102年身心障礙學生四技二專甄試-數學(B)-詳解

102 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：四技二專組-數學(B)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答：$$\alpha,\beta 為x^2-{8\over 7}x+{1\over 7}=0之二根 \Rightarrow \cases{\alpha +\beta= 8/7\\ \alpha\beta=1/7} \Rightarrow \cases{{1\over \alpha}+ {1\over \beta} ={\alpha+\beta\over \alpha\beta} ={8/7\over 1/7}=8\\ {1\over \alpha}\cdot {1\over \beta} ={1\over \alpha\beta}=7} \\ \Rightarrow 以{1\over \alpha}, {1\over \beta}為兩根之方程式:x^2-8x+7=0 \Rightarrow \cases{a=8\\ b=7} \Rightarrow (a,b)=(8,7)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$假設矩形的\cases{長為x\\ 寬為y} \Rightarrow \cases{2(x+y)=36 \\ xy=72} \Rightarrow (x+y)^2 =18^2 \Rightarrow x^2+y^2+2xy = 324\\ \Rightarrow x^2+y^2 =324-2\times 72=180 \Rightarrow 對角線長=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{180}=6\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{2x+3y=43 \dots(1)\\ 5x-7y=6 \cdots(2)}，5\times(1)-2\times(2) \Rightarrow 29y=203 \Rightarrow y=7代回(1) \Rightarrow 2x+21=43\\ \Rightarrow  x=6 \Rightarrow x+y=6+7=13，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{2x+y-17=0與x-8=0的交點為A(8,1)\\ 2x+y-17=0與y-5=0的交點為B(6,5)} \Rightarrow \overline{AB} =\sqrt{2^2+4^2} =2\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$L:x-3y-9=0 \Rightarrow L的斜率為1/3 \Rightarrow 垂直L的直線斜率為-3 \\\Rightarrow 過P(1,4)斜率為-3的直線:y=-3(x-1)+4 \Rightarrow 3x+y-7=0 \\ 兩直線\cases{x-3y-9=0\\ 3x+y-7=0} 的交點(3,-2)即為Q點，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$40人挑5人，有C^{40}_5種挑法，5人安排不同職務，有5!排法，因此共有C^{40}_5\times 5!= {40!\over 35!}種結果\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$2張點數相同可能的點數有13種、3張點數相同可能的點數有12種\\，而相同點數的撲克牌有4種花色，因此共有13C^4_2\times 12C^4_3= 3744種組合，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$三粒骰子的點數為(2,1,1),(2,3,3),(2,4,4), (2,5,5), (2,6,6)共五種，每一種排列數為3，\\因此共有5\times 3=15種可能，機率為15/6^2= 5/72，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\log 720=\log (2^4\times 3^2\times 5) =4\log 2+2\log 3+(1-\log 2) = 1+3\log 2+2\log 3\\ =1+3\times 0.301+2\times 0.4771 = 2.8572 \approx 2.86，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{\overline{AB} =2\sqrt 2\\ \overline{BC}=\sqrt 2\\ \overline{AC}=\sqrt 6} \Rightarrow \overline{AB}^2=8 =\overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 \Rightarrow \angle C=90^\circ \Rightarrow \tan A={\overline{BC} \over \overline{AC}} ={\sqrt 2\over \sqrt 6} ={1\over \sqrt 3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$ \cases{A(5,5)\\ B(2,9)\\ C(6,7)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =(-3,4)\\ \overrightarrow{AC} =(1,2)} \Rightarrow \cos A= {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \over |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} ={5\over 5\sqrt 5} ={1\over \sqrt 5} \Rightarrow \cases{\sin A={2\over \sqrt 5} = {2\sqrt 5\over 5}\\ \tan A=2}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$y=f(x)圖形為凹向下，依題意f(x)\lt 0, -5\lt x\lt 6 \Rightarrow f(x)=(x+5)(x-6) =x^2-x-30\\ \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=-30} \Rightarrow a+b=-31，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$成績依序為x_i,i=1-10，如下表:\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline i&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hdashline x_i &52 & 62 & 63 & 63 & 70 & 75 & 76 & 77 & 77 & 85\\\hline\end{array} \\ \Rightarrow \cases{中位數=(x_5+x_6)\div 2=72.5\\ 平均數=(\sum x_i)\div 10=700\div 10=70} \Rightarrow 中位數加平均數=142.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$A(x+2)+B(x-7) =3x+24 \Rightarrow \cases{A+B=3\\ 2A-7B=24} \Rightarrow \cases{A= 5\\ B=-2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$x^2+y^2 =4 \Rightarrow \cases{圓心O(0,0)\\ 半徑r=2}，直線與O的距離為2，只有x=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$f(x)= (3x^3+ax^2 -6x+1)^2 \Rightarrow f(-1)=0 \Rightarrow -3+a+6+1=0 \Rightarrow a=-4\\ \Rightarrow f(x)= (3x^3-4x^2 -6x+1)^2 \Rightarrow f(2)=(24-16-12+1)^2 = (-3)^2=9，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$a_2+a_4+\cdots +a_{20} =(-\sqrt 2)+ (-\sqrt 2)^3+\cdots +(-\sqrt 2)^{19} \\=(-\sqrt 2)(1+ (-\sqrt 2)^2 +(-\sqrt 2)^4+\cdots + (-\sqrt 2)^{18}) =(-\sqrt 2) \cdot {1-(-\sqrt 2)^{20}\over 1-(-\sqrt 2)^2} =\sqrt 2\cdot (1-2^{10})\\ =-1023\sqrt 2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 1 & -5 & 25\\ 1 & 7 & 49\end{vmatrix} \xrightarrow{-r_1+r_2,-r_1+r_3}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 0 & -8 & 16\\ 0 & 4 & 40\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}  -8 & 16\\   4 & 40\end{vmatrix} =-320-64=-384，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$f(x)=2x^2 \Rightarrow f'(x)=4x \Rightarrow f'(2)=8，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1，又f''(x)=6x \Rightarrow \cases{f''(1)\gt 0 \\ f''(-1)\lt 0}\\ \Rightarrow f(1)=1-3+1=-1為極小值，且1\in [0,4]，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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