103年消防警察特考-工程數學詳解

103年 公 務 人 員 特 種 考 試 一 般 警 察 人 員 考 試

等 別：三等一般警察人員考試
類 科：消防警察人員
科 目：工程數學

解答： $$f(t)=\begin{cases} 0,& t\lt 3\\ t, & t\ge 3\end{cases} \Rightarrow f(t)=t\cdot u(t-3) \Rightarrow y''+4y=tu(t-3) \Rightarrow \mathcal{L}\{y'' \}+4 \mathcal{L}\{y\}= \mathcal{L}\{tu(t-3)\}\\ \Rightarrow s^2F(s)-sf(0)-f'(0)+4F(s)=e^{-3s}\mathcal{L}\{t+3\}=e^{-3s}({1\over s^2} +{3\over s}) \\ \Rightarrow (s^2+4)F(s) =e^{-3s}({1\over s^2} +{3\over s}) \Rightarrow F(s) =e^{-3s}\left({1\over s^2(s^2+4)} +{3\over s(s^2+4)}\right)\\ =e^{-3s}\left({1\over 4}({1\over s^2}-{1\over s^2+4}) +{3\over 4}({1\over s}-{s\over s^2+4})\right)\\ ={3\over 4}e^{-3s} \cdot {1\over s} +{1\over 4}e^{-3s}{1\over s^2} -{1\over 4}e^{-3s}{1\over s^2+4}-{3\over 4}e^{-3s}{s\over s^2+4} \\\Rightarrow f(t)={3\over 4}\mathcal{L}^{-1}\{e^{-3s}{1\over s}\} +{1\over 4}\mathcal{L}^{-1}\{ e^{-3s}{1\over s^2}\}-{1\over 4}\mathcal{L}^{-1}\{ e^{-3s}{1\over s^2+4}\} -{3\over 4}\mathcal{L}^{-1}\{e^{-3s}{s\over s^2+4}\}\\={3\over 4}u(t-3) +{1\over 4}u(t-3)(t-3)-{1\over 4}u(t-3)\cdot{1\over 2}\sin(2(t-3))-{3\over 4}u(t-3)\cos(2(t-3))\\ ={1\over 4}u_3(t)(3+t-3-{1\over 2}\sin(2t-6)-3\cos(2t-6) \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f(t)={1\over 8}u_3(t)(2t-\sin(2t-6)-6\cos(2t-6))}$$

解答：

(一) $$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} 5-\lambda& -4& 4\\12 &-11-\lambda&12 \\4&-4&5-\lambda\end{vmatrix} =-(\lambda-1)^2(\lambda+3)=0 \Rightarrow 特徵值為\bbox[red,2pt]{1,-3}$$ (二) $$\lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)x= \begin{bmatrix} 4  & -4 & 4\\12 &-12 &12 \\4 &-4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow x_1+ x_3=x_2,取\cases{v_1=(1,1,0)\\ v_2=(-1,0,1) }\\ \lambda_2=-3 \Rightarrow (A- \lambda_1 I)x= \begin{bmatrix} 8  & -4& 4\\12 &-8 &12 \\4 &-4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1=x_3\\x_2=3x_3},取v_3= (1,3,1)\\ \Rightarrow 特徵向量為\bbox[red,2pt]{(1,1,0),(-1,0,1),(1,3,1)}$$ (三) $$P=[v_1,v_2,v_3] \Rightarrow \bbox[red,2pt]{P= \begin{bmatrix}1 &-1 &1 \\ 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}}及D=\begin{bmatrix} \lambda_1& 0& 0\\0 & \lambda_1& 0 \\0& 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{D =\begin{bmatrix}  1& 0& 0\\0 &  1& 0 \\0& 0 & -3 \end{bmatrix}}$$

解答： $$令\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,s) \Rightarrow \mathcal{L}\{u_{xx}\} =100\mathcal{L}\{u_{tt}\}+100 \mathcal{L}\{u_t\}+25\mathcal{L}\{u\} \\ \Rightarrow U_{xx}=100(s^2U-s\cdot u(x,0)-u_t(x,0))+100(sU-u(x,0))+25U\\ \qquad \quad=100s^2u +100sU+25U =(10s+5)^2U\\ \Rightarrow U(x,s)=c_1(s)e^{-(10s+5)x} +c_2(s)e^{(10s+5)x}\\ 由於對所有x\ge 0，可得u(x,0)=0，因此\lim_{x\to \infty} U(x,s)=0 \Rightarrow c_2(s)=0;\\再由U(0,s)= \mathcal{L}\{u(0,t)\} =\mathcal{L}\{\sin(t)\}  ={1\over s^2+1} =c_1(s) \Rightarrow U(x,s)={1\over s^2+1}e^{-(10s+5)x}\\ \Rightarrow u(x,t)=\mathcal{L}^{-1}\{U(x,s)\} =\mathcal{L}^{-1}\{{1\over s^2+1}e^{-(10s+5)x}\} =e^{-5x}\sin(t-10x)u(t-10x)\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{u(x,t)= e^{-5x}\sin(t-10x)u(t-10x)}$$

解答：

(一) $$由\text{Convolution Theorem}可知:\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-j\omega t}\;dt ={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega-\omega')G(\omega')\;d\omega'\\因此我們取f(t)=g(t)={\sin(2t)\over \pi t}，則 G(j\omega)= {1\over 2\pi} F(j\omega)*F(j\omega)  =\begin{cases} {1\over 2\pi}(\omega+4),& -4\le \omega \le 0\\ {1\over 2\pi}(4-\omega),& 0\le \omega \le 4\\ 0,& |\omega|\gt 4 \end{cases}\\ \Rightarrow G(j\omega)=\bbox[red,2pt]{\max\{0,{1\over 2\pi}(4-|\omega|)\}}$$ (二) $$令I(a)=\int_{\infty}^\infty {\sin^2(at)\over \pi^2t^2}dt \Rightarrow I'(a)=\int_{\infty}^\infty {\sin(2at)\over \pi^2t}dt ={1\over \pi^2} \pi ={1\over \pi} \Rightarrow I(a)={a\over \pi }+C \\ 由於I(0)=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow I(a)={ a \over \pi} \Rightarrow \int_{\infty}^\infty {\sin^2(2t)\over \pi^2t^2}dt =I(2)=\bbox[red,2pt]{2\over \pi}$$

解答：

(一) $$在(1,1,\sqrt 2)之法向量\vec u= \left.(\phi_x, \phi_y, \phi_z) \right|_{(1, 1,\sqrt 2)} = \left.(-{x\over \sqrt{x^2+y^2}},-{y\over \sqrt{x^2 +y^2}},1) \right|_{(1, 1,\sqrt 2)}\\ =(-{1\over \sqrt 2},-{1\over \sqrt 2},1) \\ \Rightarrow 單位法向量 \vec N={\vec u\over |\vec u|} =\bbox[red,2pt]{(-{1\over 2},-{1\over 2},{1\over \sqrt 2})}$$ (二) $$切平面\vec N\cdot (x-1,y-1,z-\sqrt 2)=0 \Rightarrow -{1\over 2}(x-1)-{1\over 2}(y-1)+{1\over \sqrt 2})(z-\sqrt 2)=0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x+y-\sqrt 2z=0}$$

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