103年法務部調查局調查人員考試
考 試 別:調查人員
等 別:三等考試
類 科 組:電子科學組
科 目:工程數學
解答:a0=14∫2−2x2dx=43an=12∫2−2x2cosnπx2dx=12[2n3π3(n2π2x2)sinnπx2+8xn2π2cosnπx2]|2−2=16n2π2(−1)nbn=12∫2−2x2sinnπx2dx=0(∵x2sinnπx2奇函數)因此f(x)=43+∞∑n=116n2π2(−1)ncosnπx2解答:依d’Alembert’s solution,utt=c2uxx的通解為u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)依題意u(x,0)=f(x)⇒F(x)+G(x)=f(x)⋯(1)又ut(x,0)=g(x)⇒cF′(x)−cG′(x)=g(x)⇒∫xx0g(s)ds=c(F(x)−G(x))−c(F(x0)−G(x0))⇒F(x)−G(x)=1c∫xx0g(s)ds+F(x0)−G(x0)⋯(2)由(1)及(2)可求得{F(x)=12(f(x)+1c∫xx0g(s)ds+F(x0)−G(x0))G(x)=12(f(x)−1c∫xx0g(s)ds−F(x0)+G(x0))⇒{F(x+ct)=12(f(x+ct)+1c∫x+ctx0g(s)ds+F(x0)−G(x0))G(x−ct)=12(f(x−ct)−1c∫x−ctx0g(s)ds−F(x0)+G(x0))⇒F(x+ct)+G(x−ct)=12(f(x+ct)+f(x−ct))+12c(∫x0x−ctg(s)ds+∫x+ctx0g(s)ds)=12(f(x+ct)+f(x−ct))+12c∫x+ctx−ctg(s)ds⇒u(x,t)=12(f(x+ct)+f(x−ct))+12c∫x+ctx−ctg(s)ds
解答:y″
解答:x_1^2+ 24x_1x_2-6x_2^2=5 \Rightarrow [x_1,x_2]\begin{bmatrix} 1 & 12\\ 12 & -6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} =5 \equiv \mathbb{x}^tA\mathbb{x}\\ \Rightarrow A=\begin{bmatrix} 1 & 12\\ 12 & -6\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 12\\ 12 & -6-\lambda\end{vmatrix} =(\lambda -10)(\lambda+15)=0 \\ \Rightarrow 矩陣A的特徵值為一正一負,該二次式為\bbox[red,2pt]{雙曲線}\\ 接著將A對角化,即A=\begin{bmatrix} 4/5 & 3/5\\ 3/5 & -4/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10 & 0\\ 0 & -15\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4/5 & 3/5\\ 3/5 & -4/5 \end{bmatrix} \equiv PDP^t \\ 則原式\mathbb{x}^tA\mathbb{x}= \mathbb{x}^tPDP^t \mathbb{x} =(\mathbb{x}^tP)D (\mathbb{x}^tP)^t\\取y^t=\mathbb{x}^tP \Rightarrow [y_1,y_2]=[x_1,x_2]\begin{bmatrix} 4/5 & 3/5\\ 3/5 & -4/5 \end{bmatrix} =[{4\over 5}x_1+{3\over 5}x_2,{3\over 5}x_1-{4\over 5}x_2]\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{座標轉換式T((x_1,x_2)) =({4\over 5}x_1 +{3\over 5}x_2,{3\over 5}x_1-{4\over 5}x_2)}
解答:
(一)累積分佈函數F(x)=f(X\le x) =\int_{-1}^x f(x)\;dx =\int_{-1}^x {3\over 4}(1-x^2)\;dx = -{1\over 4}x^3+{3\over 4}x+{1\over 2} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{F(x)=\begin{cases}-{1\over 4}x^3+{3\over 4}x+{1\over 2}, & -1\le x\le 1\\ 0, &其它 \end{cases}};(二)P(-1/2\le X\le 1/2)= F(1/2)-F(-1/2) = -{1\over 16}+{3\over 4} = {11\over 16}\\ P(1/4\le X\le 2) =F(1)-F(1/4) =1 - {175\over 256}= {81\over 256} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{P(-1/2\le X\le 1/2)={11\over 16} \\ P(1/4\le X\le 2) = {81\over 256} }}
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解題僅供參考,其他國考試題及詳解
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