教育部 110 年自學進修專科學校學力鑑定考試
解答:f(x)=ln(1+x)⇒f′(x)=(1+x)−1⇒f″(x)=−(1+x)−2⇒f‴(x)=2(1+x)−3f[4](x)=−3!(1+x)−4⇒f[n]=(−1)n−1(n−1)!(1+x)−n⇒f[2021](0)=2020!,故選(C)
解答:xy=yx⇒ln(xy)=ln(yx)⇒ylnx=xlny⇒(ylnx)′=(xlny)′⇒y′lnx+yx=lny+xy′y⇒y′(lnx−xy)=lny−yx⇒dydx=y′=lny−yxlnx−xy=xylny−y2xylnx−x2,故選(B)
解答:f(x)=4x3−8x2+7x−2⇒{f′(x)=12x2−16x+7f(1)=1f(0)=−2⇒f′(c)=f(1)−f(0)1−0⇒12c2−16c+7=1−(−2)1=3⇒12c2−16c+4=0⇒3c2−4c+1=0⇒(3c−1)(c−1)=0⇒c=13(c=1不合,因為0<c<1),故選(B)
解答:f(x)=x+ax−1⇒f′(x)=0⇒1−a(x−1)2=0⇒(x−1)2=a⇒x=√a+1⇒f(√a+1)=3⇒√a+1+a√a=3⇒2√a=2⇒a=1,故選(A)
解答:f(x)=3x−(x−1)3/2⇒f′(x)=3−32√x−1,因此f′(x)=0⇒√x−1=2⇒x=5⇒f(5)=15−43/2=15−8=7,故選(D)
解答:limx→0+e−1/xx=limx→0+1/xe1/x=limx→0+−1/x2(−1/x2)e1/x=limx→0+1e1/x=0,故選(C)
解答:limx→0+(12x2−x2lnx−12)=limx→0+(12x2−x2lnx)−12而limx→0+(12x2−x2lnx)=limx→0+12−lnx1/x2=limx→0+(12−lnx)′(1/x2)′=limx→0+x22=0因此limx→0+(12x2−x2lnx−12)=0−12=−12,故選(C)
解答:ddx∫x20√1+t110dt=(x2)′√1+(x2)110=2x√1+x220,故選(D)
解答:∫(2x+lnex2)dx=∫(2x+x2)dx=2xln2+13x3+C,故選(B)
解答:令u=√x⇒du=dx2√x⇒∫e√x√xdx=∫2eudu=2eu+C=2e√x+C,故選(C)
解答:{u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx⇒∫π/20xcosxdx=[xsinx−∫sinxdx]|π/20=[xsinx+cosx]|π/20=π2−1,故選(A)
解答:2(x−1)(x−2)(x−3)=ax−1+bx−2+cx−3⇒a(x−2)(x−3)+b(x−1)(x−3)+c(x−1)(x−2)=2⇒{a=1b=−2c=1⇒∫2(x−1)(x−2)(x−3)dx=∫(1x−1−2x−2+1x−3)dx=ln|x−1|−2ln|x−2|+ln|x−3|+C,故選(D) 其實不用算,只有(D)符合a+b+c=0;
解答:
x2=x+2⇒x2−x−2=0⇒(x−2)(x+1)=0⇒x=−1,2⇒兩曲線{y=x2y=x+2交於{P(−1,1)Q(2,4)⇒所圍區域面積=∫2−1x+2−x2dx=[12x2+2x−13x3]|2−1=92,故選(B)
解答:∫21y2πdx=∫21(x+1x)2πdx=∫21(x2+1x2+2)πdx=π[13x3−1x+2x]|21=(83−12+4−13+1−2)π=296π,故選(C)
解答:r=eθ⇒drdθ=eθ⇒弧長=∫21√r2+(drdθ)2dθ=∫21√e2θ+e2θdθ=∫21√2eθdθ=[√2eθ]|21=√2(e2−e),故選(B)
解答:f(x,y)=xyx+y2+1⇒fx(x,y)=yx+y2+1−xy(x+y2+1)2⇒fx(2,1)=14−216=18,故選(A)
解答:f(x,y)=x3+y3−12x−3y⇒{fx=0fy=0⇒{3x2−12=03y2−3=0⇒{x=±2y=±1⇒極值發生在(x,y)=(±2,±1)又{fxx=6xfyy=6yfxy=0,並令g(x,y)=fxxfyy−(fxy)2⇒{fxx(−2,−1)<0g(−2,−1)>0⇒f(−2,−1)為相對極大值,故選(D)
解答:{x=rcosθy=rsinθ⇒∬Re1+x2+y2dxdy=∫2π0∫10e1+r2rdrdθ=∫2π0[12e1+r2]|10dθ=∫2π012(e2−e)dθ=π(e2−e),故選(A)
解答:f(x)=3x⇒f′(x)=ln3⋅3x⇒f″(x)=(ln3)2⋅3x⇒f[n](x)=(ln3)n⋅3x⇒f(x)的泰勒級數=∞∑n=0f[n](0)n!xn=∞∑n=0(ln3)nn!xn,故選(D)
解答:∫21y2πdx=∫21(x+1x)2πdx=∫21(x2+1x2+2)πdx=π[13x3−1x+2x]|21=(83−12+4−13+1−2)π=296π,故選(C)
解答:r=eθ⇒drdθ=eθ⇒弧長=∫21√r2+(drdθ)2dθ=∫21√e2θ+e2θdθ=∫21√2eθdθ=[√2eθ]|21=√2(e2−e),故選(B)
解答:f(x,y)=xyx+y2+1⇒fx(x,y)=yx+y2+1−xy(x+y2+1)2⇒fx(2,1)=14−216=18,故選(A)
解答:f(x,y)=x3+y3−12x−3y⇒{fx=0fy=0⇒{3x2−12=03y2−3=0⇒{x=±2y=±1⇒極值發生在(x,y)=(±2,±1)又{fxx=6xfyy=6yfxy=0,並令g(x,y)=fxxfyy−(fxy)2⇒{fxx(−2,−1)<0g(−2,−1)>0⇒f(−2,−1)為相對極大值,故選(D)
解答:{x=rcosθy=rsinθ⇒∬Re1+x2+y2dxdy=∫2π0∫10e1+r2rdrdθ=∫2π0[12e1+r2]|10dθ=∫2π012(e2−e)dθ=π(e2−e),故選(A)
解答:f(x)=3x⇒f′(x)=ln3⋅3x⇒f″(x)=(ln3)2⋅3x⇒f[n](x)=(ln3)n⋅3x⇒f(x)的泰勒級數=∞∑n=0f[n](0)n!xn=∞∑n=0(ln3)nn!xn,故選(D)
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