一路領先的數學問題

 在教師甄選的考題常常遇到類似的問題：

◎在箱子內有5顆紅球及3顆藍球，每次取一球，取後不放回。在全數取完的過程中，取出的紅球一直都比藍球多的機率(次數)為何？

◎在選舉開票過程中，1號候選人得票數一直都比2號候選人多的機率(次數)為何？

以上類似的題目都簡而稱為「一路領先」問題。這類題目有個限制，就是只有兩人(球)在競爭，若超過二人的解法就不是這樣算。

一路領先的問題可以轉換成棋盤道路捷徑走法。我們就以110年桃園高中教甄為例：

解答：

取一白球相當於向右走一格，取一紅球相當於向上走一格，因此從A走到B相當於6白4紅(或6個右4個上)的排列數，即\(C^{10}_4=210\)種走法。但題意要求過程中白球數需大於等於紅球數，相當於行走在著色區域(對角線的右半部)，見上圖；由於本題數字小，直接從A開始手算至B點，共有90種走法符合要求，因此機率為\({90\over 210}=\bbox[red,2pt]{3\over 7}\)。

現在把題目改成：\(m\)個紅球，\(n\)個白球，\(m\le n\)，答案應該是什麼？

大部份一路領先的題目，把過程中「平手」也算進去，也就是只要白球數大於或等於紅球數，都算是一路領先。因此我們把起點A定位在原點，即A(0,0)，則終點在B(n,m)，將對角線平移往上移一格(直線方程式為y=x+1)，簡稱為紅線。所有從A到B的路徑，只要碰到紅線就不符合一路領先的條件。若我們能求出所有違規的路徑，就能求出合乎一路領先的路徑數量。

任何一條違規路徑一定會碰到紅線，假設此路徑經過點P(P在紅線上)，則A至P的路徑數量與A'至P的路徑數量是相同的(A'與A對稱於紅線)。因此從A至B的違規路徑數量與A'至B的路徑數量是相同的，而且從A'出發到B的路徑都是違規的。A'至B的路徑數量=\(C^{n+1+m-1}_{n+1} =C^{n+m}_{n+1}=C^{n+m}_{m-1}\)，A至B的路徑數量=\(C^{m+n}_m=C^{m+n}_n\)，因此一路領先的數量\(=C^{m+n}_m-C^{n+m}_{m-1}\) =\(C^{m+n}_n-C^{n+m}_{n+1}\)。

回到桃園教甄的題目，違規的路徑數=\(C^{4+6}_3=C^{4+6}_7=120\)，全部路徑數是\(C^{10}_4=210\)，因此一路領先的數量是210-120=90，結果與手算相同。

也許你已經搞混哪個是m?哪個是n?，總之:違規數量=\(C^{大+小}_{大+1}=C^{大+小}_{小-1}\)