105年專門職業及技術人員高等考試
等 別: 高等考試
類 科: 電子工程技師
科 目: 工程數學(包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率)
解答:W={(a,b,b)∣a,b∈R},取W⊥={(0,c,−c)∣c∈R},則∀→u1∈W,→u2∈W⊥,→u1⋅→u2=0,即→u1⊥→u2;v=(3,2,6)=(3,4,4)+(0,−2,2),其中(3,4,4)∈W,(0,−2,2)∈W⊥
解答:
(一)T(x,y)=(2x,x+y)=[2011][xy](二)B′={(−2,3),(1,−1)}=[−213−1]=P[−3−√13200−3+√132]P−1
解答:先求齊次解,即y″+4y=0⇒λ2+4=0⇒λ=±2i⇒yh=c1cos(2x)+c2sin(2x)再令非齊次解yp=Ax+B⇒y″p+4yp=0+4Ax+4B=4x+8⇒{A=1B=2⇒yp=x+2⇒y=yh+yp=c1cos(2x)+c2sin(2x)+x+2⇒y′=−2c2sin(2x)+2c2cos(2x)+1將初始值{y(0)=4y′(0)=−1代入可得{c1+2=42c2+1=−1⇒{c1=2c2=−1⇒y=2cos(2x)−sin(2x)+x+2
解答:A=[4231]⇒A的特徵值{λ1=−2λ2=5及其對應特徵向量{→v1=(−1,3)→v2=(2,1)⇒x(t)=c1[−13]e−2t+c2[21]e5t−[154]te−2t再由初始值x(0)=[73]⇒c1[−13]+c2[21]=[73]⇒{−c1+2c2=73c1+c2=3⇒{c1=−1/7c2=24/7⇒x(t)=−17[−13]e−2t+247[21]e5t−[154]te−2t
解答:令\tan({\theta\over 2})=t \Rightarrow \cases{\cos({\theta\over 2})={1\over \sqrt{1+t^2}} \Rightarrow \cos\theta =2\cos^2 ({\theta\over 2})-1 ={2\over 1+t^2}-1= {1-t^2\over 1+t^2} \\ {1\over 2}\sec^2{\theta\over 2}d\theta =dt \Rightarrow {1+t^2\over 2}d\theta = dt \Rightarrow d\theta = {2\over 1+t^2}dt} \\ \Rightarrow \cases{\cos\theta = {1-t^2\over 1+t^2} \\ d\theta ={2\over 1+t^2}dt} \Rightarrow \int_0^\pi {d\theta \over a+\cos \theta} =\int_0^\infty {{2dt\over 1+t^2}\over a+{1-t^2\over 1+t^2}} \\= \int_0^\infty {2 \over a(1+t^2)+1-t^2}dt = \int_0^\infty {2 \over a+1+(a-1)t^2 }dt ={2\over a-1}\int_0^\infty {1 \over {a+1\over a-1}+t^2}dt\\= \left.{2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\tan^{-1}{t\over \sqrt{a+1\over a-1} }\right|_0^\infty (\because \int {1\over k^2+x^2}dx={1\over k}\tan^{-1}({x\over k})+c) \\={2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\cdot {\pi\over 2} ={\pi \over \sqrt{a^2-1}},\bbox[red,2pt]{故得證}
解答:依題意共試驗m+r次,其中有r次成功、m次失敗,且第m+r次為失敗;\\又試驗m+r-1次,其中有r次成功、m-1次失敗的機率為C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m-1},\\再加上一次失敗的機率即為所求,也就是\bbox[red,2pt]{C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m}}
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解題僅供參考,其他國考試題及詳解
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