1+2=42c2+1=1{c1=2c2=1y=2cos(2x)sin(2x)+x+2
解答A=[4231]A{λ1=2λ2=5{v1=(1,3)v2=(2,1)x(t)=c1[13]e2t+c2[21]e5t[154]te2tx(0)=[73]c1[13]+c2[21]=[73]{c1+2c2=73c1+c2=3{c1=1/7c2=24/7x(t)=17[13]e2t+247[21]e5t[154]te2t

解答令\tan({\theta\over 2})=t \Rightarrow \cases{\cos({\theta\over 2})={1\over \sqrt{1+t^2}} \Rightarrow \cos\theta =2\cos^2 ({\theta\over 2})-1 ={2\over 1+t^2}-1= {1-t^2\over 1+t^2} \\ {1\over 2}\sec^2{\theta\over 2}d\theta =dt \Rightarrow {1+t^2\over 2}d\theta = dt \Rightarrow d\theta = {2\over 1+t^2}dt} \\ \Rightarrow \cases{\cos\theta = {1-t^2\over 1+t^2} \\ d\theta ={2\over 1+t^2}dt} \Rightarrow \int_0^\pi {d\theta \over a+\cos \theta} =\int_0^\infty {{2dt\over 1+t^2}\over a+{1-t^2\over 1+t^2}} \\= \int_0^\infty {2 \over a(1+t^2)+1-t^2}dt = \int_0^\infty {2 \over a+1+(a-1)t^2 }dt  ={2\over a-1}\int_0^\infty {1 \over {a+1\over a-1}+t^2}dt\\= \left.{2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\tan^{-1}{t\over \sqrt{a+1\over a-1} }\right|_0^\infty (\because \int {1\over k^2+x^2}dx={1\over k}\tan^{-1}({x\over k})+c) \\={2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\cdot {\pi\over 2} ={\pi \over \sqrt{a^2-1}},\bbox[red,2pt]{故得證}

解答依題意共試驗m+r次,其中有r次成功、m次失敗,且第m+r次為失敗;\\又試驗m+r-1次,其中有r次成功、m-1次失敗的機率為C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m-1},\\再加上一次失敗的機率即為所求,也就是\bbox[red,2pt]{C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m}}
=================== END ====================
解題僅供參考,其他國考試題及詳解









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